Ćwiczenie 6.
Zastosowanie procesów Markowa do oceny niezawodności systemów wielostanowych
Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu może przyjmować jedną z dwóch wartości (λ0 = 1,7*10-2 uszkodzenia na godzinę) albo (λ1= 3,2*10-2 uszkodzenia na godzinę). Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ0, gdy żaden element urządzenia nie jest uszkodzony. Gdy uszkodzeniu ulegnie jeden z elementów, intensywność uszkodzeń urządzenia wzrasta i przyjmuje wartość λ1. (Jest to spowodowane wzrostem obciążenia nieuszkodzonego elementu.)
Jeżeli dowolny element urządzenia ulegnie uszkodzeniu, niezwłocznie rozpoczyna się jego odnowa. Jeżeli jednak przed zakończeniem odnowy uszkodzonego elementu uszkodzi się również drugi, to odnowie poddawane jest całe urządzenie. Oznacza to, że element, którego odnowę zakończono najpierw nie rozpoczyna pracy, ale „czeka” na zakończenie odnowy drugiego elementu. Dopiero wówczas całe urządzenie ponownie zaczyna pracować.
Czas trwania odnowy pojedynczego elementu ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej Te = 14 godz. Czas odnowy całego urządzenia ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej Tu = 27 godz. Pomijamy uszkodzenia o wspólnej przyczynie, a zatem nie dopuszczamy możliwości uszkodzenia się w tej samej chwili obu elementów.
Określić zbiór stanów urządzenia.
Utworzyć układ równań algebraicznych opisujących związki, jakie zachodzą pomiędzy stacjonarnymi prawdopodobieństwami znajdowania się urządzenia w uprzednio określonych stanach.
Obliczyć wartości stacjonarnych prawdopodobieństw tego, że: równocześnie pracują oba elementy, pracuje tylko jeden z elementów, równocześnie nie pracują oba elementy.
Wyznaczyć stacjonarny współczynnik gotowości (gotowość asymptotyczną) rozpatrywanego urządzenia.
Obliczyć, po jakim czasie od pierwszego uruchomienia urządzenia prawdopodobieństwo tego, że oba elementy równocześnie pracują osiąga wartość różniącą się o 0,001 od stacjonarnego prawdopodobieństwa takiej sytuacji.
Teoria Niezawodności i Bezpieczeństwa - laboratorium