Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

1

1

1. SZACOWANIE OPISOWEGO MODELU LINIOWEGO Z JEDNĄ

ZMIENNĄ OBJAŚNIAJĄCĄ

1.1 DANE DO ZADANIA

Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:

t

t

t

u

X

Y

+

⋅

+

=

1

0

α

α

gdzie: Y

t

- wydatki na żywność w tys. zł. na osobę, X

t

- dochód netto w tys. zł. na osobę.

Ponadto:

1. Obliczyć wariancję reszt modelu, średni błąd reszt, współczynniki R

2

,

ϕ

2

i współczynnik zmienności

v.

2. Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.

3. Ocenić istotność aukorelacji składnika losowego, zbadać normalność rozkładu składnika losowego,

zbadać stałość wariancji składnika losowego.

Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli

Okres Wydatki

Y

t

Dochód

X

t

1

0,1 0,35

2

0,15 0,45

3

0,18 0,6

4

0,24 0,95

5

0,28 1,2

6

0,35 1,7

1.2 SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH

Podany model, którego parametry należy oszacować, jest modelem liniowym z jedną zmienną

objaśniającą. W modelu mamy dwa parametry do oszacowania, więc macierze, które symbolicznie

oznaczamy w każdym rozpatrywanym przykładzie jako X

T

X i X

T

y, będą miały następujące postacie:

X X

n

x

x

x

T

t

t

t

=

















∑

∑

∑

2

i

X y

y

y x

T

t

t

t

=

















∑

∑

W

związku z tym należy wykonać odpowiednie obliczenia. Ich wyniki zaprezentowane są w

poniższej tabeli.

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

2

2

Okres

y

t

x

t

x

t

2

y

t

x

t

y

t

2

(

)

y

y

t

−

2

1

0,1 0,35

0,1225 0,035 0,01 0,01361

2

0,15 0,45 0,2025 0,0675 0,0225 0,00444

3

0,18 0,6

0,36 0,108 0,0324 0,00134

4

0,24 0,95

0,9025 0,228 0,0576

0,00054

5

0,28 1,2

1,44 0,336 0,0784 0,00401

6

0,35 1,7

2,89 0,595 0,1225 0,01778

∑

1,3 5,25 5,9175 1,3695 0,3234 0,04173

Wstawiając wyniki obliczeń do odpowiednich macierzy otrzymujemy:

X X

T

=











6

5 25

5 25

,

,

5,9175

i

X y

T

=











1 3

1 3695

,

,

W dalszej kolejności należy dokonać odwrócenia macierzy X

T

X. Pamiętając, że macierz ta jest

zawsze symetryczna i nieosobliwa stosujemy do tego celu wzór:

(

) (

)

X X

X X

X X

T

T

D

T

−

=

1

gdzie litera D oznacza macierz dopełnień algebraicznych elementów.

W przypadku macierzy o wymiarach 2

×2 macierz

(

)

X X

T

D

tworzy się przez zamianę miejscami

elementów głównej przekątnej i zmianę znaków elementów drugiej przekątnej na przeciwne. Stąd

mamy:

(

)

X X

T

D

=

5,9175

6

−

−











5 25

5 25

,

,

Dzieląc wyrazy tej macierzy przez wartość wyznacznika otrzymujemy:

(

)

X X

T

−

=

−

−











1

5 25

5 25

5,9175

6

7,9425

,

,

=

0,74504

-0,661001

-0,661001

0,75543











Przy pomocy uzyskanych wyników możemy wyznaczyć oceny parametrów modelu posługując się

formułą estymatora KMNK:

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

3

3

(

)

$b

X X

X y

T

T

=

=









 ⋅

−1

0,74504

-0,661001

-0,661001

0,75543

1 3

1 3695

,

,









 =

1

0

ˆ

ˆ

0,17526

0,063314

α

α

←

←













Wyniki

obliczeń możemy teraz wstawić do rozważanego modelu:

t

t

Y

ε

ˆ

+

⋅

=

t

X

0,17526

+

0,063314

lub

t

X

0,17526

+

0,063314

ˆ

⋅

=

t

Y

Dokonując interpretacji otrzymanej postaci analitycznej powiemy, że przy stałości pozostałych

czynników (ceteris paribus) wzrost przeciętnych dochodów X o jednostkę (o tys. złotych) powodował w

badanym okresie przyrost przeciętnych wydatków na żywność Y średnio o 0,175 jednostki (0,175 tys.

złotych).

