Artur Grudziński 6.XII.2002r.

Ćwiczenie nr 41.

Temat: Wyznaczanie stałej Halla.

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Jeżeli płytkę metaliczna, w której płynie stały prąd elektryczny, umieścimy w prostopadłym do niej polu magnetycznym, to między jej krawędziami równoległymi do prądu i pola powstaje różnica potencjałów U_H=ϕ₁-ϕ₂.

Zjawisko to zostało odkryte przez Halla i nosi nazwę efektu Halla lub

zjawiska galwanomagnetycznego.

Efekt Halla można łatwo wyjaśnić na gruncie teorii elektronowej. W nieobecności pola magnetycznego prąd w płytce uzależniony jest od pola elektrycznegoE₀. Przez płytkę przepływa prąd I. Mechanizm przewodzenia polega na uporządkowanym ruchu ładunków elektrycznych e. Gdy liczba ładunków w jednostce objętości wynosi n, a prędkość średnia u to możemy zapisać równość postaci

.

Powierzchnie ekwipotencjalne tego pola tworzą układ płaszczyzn prostopadłych do wektora E₀. Dwie z tych płaszczyzn przedstawione są na rysunku ciągłymi liniami prostymi. Potencjał we wszystkich punktach każdej z tych powierzchni, a wiec i w punktach 1 i 2 jest jednakowy. Nośniki prądu, czyli elektrony mają ładunek ujemny i dlatego prędkość u ich uporządkowanego ruchu jest skierowana przeciwnie do gęstości prądu j. Po włączeniu pola magnetycznego każdy nośnik znajduje się pod działaniem siły magnetycznej F, skierowanej wzdłuż b płytki i równej co do wartości

F=euB.

W wyniku jej działania elektrony zyskują składową prędkości skierowaną do górnej (na rysunku krawędzi płytki. W pobliżu tej krawędzi powstaje nadmiar ładunków ujemnych i odpowiednio przy krawędzi dolnej nadmiar ładunków dodatnich; pojawia się dodatkowe, poprzeczne pole elektryczne E_B. Gdy natężenie tego pola osiąga wartość, przy której jego działanie na ładunki równoważy siłę magnetyczna F, wtedy poprzeczny rozkład ładunków przechodzi w stan stacjonarny. Odpowiednia wartość E_B wynika z warunku:

.

Pole E_B sumuje się z polem E₀, dając pole wypadkowe E. Powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do wektora natężenia pola elektrycznego, muszą więc ulec obrotowi i zająć położenie przedstawione na rysunku linią przerywaną. Punkty 1 i 2, które poprzednio leżały na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej, mają teraz różne potencjały. Aby znaleźć napięcie między tymi punktami, należy pomnożyć odległość b między nimi przez natężenie E_B:

.

Po podstawieniu wzoru

otrzymujemy

.

Wyrażenie

nosi nazwę stałej Halla. Pomiar napiecia U
i stałej Halla umożliwia wyznaczenie liczby nośników n oraz charakteru przewodnictwa.

.

W przypadku gdy stała Halla jest:

1. R_H<0 mamy do czynienia z przewodnictwem elektronowym

2. R_H>0 mamy do czynienia z przewodnictwem dziurowym.

- w słabym polu magnetycznym

lub

- w silnym polu magnetycznym

W przypadku równych koncentracji: n_e=n_d=n;

- niezależnie od pola
.

Wartości stałej Halla:

1. Dla półprzewodników R_H rzędu
   

2. Dla metali alkalicznych R_H<0 i rzędu
   

3. Dla około połowy metali R_H>0. Kwantowa teoria przewodnictwa metali wyjaśnia ten efekt przewodnictwem metali z „półswobodnymi” elektronami. Takie zjawisko obserwujemy przy znaczącym zapełnieniu pasma przewodnictwa (
   , gdzie N to liczba poziomów energetycznych).

4. Ferromagnetyki wykazują anomalne zjawisko Halla.

,

gdzie R₁ to anormalna stała Halla (zwykle R₁>>R_H), która silnie zależy od temperatury i oporności właściwej metalu.

Element półprzewodnikowy wykorzystujący efekt Halla nazywamy hallotronem. Właściwości hallotronów charakteryzują następujące parametry

• oporność właściwa
  

• stała Halla
  

• ruchliwość Halla
  , związana z tzw. kątem Halla:
  

2. SCHEMAT DOŚWIADCZENIA

Próbką pomiarową jest cienka warstwa metalu (np. bizmut). W czasie pomiaru płytkę tę umieszcza się w szczelinie elektromagnetycznej prostopadle do kierunku linii sił pola magnetycznego. Źródłem prądu I_p jest elektroniczny zasilacz prądu stałego Z. Napięcie Halla występujące między elektrodami V_H, mierzymy za pomocą miliamperomierza V (lub kompensatora). Czysty efekt uzyskuje się, gdy linia, na której leżą elektrody V_H jest dokładnie prostopadła do linii łączącej elektrody I_p. Na ogół elektrody V_H są nieznacznie przesunięte względem I_p. W takim przypadku po przyłożeniu do elektrod I_p napięcia, wzdłuż próbki wytwarza się spadek potencjału. Ten spadek napięcia równy jest wskazaniu woltomierza V, występującym po wyłączeniu prądu I_p, lecz w nieobecności pola magnetycznego
.

