.

SPŁATA DŁUGÓW I KREDYTÓW(autor Henryk Gurgul)

Zaciągnięty kredyt/dług oznaczamy dużą literą S. Spłata długu może następować w ratach lub za pomocą jednorazowej płatności.

Przy płatności w ratach:

T_n - spłata kapitału (rata długu, niem. Tilgung),

Z_n - odsetki (niem. Zinsen),

A_n - rata łączna (niem. Annuitaet).

Łączna rata zawsze ma dwa składniki; ratę długu i odsetki.

Podstawowe metody spłaty długu mieszczą się w dwóch następujących schematach:

1. Zadane są raty łączne (rata kapitałowa + odsetki):

2. Zadane są raty kapitałowe:

Główne założenia modelowe:

1. Odsetki od długu są zwracane ratalnie,

2. Rata łączna jest równa sumie raty kapitałowej i raty odsetek.

Jeśli nie występują dodatkowe opłaty to:

Odsetki są wyznaczone w zależności od długu bieżącego

S_{n - 1} - nie spłacony dług

Spłata długu przy zadanych ratach łącznych

Wobec tego możemy następująco przedstawić kwotę długu, którą trzeba spłacić po n okresach.

,

r =1 + i - czynnik wartości przyszłej. Jeśli kredyt jest spłacony to reszta kredytu S_n= 0.

Mając zadane S , oraz wpłacone raty A₁ , A₂ , A_n równoważne kwocie długu S , może ustalić stopę procentową jaką bank faktycznie zastosował. Trzeba więc rozwiązać równanie ze względu na r :

Przykład 1.

Ułożyć plan spłaty długu 200 mln zł w 4 ratach rocznych jeśli ustalono, że łączne raty roczne będą w następujących wysokościach:

A₁ = 100 mln

A₂ = 90 mln

A₃ = 70 mln

A₄ = 28,32 mln

Obowiązująca przy tym długu stopę procentową obliczmy z równania:

.

podstawiając liczby z naszego przykładu otrzymujemy:

otrzymujemy równanie algebraiczne 4 stopnia.

Równanie to rozwiązuje się za pomocą metod numerycznych. Po rozwiązaniu otrzymujemy r = 1,2 , zaś i = 20%.

Plan spłaty długu przedstawia następująca tabelka:

	Dług poprzedni	Odsetki	Rata łączna	Wpłata kapitałowa	Dług który został
n	Sn - 1	Zn	An	Tn	Sn
1	200	40	100	60	140
2	140	28	90	62	78
3	78	15,6	70	54,4	23,6
4	23,6	4,72	28,32	23,6	0
∑		88,32	288,32	200

Ustalenie brakującej raty łącznej.

Jeśli dług jest spłacany na podstawie zadanych rat łącznych, wówczas wystarczy uwzględnić n - 1 rat. Wysokość brakującej raty n - tej wynika z równania:

Zapis matematyczny; brakująca rata

Raty w równych wysokościach.

W każdym roku spośród n - lat spłaca się taką samą kwotę.

Rozważamy spłaty z dołu (postnumerando), oprocentowanie dekursywne:

=v - czynnik dyskontujący

Wyznaczyć ratę łączną. Przypominamy wzór na sumę szeregu geometrycznego o ilorazie q:

Pierwsze trzy linie spłaty długu maja postać:

	Odsetki	Rata łączna	Wpłata kapitałowa	Dług który został
n	Zn	An	Tn	Sn
1	S0 i	T1	A	S0 - T1
2	(S0 - T1)i	T2	A	S0 - T1 - T2
3	(S0 - T1 - T2)i	T3	A	S0 - T1 - T2 - T3

W każdym wierszu suma odsetek i spłaconej raty kapitałowej jest równa racie łącznej.

Dla kolejnych spłat kapitałowych obowiązuje ciąg zależności:

Czyli dla ustalonej raty łącznej „A” ciąg rat kapitałowych jest ciągiem geometrycznym o ilorazie „r”. Kwoty spłaconego kapitału nanosimy w tabelce.

Przykład 2.

Należy spłacić w równych ratach bez reszty kwotę 100 tys. zł. płatne na koniec okresu (postnumerando), przy stopie procentowej i = 5% w 4 latach (4 ratach).

Plan spłaty:

	Odsetki	Wpłata kapitałowa	Rata łączna	Dług który został
n	Zn	Tn	An	Sn
1	5000	23201,18	28201,18	76798,82
2	3839,44	24361,24	28201,18	52437,58
3	2621,87	25579,31	28201,18	26858,27
4	1342,91	26858,77	28201,18	0
∑	12804,72	100000,00	112704,72	156094,67

Przykład 3.

Spłaty z góry, oprocentowanie antycypatywne „d”. Należy spłacić w równych ratach bez reszty kwotę 100 tys. zł. w 4 latach (ratach) przy d = 5%.

Plan spłaty:

	Odsetki	Wpłata kapitałowa	Rata łączna	Dług który został
n	Zn	Tn	An	Sn
1	3844,47	32110,62	26955,09	76889,38
2	2628,13	24326,96	26955,09	52562,42
3	1347,76	25607,33	26955,09	26955,09
4	0	26955,09	26955,09	0
∑	7820,36	100000,00	107820,36	156406,89

Dla kontroli obliczamy
.

Jednorazowa spłata długu z odsetkami w czasie n - lat.

Przy tym rodzaju spłaty tylko ostatnia rata spłaty jest różna od zera .

Przykład 4.

Zestawić plan jednorazowej spłaty długu S₀ = 10 000zł , n = 5 , i = 4% .

	Odsetki	Wpłata kapitałowa	Rata łączna	Dług który pozostał
n	Zn	Tn	An	Sn
1	400	-400	0	10400
2	416	-416	0	10816
3
4
5	467	10000	12166,53	0
∑

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

Wykład 3

1

---