Temat: Przygotowanie do stosowania wyrażeń dwumianowanych w praktyce.

Wyrażenia mianowane – wyrażenia o tym samym mianie np. 2 zł, 3 cm, 20 dag, jednostki długości, wagi, pojemności, waluty.

Wyrażenia dwumianowane – wyrażenia składające się z wartości liczbowych, mające dwa miana
z tego samego zakresu miar; najlepiej otrzymywać je w sposób naturalny z życia lub czynności wykonywanych przez dzieci, np. mierzenia (1m 20 cm), ważenia (2 kg 40 dag) i płacenia (20 zł 50 gr).

Program nauczania przewiduje następujące treści:

• wyrażenia dwumianowane

• dodawanie i odejmowanie wyrażeń dwumianowanych związanych z mierzeniem, ważeniem i płaceniem

Praktyczne ćwiczenia w zakresie wyrażeń dwumianowanych uczą dzieci myślenia matematycznego i umiejętności ujmowania zagadnień życiowych w formuły matematyczne.

W realizacji zadań związanych z wyrażeniami dwumianowanymi nauczyciel nie może poprzestać na oświadczeniach uczniów z życia, ale organizowane powinny być przez niego lekcje, podczas których uczniowie będą mieli możliwość wykonywania czynności mierzenia, ważenia i liczenia pieniędzy. Może to mieć odbicie w urządzeniu klasy, w zabawie w sklep, w pomiarach boiska itp. Celem takich działań jest stworzenie warunków do aktywnej postawy uczniów, którą nauczyciel powinien wzbogacać odpowiednimi środkami dydaktycznymi. Powinien on czynić wszelkie starania, aby uczniowie dobrze zrozumieli materiał w momencie jego omawiania i wykonywania ćwiczeń.

1. Nauczyciel musi zwrócić uwagę, na:

• poprawną wymowę końcówek przez uczniów, np.:

1 m 4 cm 1 kg 4 dag 2 zł 20 gr

3 m 21 cm 31 kg 5 dag 20 zł 02 gr

51 m 20 cm 4 kg 25 dag 150 zł 50 gr

Dla utrwalenia właściwego odczytywania wyrażeń dwumianowanych można stosować różne ćwiczenia, np.:

1. odczytaj i zapisz wyrażenia dwumianowane:

   3 m 26 cm – trzy metry dwadzieścia sześć centymetrów

   8 kg 50 dag -

   90 zł 40 gr -

2. wskaż, jakich miar dotyczą wymienione jednostki:

   1 metr

   

   1 grosz miary masy

   1 krok

   1 kilogram

   

   1 tona miary długości

   1 centymetr

1 złoty

1 łokieć

miary pieniędzy

1 dekagram

1 kilometr

3. podaj odpowiedzi w postaci wyrażeń dwumianowanych do następujących pomiarów:

Ile waży torebka mąki? Ile tu jest pieniędzy razem?

...... kg ...... dag ......zł ...... gr

Jaką długość ma listwa?

2. Bardzo ważne są ćwiczenia w zamianie wyrażeń mianowanych na dwumianowane, np.:

   120 cm = 1 m 20 cm itd. i odwrotnie, np. 5 kg 25 dag = 525 dag.

   Zmiany te należy stopniować od najłatwiejszych do najtrudniejszych. Najpierw więc zamiennikiem powinna być liczba 10 (np. 5 dag 8 g = 58 g), a potem liczba 100 (np. 5 kg 10 dag = 510 dag) i na końcu 1000 (np. 6 t 125 kg = 6125 kg).

   Bardzo ważne jest tu występowanie zera przy zamienniku 100 i 1000. Przy zamienniku 100 niższą liczbę jednostek miary piszemy dwoma cyframi (np. 2 kg 05 dag), natomiast przy zmienniku 1000 niższą liczbę piszemy trzema cyframi (np. 5 kg 018 g). Do takiego zapisu należy uczniów przyzwyczajać.

2. Etapy wprowadzania działań na wyrażeniach dwumianowanych.

1. Działania na wyrażeniach mianowanych o tym samym mianie, np. 2 cm + 4 cm = 6 cm,
   z późniejszym uwzględnieniem przykładów wymagających wyodrębnienia jednostki wyższego rzędu, np. 70 dag + 35 dag = 105 dag = 1 kg 05 dag)

Poprzez zastosowanie pomiarów i zadań tekstowych.