3. OBLICZENIA I WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI

Lp.	I[mA]	Uo[V]	Uh1	Rh1	n1	Uh2	Rh2	n2	Uh3	Rh3	n3
1	1	0,0008	0,0107	0,013943662	4,48E+20	0,0140	0,012571429	4,97E+20	0,0168	0,012903	4,84E+20
2	2	0,0015	0,0185	0,011971831	5,21E+20	0,0267	0,01200000	5,20183E+20	0,0334	0,012863	4,85E+20
3	3	0,0021	0,0271	0,011737089	5,32E+20	0,0388	0,011650794	5,35774E+20	0,0468	0,012016	5,19E+20
4	4	0,0028	0,0361	0,011725352	5,32E+20	0,0519	0,011690476	5,33956E+20	0,0603	0,011593	5,38E+20
5	5	0,0034	0,0442	0,011492958	5,43E+20	0,0636	0,011466667	5,44378E+20	0,0755	0,011629	5,37E+20
6	6	0,0041	0,0540	0,011713615	5,33E+20	0,0764	0,01147619	5,43926E+20	0,0864	0,011062	5,64E+20
7	7	0,0047	0,0613	0,01138833	5,48E+20	0,0879	0,011319728	5,51444E+20	0,1035	0,011382	5,48E+20
8	8	0,0054	0,0697	0,011320423	5,51E+20	0,0997	0,01122619	5,56039E+20	0,1189	0,011442	5,46E+20
9	9	0,0060	0,0773	0,011158059	5,59E+20	0,1109	0,011100529	5,62333E+20	0,1362	0,011667	5,35E+20
10	10	0,0066	0,0839	0,010887324	5,73E+20	0,1244	0,011219048	5,56393E+20	0,1489	0,011476	5,44E+20

ładunek elektronu

1) Wyznaczanie stałej Halla

Lp.	Rh1i
1	0,013943662	4,883E-06
2	0,011971831	5,663E-08
3	0,011737089	1,04E-11
4	0,011725352	7,246E-11
5	0,011492958	5,804E-08
6	0,011713615	4,1E-10
7	0,01138833	1,194E-07
8	0,011320423	1,709E-07
9	0,011158059	3,316E-07
10	0,010887324	7,166E-07

Lp.	Rh2i
1	0,012571429	9,98647E-07
2	0,01200000	1,83094E-07
3	0,011650794	6,19189E-09
4	0,011690476	1,40117E-08
5	0,011466667	1,11173E-08
6	0,01147619	9,19961E-09
7	0,011319728	6,36942E-08
8	0,01122619	1,19657E-07
9	0,011100529	2,22384E-07
10	0,011219048	1,2465E-07

Lp.	Rh3i
1	0,012903226	1,20998E-06
2	0,012862903	1,1229E-06
3	0,012016129	4,53237E-08
4	0,011592742	4,43075E-08
5	0,011629032	3,03467E-08
6	0,011061828	5,49685E-07
7	0,011382488	1,77028E-07
8	0,011441532	1,30829E-07
9	0,011666667	1,8651E-08
10	0,011475806	1,0721E-07

2) Wyznaczanie liczby nośników prądu

Lp.	n1i
1	4,47673E+20	7,481E+39
2	5,21407E+20	1,627E+38
3	5,31835E+20	5,418E+36
4	5,32368E+20	3,223E+36
5	5,43132E+20	8,045E+37
6	5,32901E+20	1,592E+36
7	5,48122E+20	1,949E+38
8	5,5141E+20	2,975E+38
9	5,59434E+20	6,386E+38
10	5,73345E+20	1,535E+39

Lp.	n2i
1	4,96538E+20	1,8973E+39
2	5,20183E+20	3,9654E+38
3	5,35774E+20	1,86797E+37
4	5,33956E+20	3,77076E+37
5	5,44378E+20	1,8329E+37
6	5,43926E+20	1,46649E+37
7	5,51444E+20	1,2877E+38
8	5,56039E+20	2,54159E+38
9	5,62333E+20	4,94479E+38
10	5,56393E+20	2,65572E+38

Lp.	n3i
1	4,8377E+20	2,14685E+39
2	4,85287E+20	2,00861E+39
3	5,19485E+20	1,12774E+38
4	5,38457E+20	6,97724E+37
5	5,36777E+20	4,45242E+37
6	5,64301E+20	1,16939E+39
7	5,48404E+20	3,3486E+38
8	5,45574E+20	2,39295E+38
9	5,35045E+20	2,44145E+37
10	5,43944E+20	1,91538E+38

IV. WNIOSKI

Efekt Halla obserwuje się nie tylko w metalach , ale i w półprzewodnikach , gdzie ze znaku efektu można wnioskować o przynależności półprzewodnika do grupy n czy typu p.

Innym zastosowaniem hallotronu jest pomiar indukcji magnetycznej , bądź też pomiar kąta obrotu.

---