GRUPA {G, *}

(G - zbiór, * - działanie łączne w G spełniające poniższe warunki)

1. Istnieje element neutralny

2. Każdy element G posiada element odwrotny/przeciwny

3. Działania * na zbiorze G są łączne

Jeżeli występuje przemienność działań to grupa jest abelowa (przemienna)

CIAŁO {F, +, ^{. }}

^{(F - zbiór, działania wewnętrzne „+” - dodawanie i „.” - mnożenie, spełniające poniższe warunki)}

^{1. {F,+} jest grupą abelową (przemienną)}

^{2. {F\{0}, . } jest grupą abelową (przemienną)}

^{3. (prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania)}

^{W ciele zachodzą następujące warunki:}

^{LICZBY ZESPOLONE}

^{(a) Postać kanoniczna}

^{(b) Postać sprzężona}

^{(c) Postać trygonometryczna}

^{(d) Wzory:}

^{PRZESTRZENIE LINIOWE {V(F), +, . } (też przestrzenie wektorowe)}

^{(V - zbiór, F - ciało)}

^{(a) Przestrzenią liniową V nad ciałem F nazywamy układ {V(F), +, . } gdzie „+” jest działaniem wewnętrznym w zbiorze V a „.” działaniem zewnętrznym}

^{(b) Podprzestrzeń liniowa zawarta nazywamy każdy taki podzbiór w przestrzeni V, że W jest przestrzenią liniową nad F}

^{(c) baza: Zbiór jest bazą przestrzeni liniowej V(F) jeżeli}

^{1. Jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych}

^{2. każdy wektor da się przedstawić jako kombinację liniową wektorów ze zbioru (napina przestrzeń wektorową)}

^{(d) układ wektorów nazywamy układem wektorów liniowo niezależnych jeżeli dla dowolnego układu skalarów spełniony jest warunek}

^{PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE (też odwzorowania liniowe)}

^{(A - przekształcenie liniowe, V i V' - przestrzenie liniowe nad ciałem F)}

^(a)

^(b)

^{(c) Jądrem A nazywamy zbiór . Ker A jest podprzestrzenią V}

^{(d) Obrazem A nazywamy zbiór . Im A jest podprzestrzenią V}

^{(e) Rzędem przekształcenia A nazywamy wymiar obrazu A}

^{(f) Macierz przekształcenia jest to zapis przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem}

^{PRZEJŚCIE Z JEDNEJ BAZY DO INNEJ BAZY}

^{(a) Macierz przejścia jest to macierz odwracalna, zwana macierzą przejścia z bazy B do bazy B'}

^(b)

^{(c) (co jest w miejscu „?”)}

^{(d) Macierz podobna. Dwie macierze ( ) A, B są podobne, jeżeli istnieje macierz C ( ) nieosobliwa, że . Własności: (Tr - ślad macierzy, suma elementów na diagonalnej (przekątnej) )}

^MACIERZE

^{rząd macierzy - ilość niezależnych liniowo kolumn}

^{macierz skalarna z przekątną główną (a, …, a)}

^{sprzężenie hermitowskie np.}

^{WYZNACZNIK MACIERZY KWADRATOWEJ}

^{(A - macierz)}

^{(a) Wyznacznik to funkcja określona na macierzach kwadratowych, związana z mnożeniem i dodawaniem odpowiednich elementów dużej macierzy, by otrzymać pojedynczą liczbę}

^{(z Laplace'a)}

^{(b) Własności:}

^1.

^{2. Wyznacznik macierzy, w której jeden z wierszy został pomnożony przez liczbę jest równy iloczynowi i wyznacznika wyjściowej macierzy}

^{3. Wyznacznik macierzy, której kolumna lub wiersz zawiera same zera = 0}

^{4. Przy zamianie dwóch kolumn lub wierszy znak wyznacznika zmienia się na przeciwny}

^{5. Wyznacznik macierzy jednostkowej = 1}

^{6. Jeżeli w macierzy są identyczne dwa wiersze lub kolumny to wyznacznik jest równy 0}

^7.

^{WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE PRZEKSZTAŁCEŃ LINIOWYCH}

^(a)

^{(b) Transformacja podobieństwa}

^{macierz diagonalizująca (P), wektory własne jako kolumny}

^{macierz diagonalna, wartości własne na przekątnej}

^{PRZESTRZENIE Z ILOCZYNEM WEWNĘTRZNYM (iloczyn skalarny)}

^{(a) Iloczyn wewnętrzny: operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom tej przestrzeni wartość skalarną}

^{Iloczyn skalarny:}

^{(b) Zbiory ortonormalne}

^{jest zbiorem ortonormalnym}

^{(c) Zupełność zbioru ortonormalnego nie zawiera się z żadnym większym zbiorze ortonormalnym}

^{(d) Własności:}

^{(e) Ortogonalizacja Grama-Schmidta}

^{PRZEKSZTAŁCENIA SPRZĘŻONE DO DANEGO PRZEKSZTAŁCENIA}

^{Przekształcenia B jest sprzężone do A jeśli}

^{Zazwyczaj przekształcenie sprzężone do}

^{Samosprzężone (rzeczywiste wartości własne)}

^{Macierz unitarna}