1.3 MIARY DOPASOWANIA

1.3.1 WARIANCJA RESZT MODELU (OCENA WARIANCJI SKŁADNIKA

LOSOWEGO)

Aby

obliczyć wariancję reszt

ε

ˆ modelu można skorzystać ze wzoru:

( )

(

)

1

ˆ

ˆ

2

2

+

−

⋅

−

=

∑

k

n

b

y

X

y

T

T

t

ε

σ

=

[

]

(

)

0,3234 - 1,3 1,3695

0,063314

0,17526

6 - 1 + 1

0,322327

4

⋅











=

−

0 3234

,

=

0,001073

4

0,000268

=

2

ˆ

ε

σ

1.3.2 ŚREDNI BŁĄD RESZT (STANDARDOWY BŁĄD REGRESJI, OCENA

ODCHYLENIA STANDARDOWEGO SKŁADNIKA LOSOWEGO)

Na podstawie znajomości wariancji reszt wyznaczamy odchylenie standardowe reszt modelu

(średni błąd reszt)

ε

σ

ˆ :

0,016379

=

=

=

000268

,

0

ˆ

ˆ

2

ε

ε

σ

σ

Interpretując otrzymaną wartość powiemy, że wartości empiryczne wydatków na żywność

Y

t

różnią się od wydatków teoretycznych (obliczonych na podstawie modelu) $

Y

t

średnio o 0,0164

jednostki (0,0164 tys, złotych).

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

4

4

Chcąc porównać wielkość tego średniego odchylenia z wartościami wydatków Y

t

możemy

posłużyć się praktycznym wskaźnikiem zwanym współczynnikiem zmienności losowej v.

%

559

,

7

100

100

ˆ

=

⋅

=

⋅

=

0,216667

0,016379

y

v

ε

σ

Wskaźnik ten mówi, że

reszty modelu

t

ε

ˆ stanowią przeciętnie około 7,6% wartości obserwacji na

zmiennej objaśnianej Y. Ponieważ mamy do czynienia z udziałem reszt w wartościach rzeczywistych Y

pojawia się pytanie, czy udział ten jest duży czy mały. Decyzja ta zależy od tego, jaki wskaźnik v

uznamy za możliwy do akceptacji (np. 5%), a jaki naszym zdaniem będzie wskazywał na zbyt duże

wartości błędu.

1.3.3 WSPÓŁCZYNNIK ZBIEŻNOŚCI

Współczynnik zbieżności

ϕ

2

obliczymy wykorzystując następujący wzór (wartość

(

)

∑

−

2

y

y

t

została obliczona w poprzedniej tabeli):

( )

(

)

[

]

ϕ

2

2

2

0 3234

=

−

⋅

−

=

⋅











=

−

=

∑

∑

y

X y

b

y

y

t

T

T

t

$

,

0,3234 - 1,3 1,3695

0,063314

0,17526

0,04173

0,322327

0,04173

0,001073

0,04173

ϕ

2

0 0257

= ,

Interpretując ten wskaźnik powiemy, że

2,57% całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej Y nie

zostało wyjaśnione przez model (przez zmienność zmiennej objaśniającej X).

1.3.4 WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI

Współczynnik determinacji

R

2

obliczymy korzystając ze wzoru:

R

2

2

1

1 0 0257 0 9743

= −

= −

=

ϕ

,

,

Interpretacja

: 97,43% całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej Y zostało wyjaśnione przez

model (przez zmienność zmiennej objaśniającej X).

1.4 ŚREDNIE BŁĘDY OCEN PARAMETRÓW

Średnie błędy ocen parametrów modelu oszacujemy rozpoczynając obliczenia od wyznaczenia

macierzy wariancji-kowariancji estymatorów parametrów modelu:

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

5

5

(

)

1

2

2

ˆ

)

ˆ

(

−

⋅

=

X

X

b

D

T

ε

σ

= 0,000268

0,74504

-0,661001

-0,661001

0,75543

0,00020 -0,00018

-0,00018 0,00020

⋅









 =











Elementy

leżące na głównej przekątnej macierzy to wariancje ocen parametrów modelu.