2. Ćwiczenia w dodawaniu i odejmowaniu dwóch wyrażeń mianowanych, ale o jednostkach różnych rzędów, po to, aby otrzymać wyrażenie dwumianowane, np. 5 kg + 20 dag = 5 kg 20 dag. Najlepiej wykonać to w trakcie ważenia lub mierzenia, a spróbować również zamiany pieniędzy.

3. Ćwiczenia w dodawaniu i odejmowaniu wyrażeń z jednym mianem do wyrażenia dwumianowanego kolejno:

1) bez wyodrębnienia wyższej jednostki miary

2) z wyodrębnieniem wyższej jednostki miary, np. 2 m 75 cm + 3 m = 5 m 75 cm,
lub 2 m 75 cm – 1 m = 1 m 75 cm, oraz 2 m 75 cm + 35 cm = 2 m 110 cm = 3 m 10 cm

4. Dodawanie wyrażeń dwumianowanych kolejno:

   1) bez wyodrębnienia wyższej jednostki miary

   2) z wyodrębnieniem wyższej jednostki miary np. 2 kg 45 dag + 1 kg 15 dag = 3 kg 60 dag, oraz 2 kg 450 g + 1 kg 800 g = 3 kg 1250 g = 4 kg 250 g.

4. Dodawanie pisemne

1. Etap – dodawanie wyrażeń dwumianowanych bez wyodrębnienia wyższych jednostek miary, np.:

2. Etap – dodawanie wyrażenia zawierającego jedno miano do wyrażenia dwumianowanego
   (z wyodrębnieniem wyższej jednostki miary):

3. Etap – dodawanie wyrażeń dwumianowanych z wyodrębnieniem wyższych jednostek miary:

Zwrócić należy też uwagę na dodawanie wyrażeń dwumianownaych, w których liczby niższych jednostek miary nie mają najwyższego rzędu, np. 5 km 65 m + 2 km 72 m
(w przykładzie tym brakuje setek metrów). Po analizie trzeba oznaczyć brakujące rzędy zerami:

5. W odejmowaniu pisemnym wyrażeń dwumianowanych, należy opracować następujące przypadki:

1. Gdy nie zachodzi potrzeba zamiany wyższej jednostki miary na niższe, np.:

2. Gdy zachodzi potrzeba zamiany jednej jednostki wyższego rzędu na mniejsze, np.:

Objaśniamy, że gdy przyjrzymy się uważnie liczbom metrów i centymetrów w odjemnej
i odjemniku, to łatwo zauważymy, że od 15 cm nie można odjąć 32. Należy więc zamienić
1 m na centymetry i do otrzymanych 100 cm dodać 15 cm. Odjemna 9 m i 15 cm przekształcona została na inne, równe jej wyrażenie 8 m i 115 cm. Dla lepszego wyjaśnienia możemy przepisać dany przykład w takiej postaci:

lub zapisać te zamiany małymi cyferkami u góry tak jak w odejmowaniu pisemnym
z zamianą rzędów.

3. Gdy odjemna jest wyrażeniem zawierającym jedno miano, a odjemnik – wyrażeniem dwumianowanym, np.:

W tym przypadku najpierw dokonujemy zamiany 1 m na 100 centymetrów i odejmujemy:

Później wypełniamy te miejsca zerami i odejmujemy zamieniając rzędy, np.:

4. Gdy w odjemnej brakuje pewnych rzędów, np.: 5 kg 5 dag – 3 kg 9 dag,

   25 m 3 cm – 12 m 6 cm, 12 zł 5 gr – 8 zł 10 gr.

W pierwszym przykładzie brakuje rzędu setek, w drugim i trzecim przykładzie brakuje rzędu dziesiątek. Aby w rozwiązywaniu takich przykładów zapobiec błędom, należy przeanalizować przykłady przed ich rozwiązaniem i dostrzec brak rzędu, który trzeba
w zapisie pisemnym uzupełnić zerem. Przykłady:

Przykłady ćwiczeń w syntetycznym zestawieniu:

• mierzenie różnych długości (ważenie, płacenie) i zapisywanie wyników (długość klasy, tablicy, stołu, ciężar ważonych towarów, ustalanie cen towarów);

• odczytywanie wyrażeń dwumianowanych ze zwracaniem uwagi na prawidłowe wymawianie (np. cen towarów, długości, ciężarów);

• zamiana wyrażeń mianowanych na dwumianowane i odwrotnie;

• obliczanie odcinków dłuższych i krótszych od danych (o tyle więcej – mniej,

  tyle razy więcej – mniej);

• ustalanie kolejności wyrażeń dwumianowanych od najmniejszego do największego

  i odwrotnie na osi liczbowej;

• porównywanie wyrażeń dwumianowanych z zastosowaniem znaków nierówności

  (np. wzrost, waga, cena);

• pamięciowe dodawanie i odejmowanie wyrażeń dwumianowanych z wyraźnym odczytywaniem składników i sumy (zwrócenie uwagi na końcówki):

  3 kg 25 dag + 4 kg 30 dag = 7 kg 55 dag

• zapisywanie działań pamięciowych z wyrażeniami dwumianowanymi sposobem pisemnym;

• układanie wzorów do zadań tekstowych z wyrażeniami dwumianowanymi.

