Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
1
1
1. SZACOWANIE MODELU POTĘGOWEGO Z DWIEMA
ZMIENNYMI OBJAŚNIAJĄCYMI
Oszacować parametry numeryczne i stochastyczne modelu potęgowego o postaci:
t
e
x
x
e
y
b
t
b
t
b
t
ε
⋅
⋅
⋅
=
2
1
0
2
1
dla danych przedstawionych w tabeli, gdzie:
y
t
– roczne wydatki na kino [zł/osobę],
x
1t
– średni roczny dochód netto [tys. zł/osobę],
x
2t
– jednopodstawowy wskaźnik średnich cen biletów [rok pierwszy =100].
rok y
t
x
1t
x
2t
1 70
6
100,0
2 95
8
103,0
3 110 10
107,0
4 125 12
109,0
5 145 14
111,0
Przedstawiony model jest nieliniowy względem zmiennych i parametrów, ale sprowadzalny do
liniowego względem parametrów. Jeżeli zlogarytmujemy go obustronnie to otrzymamy:
(
)
t
e
x
x
e
y
b
t
b
t
b
t
ε
⋅
⋅
⋅
=
2
1
0
2
1
ln
ln
t
e
x
x
e
y
b
t
b
t
b
t
ε
ln
ln
ln
ln
ln
2
1
0
2
1
+
+
+
=
t
t
t
t
x
b
x
b
b
y
ε
+
⋅
+
⋅
+
=
2
2
1
1
0
ln
ln
ln
Ostatnia forma modelu jest liniowa względem parametrów i daje się łatwo oszacować KMNK.
Widzimy, że zamiast obserwacji na zmiennych w pierwotnej postaci trzeba się tu posłużyć
logarytmami tych obserwacji. Możemy zatem symbolicznie zapisać estymator KMNK dla naszego
przykładu:
(
)
y
X
X
X
b
ln
'
ln
ln
'
ln
ˆ
1
⋅
=
−
Macierz lnX’lnX będzie określona następująco:
(
)
(
)
⋅
⋅
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
'
ln
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
X
X
Wektor lnX’lny będzie określony następująco:
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
2
2
⋅
⋅
=
∑
∑
∑
t
t
t
t
t
x
y
x
y
y
y
X
2
1
ln
ln
ln
ln
ln
ln
'
ln
Do dalszych obliczeń będzie przydatna tabela.
rok
1
ln x
2
ln x
2
1
ln
ln
x
x
(
)
2
1
ln
t
x
(
)
2
2
ln
t
x
t
y
ln
t
t
x
y
1
ln
ln
t
t
x
y
2
ln
ln
⋅
1
1,79176 4,60517
8,25136
3,21040 21,20759 4,24850 7,61228 19,56504
2
2,07944 4,63473
9,63765
4,32408 21,48071 4,55388 9,46952 21,10599
3
2,30259 4,67283 10,75959 5,30190 21,83533 4,70048 10,82326 21,96454
4
2,48491 4,69135 11,65756 6,17476 22,00874 4,82831 11,99791 22,65130
5
2,63906 4,70953 12,42872 6,96462 22,17967 4,97673 13,13389 23,43808
suma 11,29775 23,31361 52,73487 25,97576 108,7120
5
23,30790 53,03685 108,7249
5
Na podstawie powyższych danych możemy wyznaczyć macierz lnX’lnX:
=
108,71205
52,73487
23,31361
52,73487
25,97576
11,29775
23,31361
11,29775
5
ln
'
ln
X
X
Wyznacznik
0,00012
=
X
X ln
'
ln
Macierz
(
)
=
−
18881,11
2386,39
-
82645,2
-
2386,386
-
303,848
10440,5
82645,18
-
10440,5
361761
1
ln
'
ln
X
X
Wektor
=
108,72495
53,03685
23,30790
y
X ln
'
ln
Wektor ocen parametrów modelu:
(
)
=
=
−
4,64048
-
1,41585
23,0997
y
X
X
X
b
ln
'
ln
ln
'
ln
ˆ
1
Możemy zapisać postać analityczną rozważanego modelu:
t
e
x
x
e
y
t
t
t
ε
ˆ
640
,
4
2
416
,
1
1
099
,
23
⋅
⋅
⋅
=
−
Ponieważ mamy do czynienia z modelem potęgowym to szacunki parametrów b
1
i b
2
są
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
3
3
elastycznościami zmiennej y względem zmiennych x
1
i x
2
. Elastyczność jest miarą, która
pokazuje o ile procent zmieni się wartość zmiennej y, jeżeli wartość zmiennej x zmieni się o 1
procent, a wszystkie inne czynniki pozostaną bez zmian
.