Obliczając ich pierwiastki uzyskamy średnie błędy ocen parametrów (odchylenia standardowe od ocen

tych parametrów).

$

$

,

,

σ

σ

α

α

0

0

2

0 00020

0 01414

=

=

= ±

$

$

,

,

σ

σ

α

α

1

1

2

0 00020

0 01414

=

=

= ±

Po oszacowaniu tych średnich błędów możemy zapisać model następująco:

(

)

(

)

t

0,01414

0,01414

X

0,17526

+

0,063314

ˆ

⋅

=

±

±

t

Y

1.5 OCENA ISTOTNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA AUTOKORELACJI

1.5.1 TEST DURBINA-WATSONA

Aby

ocenić istotność autokorelacji składnika losowego I-ego rzędu posłużymy się testem Durbina

- Watsona. Wymagane jest, aby obliczyć wartość statystyki testowej DW dla naszego modelu.

Korzystamy ze wzoru:

(

)

∑

∑

=

=

−

−

=

n

t

t

n

t

t

t

DW

1

2

2

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ε

ε

ε

W pierwszej kolejności musimy obliczyć reszty modelu, do czego wykorzystamy poniższą tabelę.

Okres

y

t

$y

t

t

t

t

y

y

ˆ

ˆ

−

=

=

ε

1

ˆ

−

t

ε

(

)

2

1

ˆ

ˆ

−

−

t

t

ε

ε

2

ˆ

t

ε

1

0,1 0,12466

-0,02466

-

-

0,00061

2

0,15 0,14218 0,00782 -0,02466

0,00105

0,00006

3

0,18 0,16847 0,01153 0,00782

0,00001

0,00013

4

0,24 0,22981 0,01019 0,01153

0,00000

0,00010

5

0,28 0,27363 0,00637 0,01019

0,00001

0,00004

6

0,35 0,36126 -0,01126 0,00637

0,00031

0,00013

∑

0,00140 0,00107

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

6

6

Zatem:

DW

=

=

0,00140
0,00107

1,30045

Ponieważ wartość DW < 2 to sprawdzimy istotność dodatniej autokorelacji składnika losowego

stawiając następujące hipotezy:

0

:

0

:

1

1

0

>

≤

ρ

ρ

A

H

H

gdzie

ρ

1

jest współczynnikiem autokorelacji 1-szego rzędu.

W tablicach statystycznych rozkładu DW (dla poziomu istotności

α=0,05) znajdujemy dla stopni

swobody k = 1 i T (liczba obserwacji n) = 6 dwie wartości krytyczne: dL i dU takie, że:

dL = 0,610 i dU = 1,400

Zatem na przyjętym poziomie istotności możemy powiedzieć, iż wartość statystyki DW leży w

obszarze niekonkluzywności testu, gdyż DW

dL dU

∈

;

. Nie można zatem nic powiedzieć o istotności

autokorelacji składnika losowego. W takim przypadku można skorzystać z innych testów badających

istotność autokorelacji, pamiętając o ich ograniczeniach.

Na podstawie wartości DW można jednak ocenić wartość współczynnika

ρ

1

:

65

,

0

2

3

,

1

2

1

ˆ

1

=

=

−

≅

DW

ρ

Ocena ta wskazuje, że współczynnik autokorelacji liniowej ma wartość (siłę) umiarkowaną.

1.5.2 TEST MNOŻNIKA LAGRANGE’A (TEST BREUSCHA-GODFREY’A)

Ze

względu na fakt, iż test DW nie pozwolił jednoznacznie okreslic istotności autokorelacji

składnika losowego zastosujemy test mnożnika Lagrange’a (LM). Test ten jest przeznaczony dla

dużych prób, stąd przy małej liczebności obserwacji w naszym przykładzie nie powinien byc w

zasadzie stosowany. Pamiętając o tym, przeprowadzimy go jedynie celem pokazania sposobu jego

przeprowadzenia.

Hipotezy

dotyczace

współczynnika autokorelacji 1-ego rzędu są takie same, jak w teście DW.