Uzupełnieniem ćwiczeń jest poniższe zestawienie środków dydaktycznych potrzebnych w realizacji omawianego działu:

• liniały i inne miary,

• wagi i odważniki

• monety i banknoty (modele papierowe i plastikowe oraz rzeczywiste)

• patyczki, klocki, kubki, pudełka itp.,

• tabele ilustrujące miary długości, masy, pieniędzy,

• cennik towarów,

• kartoniki z wpisami danych do zadań,

• tablica flanelowa i magnetyczna

• projektoskop do prezentowania treści zadań itp.

Przykłady zadań:

1) Ania codziennie pomaga mamie robiąc zakupy. Dzisiaj wybrała się do trzech różnych sklepów. Kupowała następujące artykuły: ciasto, tasiemkę, album. Pomóżcie Ani ustalić kolejność robienia poszczególnych zakupów tak, aby nie pobrudziła albumu, tasiemki i nie zgniotła ciasta. Jakie jednostki miar można wpisać obok ciasta, jakie obok tasiemki i jakie obok albumu?

Artykuły	Jednostka miary	Cena
ciasto tasiemka album	1 kg 5 dag 2 m 15 cm 1 szt.	8 zł 50 gr 5 zł 00 gr 25 zł 50 gr

2) Nauka poprzez zabawę:

• zabawa w sklep,

• zbieranie i uporządkowywanie materiału dotyczącego jednostek miar, masy i pieniędzy

3) Nauka danych jednostek:

Jednostki długości metry – m centymetry – cm

Jednostki masy kilogramy – kg dekagramy – dag gramy – g

Jednostki pieniędzy złote – zł grosze – gr

4) Wyodrębnianie wyrażeń dwumianowanych z jednomianowanych:

a) 350 cm = 3 * 100 cm + 1 * 50 cm = 3 m + 50 cm = 3 m 50 cm

b) 725 dag = 7 * 100 dag + 1 * 25 dag = 7 kg + 25 dag = 7 kg 25 dag

c) 510 gr = 5 * 100 gr + 1 * 10 gr = 5 zł + 10 gr = 5 zł 10 gr

5) Ustalanie, ile jednostek mniejszych zawiera się w jednostce większej:

Poziom I określa: 1 kg = ...... dag (ćwiczenia na wadze)

Poziom II określa: 1 zł = ...... gr (zamiana złotych na grosze)

Poziom III określa: 1 m = ...... cm ( porównywanie metrów)

6) Zamienianie wyrażeń dwumianowanych na jednostki niższego rzędu:

8 zł 50 gr = 850 gr 215 kg 25 dag = 10 m 20 cm =

7) Szukanie wyrażeń dwumianowanych najmniejszych i największych wśród podanych...

8) Rozmieszczenie na osi liczbowej wyrażeń dwumianowanych (na tablicy i potem na koartonikach przez uczniów) 2 kg, 75 dag, 15 dag, 25 dag, 50 dag, 1 kg, 1kg 50 dag.

9) Rozwiązywanie zadań tekstowych na osi liczbowej:

Ekspedientka sprzedawała tasiemkę. Sprzedała kolejno: 1m 50 cm, 25 cm, 2 m 75 cm, 4 m 25 cm, 5 m 50 cm tasiemki. Ile tasiemki sprzedała ekspedientka?

a) podział odcinków tasiemek na 4 równe części

b) rysowanie długości tasiemek za pomocą strzałek.

10) Zaznacz na osi liczbowej dane: 1zł 20 gr, 2 zł 50 gr, 4 zł 10 gr, 9 zł 60 gr, 5 zł 90 gr.

11) Jaś ma 1m 65 cm wzrostu, Zuzia ma 1 m 50 cm wzrostu. O ile cm wyższy jest Jaś?

12) Karolinka kupiła 2 kg gruszek i 60 dag cukierków. Ile ważył jej zakup?

13) Seria starych znaczków miała następujące ceny: 60 gr, 80 gr, 1 zł. Ile kosztowała cała seria znaczków?

7