Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

1

1

1. SZACOWANIE MODELU POTĘGOWEGO Z DWIEMA

ZMIENNYMI OBJAŚNIAJĄCYMI

Oszacować parametry numeryczne i stochastyczne modelu potęgowego o postaci:

t

e

x

x

e

y

b

t

b

t

b

t

ε

⋅

⋅

⋅

=

2

1

0

2

1

dla danych przedstawionych w tabeli, gdzie:

y

t

– roczne wydatki na kino [zł/osobę],

x

1t

– średni roczny dochód netto [tys. zł/osobę],

x

2t

– jednopodstawowy wskaźnik średnich cen biletów [rok pierwszy =100].

rok y

t

x

1t

x

2t

1 70

6

100,0

2 95

8

103,0

3 110 10

107,0

4 125 12

109,0

5 145 14

111,0

Przedstawiony model jest nieliniowy względem zmiennych i parametrów, ale sprowadzalny do

liniowego względem parametrów. Jeżeli zlogarytmujemy go obustronnie to otrzymamy:

(

)

t

e

x

x

e

y

b

t

b

t

b

t

ε

⋅

⋅

⋅

=

2

1

0

2

1

ln

ln

t

e

x

x

e

y

b

t

b

t

b

t

ε

ln

ln

ln

ln

ln

2

1

0

2

1

+

+

+

=

t

t

t

t

x

b

x

b

b

y

ε

+

⋅

+

⋅

+

=

2

2

1

1

0

ln

ln

ln

Ostatnia forma modelu jest liniowa względem parametrów i daje się łatwo oszacować KMNK.

Widzimy, że zamiast obserwacji na zmiennych w pierwotnej postaci trzeba się tu posłużyć

logarytmami tych obserwacji. Możemy zatem symbolicznie zapisać estymator KMNK dla naszego

przykładu:

(

)

y

X

X

X

b

ln

'

ln

ln

'

ln

ˆ

1

⋅

=

−

Macierz lnX’lnX będzie określona następująco:

(

)

(

)





















⋅

⋅

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

2

2

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

'

ln

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

X

X

Wektor lnX’lny będzie określony następująco:

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

2

2





















⋅

⋅

=

∑

∑

∑

t

t

t

t

t

x

y

x

y

y

y

X

2

1

ln

ln

ln

ln

ln

ln

'

ln

Do dalszych obliczeń będzie przydatna tabela.

rok

1

ln x

2

ln x

2

1

ln

ln

x

x

(

)

2

1

ln

t

x

(

)

2

2

ln

t

x

t

y

ln

t

t

x

y

1

ln

ln

t

t

x

y

2

ln

ln

⋅

1

1,79176 4,60517

8,25136

3,21040 21,20759 4,24850 7,61228 19,56504

2

2,07944 4,63473

9,63765

4,32408 21,48071 4,55388 9,46952 21,10599

3

2,30259 4,67283 10,75959 5,30190 21,83533 4,70048 10,82326 21,96454

4

2,48491 4,69135 11,65756 6,17476 22,00874 4,82831 11,99791 22,65130

5

2,63906 4,70953 12,42872 6,96462 22,17967 4,97673 13,13389 23,43808

suma 11,29775 23,31361 52,73487 25,97576 108,7120

5

23,30790 53,03685 108,7249

5

Na podstawie powyższych danych możemy wyznaczyć macierz lnX’lnX:





















=

108,71205

52,73487

23,31361

52,73487

25,97576

11,29775

23,31361

11,29775

5

ln

'

ln

X

X

Wyznacznik

0,00012

=

X

X ln

'

ln

Macierz

(

)





















=

−

18881,11

2386,39

-

82645,2

-

2386,386

-

303,848

10440,5

82645,18

-

10440,5

361761

1

ln

'

ln

X

X

Wektor





















=

108,72495

53,03685

23,30790

y

X ln

'

ln

Wektor ocen parametrów modelu:

(

)





