Szacujemy model pomocniczy o postaci:

t

t

t

t

x

ξ

ε

β

β

β

ε

+

+

+

=

−1

2

1

0

ˆ

ˆ

Zauważmy, że w modelu pomocniczym rolę zmiennej objasnianej pełnią reszty modelu

podstawowego, zaś zmiennymi objasniającymi są wszystkie zmienne egzogeniczne modelu

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

7

7

podstawowego oraz reszty modelun opóźnione o jeden okres (t-1). Obliczamy współczynnik

determinacji tego modelu:

91

,

0

2

=

LM

R

Nastepnie obliczamy statystyke testową

)

1

(

2

−

⋅

=

n

R

LM

LM

o trzymujemy, że LM = 4,55. Statystyka

LM ma rozkład chi-kwadrat o 1 stopniu swobody. Zakładając poziom istotności

α = 0,05 odszukujemy

w tablicach statystycznych wartość krytyczną

χ

α

2

(1) = 3,841 dla prawostronnego obszaru krytycznego

(test LM jest testem prawostronnym). Następnie porównujemy statystykę empiryczną LM ze statystyką

teoretyczną z tablicy. Reguły decyzyjne sa następujące:

LM <

χ

α

2

nie odrzucamy H

0

LM >

χ

α

2

odrzucamy H

0

W naszym przykładzie LM >

χ

α

2

, a więc odrzucamy H

0

i uznajemy, że w modelu wystepuje

istotna autokorelacj 1-ego rzędu.

1.6 BADANIE NORMALNOŚCI ROZKŁADU SKŁADNIKA LOSOWEGO (TEST

JARQU’E-BERA)

Test JB jest prostym testem do oceny normalności rozkładu składnika losowego badanego procesu.

W istocie test ten nie bada własności rozkładu, a ocenia podobieństwo skośności i spłaszczenia

rozkładu składnika losowego do tych atrybutów w teoretycznym rozkładzie normalnym.

Stawiamy

hipotezy:

H

0

: składnik losowy ma rozkład normalny

H

A

: składnik losowy nie ma rozkładu normalnego

Obliczamy statystyke testową testu JB wg wzoru:

(

)













−

+

⋅

=

2

2

2

1

3

24

1

6

1

B

B

n

JB

gdzie:

3

3

1

ˆ

s

n

B

t

⋅

=

∑

ε

,

4

4

2

ˆ

s

n

B

t

⋅

=

∑

ε

obliczamy na podstawie

n

s

t

∑

=

2

ˆ

ε

i

t

t

t

y

y

ˆ

ˆ

−

=

ε

Korzystając z obliczeń reszt modelu wykonanych dla testu istotności autokorelacji otrzymamy:

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

8

8

okres

t

ε

ˆ

2

ˆ

t

ε

3

ˆ

t

ε

4

ˆ

t

ε

1

-0,0247 0,0006081156

-0,0000149961

0,0000003698

2

0,00782 0,0000611524

0,0000004782

0,0000000037

3

0,01153 0,0001329409

0,0000015328

0,0000000177

4

0,01019 0,0001038361

0,0000010581

0,0000000108

5

0,00637 0,0000405769

0,0000002585

0,0000000016

6

-0,0113 0,0001267876

-0,0000014276

0,0000000161

suma

0,0010734095

-0,0000130962

0,0000004197

Zatem: s = 0,01337541, B

1

= -0,912161862, B

2

= 2,185652318

Stąd statyka JB = 0,9978298. Statystyka ta ma rozkład chi-kwadrat o 2 stopniach swobody. Dla

przyjętego poziomu istotności

α = 0,05 znajdujemy w tablicach wartość krytyczną χ

α

2

(2) – dla

prawostronnego obszaru krytycznego. Wartość

χ

α

2

(2) = 5,991. Porównujemy wartośc statystyki JB z

wartością krytyczną wg reguł:

JB <

χ

α

2

nie odrzucamy H

0

JB >

χ

α

2

odrzucamy H

0

W naszym przykładzie JB <

χ

α

2

zatem nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności

rozkładu składnika losowego. Warto podkreslić, że test JB jest testem przeznaczonym dla dużych prób

i w naszym zadaniu raczej nie powinien być stosowany. Przedstawiliśmy go tutaj, aby pokazać

technikę wykonania tego testu. najlepszym testem do badania normalności rozkładu jest test Shapiro-

Wilka, i jeśli tylko mamy mozliwość jego wykonania, wybieramy go przed innymi testami na

normalność.

