Przekształcenia geometryczne 98-11-12

1. Wektory

Wektor - jest to uporządkowana para punktów, z których pierwszy jest początkiem, a drugi końcem.

• Cechy wektora:

1. kierunek wektora - prosta AB

2. zwrot wektora - od A do B

3. wartość wektora (długość wektora):
   

• Opis wektora

A(x₁,y₁)

B(x₂,y₂)

Przykład:

A(3,1)

B(7,5)

• Właściwości wektorów

1. Wektory są równe, wtedy gdy mają ten sam kierunek, wartość i zwrot

2. 
   Wektory są przeciwne, wtedy gdy mają tą samą wartość i kierunek, ale przeciwny zwrot

3. wektor zerowy

4. wyznacznik niezerowych wektorów

5. równoległość wektorów

Wektory
i
są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taka liczba rzeczywista k, że
. Jeżeli k>0, to wektory są równoległe z tym samym zwrotem, jeżeli k<0 to mają zwrot przeciwny.

• działania na wektorach

1. dodawanie

2. odejmowanie

3. mnożenie przez stałą

4. mnożenie skalarne

!!! Wynikiem mnożenia skalarnego wektorów jest liczba !!!

• wzory pomocnicze

1. C - środek odcinka AB: A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)

2. Przekształcenia

Izometria - jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę (przestrzeni w przestrzeń) spełniające warunek: odległość dwóch dowolnych punktów płaszczyzny jest równa odległości ich obrazów w przekształceniu.

A' jest obrazem punktu A w izometrii  zapisujemy: A'=(A)

• translacja (przesunięcie równoległe)

Translacja o wektor u jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym obrazem dowolnego punktu P jest punkt P', taki że wektor PP'=u

Przykład:

• symetria środkowa względem punktu

Przykład:

• symetria osiowa względem prostej

gdzie P₁ jest rzutem prostokątnym punktu P na prostą a

Przykład:

Przekształcenia a funkcje

1. Translacja o wektor w układzie współrzędnych

P(x,y)

Przykład:

2. Przekształcenia a przepis funkcji

Dana jest funkcja: y=f(x)

1. Translacja o wektor
   Wynik: y=f(x-p)+q

2. Symetria względem osi OY Wynik: y=f(-x)

3. Symetria względem osi OX Wynik: y=-f(x)

4. Wartość bezwględna z x Wynik: y=f(|x|)

5. Wartość bezwględna z f(x) Wynik: y=|f(x)|

Przykład:

Naszkicować wykres funkcji:

Zadania:

Przekształcenia

1. Znajdź koniec wektora o początku M(3,2) mającego współrzędne [2,1].

2. Dane są punkty A(3,-1),B(5,2),C(1,4). Znajdź wierzchołek D równoległoboku BCAE, i wierzchołek F równoległoboku CABF (wskazówka: w równoległoboku ABCD
   , co wiesz o współrzędnych wektorów równoległych).

3. Mniejszą podstawą trapezu jest AB: A(3,2), B(2,-1). Podstawa większa jest dwa razy dłuższa od mniejszej i ma środek w punkcie M(1,1). Znajdź pozostałe wierzchołki trapezu.

4. Znajdź obraz punktu P(x,y) w symetrii względem prostej y=b (jest to prosta równoległa do osi x).

5. Znajdź obraz punktu P(x,y) w symetrii względem prostej x=a (jest to prosta prostopadła do osi x).

6. Znajdź obraz punktu P(x,y) w symetrii środkowej względem punktu (0,0).

7. Znajdź obraz punktu P(x,y) w symetrii środkowej względem punktu S(a,b).

Funkcje

1. Wykres funkcji y=f(x) przesunięto równolegle o wektor [p,q]. Znajdź wzór tej funkcji.

2. Narysuj wykres funkcji:
   

3. Narysuj wykres funkcji:
   

4. Narysuj wykres funkcji:
   

5. Narysuj wykres funkcji:
   

6. Narysuj wykres funkcji:
   

7. Narysuj wykres funkcji:
   

8

1

A

B

AB=(A,B)

AB=[x₂-x₁,y₂-y₁]=[a₁,a₂]

AB=[...., ....]

Długość:

Długość:

u

P

P'

u

P

O

P'

P'

P₁

P

a

A

B

C

O

a

A(-4,3)

B(-1,4)

A(-1,1)

A(-4,1)

u[-3,-2]

u[p,q]

u'[-p,-q]

(x,y)

(-x,-y)

u[p,q]

---