=

=

−

4,64048

-

1,41585

23,0997

y

X

X

X

b

ln

'

ln

ln

'

ln

ˆ

1

Możemy zapisać postać analityczną rozważanego modelu:

t

e

x

x

e

y

t

t

t

ε

ˆ

640

,

4

2

416

,

1

1

099

,

23

⋅

⋅

⋅

=

−

Ponieważ mamy do czynienia z modelem potęgowym to szacunki parametrów b

1

i b

2

są

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

3

3

elastycznościami zmiennej y względem zmiennych x

1

i x

2

. Elastyczność jest miarą, która

pokazuje o ile procent zmieni się wartość zmiennej y, jeżeli wartość zmiennej x zmieni się o 1

procent, a wszystkie inne czynniki pozostaną bez zmian

.

Powiemy

zatem,

że w badanych latach wzrost rocznych dochodów x

1

o 1 % powodował wzrost

rocznych wydatków na kino y średnio o 1,42 %, przy stałości cen biletów x

2

. Wzrost w badanych

latach indeksu cen biletów x

2

o 1% powodował spadek rocznych wydatków na kino y średnio o 4,64

%, przy stałości dochodów x

1

.

Estymator

wariancji

składnika losowego modelu wyrazi się wzorem:

(

) (

)

(

)

1

ˆ

ln

'

ln

ln

ˆ

2

2

+

−

⋅

′

−

=

∑

k

n

b

y

X

y

t

ε

σ

Stąd

0,00082

=

2

ˆ

ε

σ

.

Średni błąd reszt jest zatem równy

0,02867

=

ε

σ

ˆ

.

Interpretując średni błąd reszt powiemy, że udział różnic między wartościami empirycznymi y

t

a

teoretycznymi

t

yˆ

w teoretycznej wartości wydatków

t

yˆ wynosi średnio

(

)

%

94

,

2

100

1

029

,

0

=

⋅

−

e

.

Współczynnik zbieżności

ϕ

2

obliczymy na podstawie wzoru:

(

) (

)

(

)

∑

∑

−

⋅

′

−

=

2

2

2

ln

ln

ˆ

ln

'

ln

ln

t

t

t

y

y

b

y

X

y

ϕ

.

Zatem

ϕ

2

= 0,00529.

Oznacza

to,

że około 0,52% całkowitej zmienności zmiennej wydatków

y

ln nie zostało

objaśnione przez model.

Współczynnik determinacji

0,99471

=

−

=

2

2

1

ϕ

R

co oznacza, że około 99,5% zmienności

zmiennej

y

ln zostało wyjaśnione przez model. Widzimy zatem, iż bardzo duża część zmienności

y

ln znalazła objaśnienie w zmienności zmiennych objaśniających ln x

1

i ln x

2

.

Poniższy wykres obrazuje dopasowanie wartości teoretycznych wydatków

t

yˆ do wartości

empirycznych

t

y .

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

4

4

Na podstawie znajomości macierzy wariancji kowariancji ocen parametrów wyznaczymy średnie

błędy tych ocen.

( )

(

)





















=

⋅

=

−

15,514

1,961

-

67,908

-

1,961

-

0,250

8,579

67,908

-

8,579

297,253

1

2

2

'

ˆ

ˆ

X

X

b

D

ε

σ

Średnie błędy ocen parametrów modelu:

3,939

17,241

=

=

=

=

=

=

514

,

15

ˆ

500

,

0

250

,

0

ˆ

253

,

297

ˆ

2

1

0

b

b

b

σ

σ

σ

Pełniejszy zapis postaci analitycznej rozważanego modelu możemy przedstawić następująco:

(

)

(

)

(

)

939

,

3

500

,

0

2

1

ˆ

±

±

±

⋅

⋅

=

-4,64048

1,41585

23,0997

17,241

t

t

t

x

x

e

y

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1

2

3

4

5

y rzeczyw.

y teor.

rok

wydat

ki

na ki

no