1.7 BADANIE STAŁOŚCI WARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO (TEST

WHITE’A)

Hipotezy w teście badającym jednorodność wariancji są następujące:

H

0

: składnik losowy ma stałą wariancję

H

A

: składnik losowy nia ma stałej wariancji

W statystyce zdefiniowanych jest wiele rodzajów testów White’a. W naszym przypadku

posłuzymy się takim, który zakłada podniesienie do kwadratu całej postaci analitycznej modelu.

Obliczamy model pomocniczy o postaci:

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

9

9

t

t

t

y

ξ

β

β

ε

+

+

=

2

1

0

2

ˆ

ˆ

gdzie

t

t

x

b

b

y

1

0

ˆ

ˆ

ˆ

+

=

Otrzymujemy zatem:

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

x

x

b

b

x

b

b

x

b

b

x

b

b

x

b

b

u

ξ

α

α

α

ξ

β

β

β

β

ξ

β

β

ξ

β

β

+

+

+

=

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

=

2

2

1

0

1

0

1

2

2

1

1

2

0

1

0

1

0

2

2

1

2

0

1

0

2

1

0

1

0

2

ˆ

ˆ

2

ˆ

ˆ

)

ˆ

ˆ

2

ˆ

ˆ

(

)

ˆ

ˆ

(

ˆ

Następnie obliczamy współczynnik determinacji dla modelu pomocniczego:

488

,

0

2

=

W

R

i obliczamy statystykę testową

928

,

2

488

,

0

6

2

=

⋅

=

⋅

=

W

R

n

W

, która ma rozkład chi-kwadrat o tylu

stopniach swobody, ile jest zmiennych objaśniających w modelu pomocniczym. W naszym modelu są

dwie zmienne objasniajace – x i x

2

– zatem, przy założonym poziomie istotnosci

α = 0,05, znajdujemy

w tablicach wartość krytyczną

χ

α

2

(2) = 5,991. Test ma prawostronny obszar krytyczny, zatem reguły

decyzyjne są nastepujace:

W <

χ

α

2

nie odrzucamy H

0

W >

χ

α

2

odrzucamy H

0

W naszym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy o stałości wariancji składnika

losowego.

2. SZACOWANIE OPISOWEGO MODELU NIELINIOWEGO

Z JEDNĄ ZMIENNĄ OBJAŚNIAJĄCĄ

W niniejszym przykładzie rozwiążemy problem związany z oszacowaniem parametrów

jednorównaniowego modelu klasy potęgowo-wykładniczej dla jednej zmiennej objaśniającej.

2.1 DANE DO ZADANIA

Oszacować klasyczną metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu:

t

e

X

e

Y

t

t

ε

α

α

⋅

⋅

=

1

0

gdzie:

Y

t

- miesięczne wydatki na odzież w tys. zł. na osobę,

X

t

- miesięczny dochód netto w tys. zł. na osobę.

Ponadto:

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

10

10

1. Zinterpretować model po oszacowaniu.

2. Obliczyć wariancję reszt modelu, średni błąd reszt, współczynniki R

2

,

ϕ

2

.

3. Oszacować średnie błędy ocen parametrów modelu.

4. Zweryfikować istotność statystyczną zmiennej objaśniającej dla poziomu

α = 0,1.

5. Ocenić statystyczną istotność autokorelacji składnika losowego.

Niezbędne dane podane są w poniższej tabeli:

Miesiąc Wydatki

Y

t

Dochód

X

t

1

0,07 0,6

2

0,095 0,8

3

0,110 1,0

4

0,125 1,2

5

0,145 1,4

6

0,170 1,6

2.2 SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU

Ponieważ rozważany model jest nieliniowy względem parametrów, a stosowana metoda estymacji

nie pozwala wprost szacować parametrów takiego modelu, należy go przekształcić do postaci liniowej

względem parametrów. Korzystając z własności modelu przekształcimy go poprzez obustronne

zlogarytmowanie:

(

)

t

e

X

e

y

t

t

ε

α

α

⋅

⋅

=

1

0

ln

ln

t

t

t

x

y

ε

α

α

+

⋅

+

=

ln

ln

1

0

Stosując podstawienia

ln y

v

t

t

= i ln x

z

t

t

= uzyskujemy:

t

t

t

z

v

ε

α

α

+

⋅

+

=

1

0

Taka

postać modelu pozwala nam zastosować KMNK przy założeniu, że zmienną objaśniającą jest

z

t

, a zmienną objaśnianą jest v

t

(wymaga to oczywiście założenia, że między zmiennymi v i z

zachodzi zależność liniowa, i że spełnione są odpowiednie założenia co do własności składnika

losowego

ε). Przyjmując takie oznaczenia zapiszemy estymator KMNK następująco:

( )

$b

Z Z

Z v

T

T

=

−1

Wynika z tego, że postacie macierzy Z Z

T

i Z

T

v

są następujące:

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

11

11













=

∑

∑

∑

2

t

t

t

T

z

z

z

n

Z

Z













⋅

=

∑

∑

t

t

t

T

z

v

v

v

Z

Obliczenia elementów tych macierzy wykonamy w poniższej tabeli:

Miesiąc

Wydatki

Y

t

Dochód

X

t

v

t

(ln Y

t

)

z

t

(ln X

t

)

z

t

2

(ln X

t

)

2

v

t

z

t

1

0,07 0,6 -2,65926

-0,51083

0,26094

1,35842

2

0,095 0,8 -2,35388

-0,22314

0,04979 0,52525

3

0,110 1,0 -2,20727 0,00000

0,00000 0,00000

4

0,125 1,2 -2,07944 0,18232

0,03324 -0,37913

5

0,145 1,4 -1,93102 0,33647

0,11321 -0,64974

6

0,170 1,6 -1,77196 0,47000

0,22090 -0,83283

Σ

-13,00283 0,25483 0,67809 0,02198

Stąd mamy:













=

0,67809

0,25483

0,25483

6

Z

Z

T

Macierz

odwrotną

( )

Z Z

T

−1

obliczymy ze wzoru:

( ) ( )

Z Z

Z Z

Z Z

T

T

D

T

−

=

1

Macierz

dopełnień algebraicznych:

( )

Z Z

T

D

=











0,67809 -0,25483

-0,25483

6

Wyznacznik

(

) (

)

Z Z

T

=

⋅ − −

⋅ −

0 67809 6

0 25483

0 25483

,

,

,

= 4,00363

Stąd:

( )

Z Z

T

−

=











=











1

6

4 00363

0,67809 -0,25483

-0,25483

0,16937 -0,06365

-0,06365 1,49864

,

Wektor

Z v

T

ma postać:













=

0,02198

13,00283

-

v

Z

T

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

12

12

Możemy zatem policzyć oceny parametrów postaci logarytmiczno-liniowej naszego modelu:

( )

1

0

1

ˆ

ˆ

0,86057

2,20369

-

0,02198

13,00283

-

1,49864

0,06365

-

0,06365

-

0,16937

ˆ

α

α

←

←













=













⋅













=

=

−

v

Z

Z

Z

b

T

T

Postać teoretyczna modelu:

t

z

0,86057

+

-2,20369

ˆ

⋅

=

t

v

lub lepiej bezpośrednio w postaci pierwotnej:

86057

,

0

20369

,

2

ˆ

t

t

X

e

Y

⋅

=

−

Parametr

będący wykładnikiem potęgi dla zmiennej X jest elastycznością wydatków Y względem

dochodów X. Możemy zinterpretować go następująco:

Ceteris paribus wzrost dochodów X o 1 procent powodował wzrost wydatków Y średnio o 0,861

procenta (spadekt dochodów X o 1 procent powodował spadek wydatków Y średnio o 0,861 procenta).

2.3 MIARY DOPASOWANIA

2.3.1 WARIANCJA RESZT MODELU

Szacując miary dopasowania analizowanego modelu odnosimy je oczywiście do postaci

zlogarytmowanej (zlinearyzowanej). Oznacza to, że we wszystkich wzorach, które stosujemy w tym

celu zmienną objaśnianą jest v, zaś zmienną objaśniającą jest z.