Powiemy
zatem,
że w badanych latach wzrost rocznych dochodów x
1
o 1 % powodował wzrost
rocznych wydatków na kino y średnio o 1,42 %, przy stałości cen biletów x
2
. Wzrost w badanych
latach indeksu cen biletów x
2
o 1% powodował spadek rocznych wydatków na kino y średnio o 4,64
%, przy stałości dochodów x
1
.
Estymator
wariancji
składnika losowego modelu wyrazi się wzorem:
(
) (
)
(
)
1
ˆ
ln
'
ln
ln
ˆ
2
2
+
−
⋅
′
−
=
∑
k
n
b
y
X
y
t
ε
σ
Stąd
0,00082
=
2
ˆ
ε
σ
.
Średni błąd reszt jest zatem równy
0,02867
=
ε
σ
ˆ
.
Interpretując średni błąd reszt powiemy, że udział różnic między wartościami empirycznymi y
t
a
teoretycznymi
t
yˆ
w teoretycznej wartości wydatków
t
yˆ wynosi średnio
(
)
%
94
,
2
100
1
029
,
0
=
⋅
−
e
.
Współczynnik zbieżności
ϕ
2
obliczymy na podstawie wzoru:
(
) (
)
(
)
∑
∑
−
⋅
′
−
=
2
2
2
ln
ln
ˆ
ln
'
ln
ln
t
t
t
y
y
b
y
X
y
ϕ
.
Zatem
ϕ
2
= 0,00529.
Oznacza
to,
że około 0,52% całkowitej zmienności zmiennej wydatków
y
ln nie zostało
objaśnione przez model.
Współczynnik determinacji
0,99471
=
−
=
2
2
1
ϕ
R
co oznacza, że około 99,5% zmienności
zmiennej
y
ln zostało wyjaśnione przez model. Widzimy zatem, iż bardzo duża część zmienności
y
ln znalazła objaśnienie w zmienności zmiennych objaśniających ln x
1
i ln x
2
.
Poniższy wykres obrazuje dopasowanie wartości teoretycznych wydatków
t
yˆ do wartości
empirycznych
t
y .
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012
Krzysztof Świetlik
4
4
Na podstawie znajomości macierzy wariancji kowariancji ocen parametrów wyznaczymy średnie
błędy tych ocen.
( )
(
)
=
⋅
=
−
15,514
1,961
-
67,908
-
1,961
-
0,250
8,579
67,908
-
8,579
297,253
1
2
2
'
ˆ
ˆ
X
X
b
D
ε
σ
Średnie błędy ocen parametrów modelu:
3,939
17,241
=
=
=
=
=
=
514
,
15
ˆ
500
,
0
250
,
0
ˆ
253
,
297
ˆ
2
1
0
b
b
b
σ
σ
σ
Pełniejszy zapis postaci analitycznej rozważanego modelu możemy przedstawić następująco:
(
)
(
)
(
)
939
,
3
500
,
0
2
1
ˆ
±
±
±
⋅
⋅
=
-4,64048
1,41585
23,0997
17,241
t
t
t
x
x
e
y
0
20
40
60
80
100
120
140
160
1
2
3
4
5
y rzeczyw.
y teor.
rok
wydat
ki
na ki
no