Aby

oszacować wariancję reszt

ε

ˆ modelu można skorzystać ze wzoru:

( )

(

)

1

ˆ

ˆ

2

2

+

−

⋅

−

=

∑

k

n

b

v

Z

v

T

T

t

ε

σ

=

[

]

(

)

=

=











−

⋅

4

28,67305

-

28,67722

1

+

1

-

6

86057

,

0

20369

,

2

0,021983

13,0028

-

-

28,67722

4

0,00417

=

0,0010425

=

2

ˆ

ε

σ

2.3.2 ŚREDNI BŁĄD RESZTOWY

Na podstawie znajomości wariancji reszt wyznaczamy odchylenie standardowe reszt modelu

(średni błąd reszt)

ε

σ

ˆ :

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

13

13

0,03229

=

=

=

0010425

,

0

ˆ

ˆ

2

ε

ε

σ

σ

Interpretując otrzymaną wartość zauważmy, że składnik losowy

ε w postaci pierwotnej

(nieliniowej) modelu nie jest addytywny lecz multiplikatywny. To oznacza, że składnik resztowy nie

określa zwykłych różnić między wartościami rzeczywistymi zmiennej objaśnianej Y

t

, a jej wartościami

teoretycznymi

t

Yˆ

. Składnik resztowy oznacza w naszym modelu różnicę między wartościami

rzeczywistymi v

t

, a wartościami teoretycznymi

t

vˆ

. Interpretacja w odniesieniu do zmiennej v, czyli

logarytmów y, byłaby oczywiscie merytorycznie poprawna, jednak nieczytelna.

Chcąc odnieść się bezpośrednio do zmiennej wydatków Y w naszym przypadku powiemy, że

udział różnic między wartościami empirycznymi

t

Yˆ

a teoretycznymi zmiennej Y w teoretycznych

wartościach

t

Yˆ

(czyli

t

t

t

Y

Y

Y

ˆ

ˆ

−

) wynosi średnio:

(

)

(

)

%

25

,

3

100

1

100

1

03206

,

0

ˆ

=

⋅

−

=

⋅

−

e

e

ε

σ

2.3.3 WSPÓŁCZYNNIK ZBIEŻNOŚCI

Współczynnik zbieżności

ϕ

2

obliczymy wykorzystując następujący wzór (wartość

(

)

∑

−

2

v

v

t

obliczono w poprzedniej tabeli):

( )

(

)

[

]

0,49828

0,00417

0,49828

28,67305

-

28,67722

0,49828

86057

,

0

20369

,

2

0,021983

13,0028

-

-

28,67722

ˆ

2

2

2

=

=

=











−

⋅

=

−

⋅

−

=

∑

∑

v

v

b

v

Z

v

t

T

T

t

ϕ

00837

,

0

2

=

ϕ

Interpretując ten wskaźnik powiemy, że 0,84% całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej (w

formie liniowej modelu) nie zostało wyjaśnione przez model.

2.3.4 WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI

Współczynnik determinacji R

2

obliczymy korzystając ze wzoru:

99163

,

0

00837

,

0

1

1

2

2

=

−

=

−

=

ϕ

R

Interpretacja:

99,16% całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej zostało wyjaśnione przez model.

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

14

14

2.4 ŚREDNIE BŁĘDY OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH

Średnie błędy ocen parametrów modelu oszacujemy rozpoczynając obliczenia od wyznaczenia

macierzy wariancji-kowariancji estymatorów parametrów modelu:

( )

1

2

2

ˆ

)

ˆ

(

−

⋅

=

Z

Z

b

D

T

ε

σ

=













−

−

=













⋅

0,00154

0,000174

000065

,

0

000065

,

0

1,49864

0,06365

-

0,06365

-

0,16937

0,001028

Elementy

leżące na głównej przekątnej to wariancje ocen parametrów modelu. Obliczając ich

pierwiastki uzyskamy średnie błędy ocen parametrów (odchylenia standardowe ocen tych

parametrów):

$

$

,

,

σ

σ

α

α

0

0

2

0 000174

0 0132

=

=

= ±

$

$

,

,

σ

σ

α

α

1

1

2

0 00154

0 0392

=

=

= ±

Po oszacowaniu tych błędów możemy zapisać model następująco:

(

)

(

)

0392

,

0

0132

,

0

86057

,

0

20369

,

2

ˆ

±

±

⋅

=

−

t

t

x

e

y

2.5 OCENA ISTOTNOŚCI ZMIENNEJ OBJASNIAJĄCEJ

Zakładając, że składnik losowy spełnia własności normalności rozkładu, stałości wariancji oraz

braku istotnej autokorelacji możemy wykonać ocenę istotności zmiennej objaśniającej x modelu za

pomocą testu t-Studenta. Istotność zmiennych badamy testując parametry strukturalne.

Dla

parametru

α

1

stawiamy zestaw hipotez:

H

0

:

α

1

= 0, H

A

:

α

1

≠ 0.

Obliczmy

statystykę próbkową dla parametru

α

1

:

953

,

21

0392

,

0

86057

,

0

ˆ

ˆ

1

1

ˆ

1

ˆ

=

=

=

α

α

σ

α

t

Przy

założeniu prawdziwości hipotezy zerowej powyższa statystyka ma rozkład t-Studenta o n-

(k+1) stopniach swobody, wobec tego, przy założonym poziomie istotności dla testu dwustronnego (

α

= 0,1), znajdujemy w tablicach statystycznych wartość krytyczną rozkładu t:

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

15

15

132

,

2

05

,

0

2

=

= t

t

a

Porównując statystykę próbkową z wartością krytyczną otrzymujemy:

•

2

ˆ

1

α

α

t

t

>

zatem odrzucamy hipotezę H

0

na korzyść hipotezy H

A

, czyli stwierdzamy, że parametr

α

1

istotnie różni się od 0, co oznacza, że zmienna X (dochody) istotnie wpływała w badanym

okresie na wielkość wydatków Y.

2.6 OCENA ISTOTNOŚCI AUTOKORELACJI SKŁADNIKA LOSOWEGO

Aby

ocenić istotność współczynnika autokorelacji rzędu I-ego wykonamy test Durbina-Watsona.

Stawiamy następujący zestaw hipotez:

H

0

: współczynnik autokorelacji

ρ

1

nieistotnie różni się od 0,

H

A

: współczynnik autokorelacji

ρ

1

istotnie różni się od 0.

Statystyka próbkowa testu zostanie policzona na podstawie wzoru:

(

)

∑

∑

−

−

=

2

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

t

t

t

DW

ε

ε

ε

Na podstawie oszacowanego modelu obliczamy wartości teoretyczne

t

vˆ , a następnie reszty

modelu

t

ε

ˆ .

okres

v

t

t

vˆ

t

t

t

v

v ˆ

ˆ

−

=

ε

1

ˆ

−

t

ε

2

1

)

ˆ

ˆ

(

−

−

t

t

ε

ε

2

ˆ

t

ε

1

-2,65926

-2,64329 -0,01597

-

-

0,00025

2

-2,35388

-2,39572 0,04184 -0,01597 0,00334 0,00175

3

-2,20727

-2,20369 -0,00358 0,04184 0,00206 0,00001

4

-2,07944

-2,04679 -0,03265 -0,00358 0,00085 0,00107

5

-1,93102

-1,91413 -0,01689 -0,03265 0,00025 0,00029

6

-1,77196

-1,79922 0,02726 -0,01689 0,00195 0,00074

suma

0,00845 0,00411

Zatem statystyka DW wynosi:

056

,

2

00411

,

0

00845

,

0

=

=

DW

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

Materiały pomocnicze do zajeć z ekonometrii SSW Chojnice 2012

Krzysztof Świetlik

16

16

Ponieważ statystyka DW > 2 to zakładamy badanie istotności autokorelacji ujemnej.

Odnajdujemy w tablicach statystycznych wartości krytyczne rozkładu DW dla ustalonego poziomu

istotności (

α = 0,05) oraz stopni swobody n = 6 i k = 1:

dL = 0,610; dU = 1,400.

Obliczamy

statystykę pomocniczą DW’ = 4-DW = 4-2,056 = 1,944

Ponieważ zachodzi zależność: DW’>dU to test Durbina-Watsona rozstrzyga o nieodrzuceniu

hipotezy H

0

. Zatem możemy uznać autokorelację składnika losowego za nieistotną.

Mając obliczoną wartość DW możemy oszacować współczynnik autokorelacji I-ego rzędu

028

,

0

2

056

,

2

1

2

1

ˆ

1

−

=

−

≅

−

≅

DW

ρ

Współczynnik przyjmuje bardzo małą wartość – siła autokorelacji jest znikoma.