Niestacjonarne procesy stochastyczne i ich modele

Procesy, które nie spełniają jednego z warunków stacjonarności są procesami niestacjonarnymi:

Y_t = P_t + S_t + η_t

P_t - składnik trendu, wyznacza zasadniczy kierunek rozwoju danego zjawiska w czasie

Jest to funkcja, która ma przebieg gładki i spokojny, bo zmiany trendowe związane są z długim okresem

S_t - składnik sezonowy określający wahania sezonowe (wahania cykliczne o okresie rocznym)

η_t - składnik stochastyczny (losowy), może być albo stacjonarny albo niestacjonarny, o średniej 0

P_t + S_t - składnik niestochastyczny, opisuje zmiany wartości średniej procesu

E(Y_t) = P_t + S_t

E(η_t) = 0

Zmiany sezonowo - trendowe są kojarzone z wartością średnią procesu.

1. Niestacjonarność w wartości średniej

Modele trendu i wahań sezonowych

Wielomianowa funkcja trendu

gdzie:

r - stopień wielomianu trendu

t - zmienna czasowa

jest przyjmowana wtedy, gdy nie ma żadnych innych informacji, jaka jest postać funkcji trendu

Wahania sezonowe, które maja okres roczny spotyka się w wielu procesach ekonomicznych, np.: popyt na towary zmienia się sezonowo (np. obuwie), inflacja, bezrobocie, PKB.

Model sezonowości periodycznej

gdzie:

d_k - parametr mierzący efekt sezonowy w danym cyklu roku np. o ile wykonano mniej napojów w styczniu niż wartość średnia

m- liczba sezonów w ciągu roku

m = 4,12,36 itd.

q_kt = zmienna zero - jedynkowa

Model szeregu z trendem liniowym i sezonowością kwartalną

2. Niestacjonarność w zakresie wariancji oraz funkcji kowariancyjnej

Modele ARIMA

Modele ARIMA opisują procesy zintegrowane ( niestacjonarne w zakresie wariancji )

gdzie:

Δ^d = ( 1 - B )^d

Φ(B) = ( 1- Φ₁B - Φ₂B2 - ... - Φ_pB^p )

θ(B) = ( 1 - θ₁B - θ₂B² - ... - θ_qB^q )

ARIMA (p,d,q) autoregresyjny (p) zintegrowany (d) proces średniej ruchomej (q)

Dosyć dobrze opisuje kształtowanie się procesów na rynku papierów wartościowych.

Model błądzenia przypadkowego.

Szczególny przypadek ARIMA(0,1,0), dość dobrze opisuje zmiany kursu akcji.

y_t = y_t-1 + ε_t

gdzie ε_t - biały szum

alternatywne zapisy tego samego modelu:

(1-B)y_t = ε_t Δy_t = ε_t

Jeżeli obliczymy różnicę rzędu I otrzymamy biały szum.

y_t = y_t-1 + ε_t Najlepszą prognozą dla procesu y jest jego wartość poprzednia,

E(y_t) = y_t-1 wartość y_t-1

E(ε_t) = 0 Jeżeli kursy akcji podlegają temu modelowi to ich prognozowanie jest niemożliwe (istnieją od tego odstępstwa)

Proces błądzenia przypadkowego - sposób postępowania

y₀ = ε₀

y₁ = y₀ + ε₁ = ε₀ + ε₁

y₂ = y₁ + ε₂ = ε₀ + ε₁ + ε₂

Proces błądzenia przypadkowego powstaje w wyniku sumowania białych szumów.

Proces zintegrowany ma zmienną wariancję, jest niestacjonarny w zakresie wariancji.

var (y_t) =
var (ε_t-1)

Wariancja białego szumu σ² = const.

Gdy mamy t białych szumów

var (y_t) =
var (ε_t-i) = tσ²

Oznacza to, że występuje trend w wariancji procesu, wariancja jest zmienna w czasie. Jest to trend stochastyczny.

Proces niestacjonarny w wariancji Proces niestacjonarny w średniej

Pierwiastek jednostkowy - testowanie błądzenia przypadkowego

y_t = ρy_t-1 + ε_t

czy ρ=1 ?

Jeśli tak to y_t - proc. błądzenia przypadkowego (random walk)

Pierwiastek jednostkowy leży na okręgu jednostkowym.

Jeżeli ρ < 1 to stacjonarny proces AR(1)

Jeżeli ρ > 1 to stacjonarny, ale bez własności przyczynowości więc pewne formy testowania nie byłyby możliwe

Jeśli proces jest niestacjonarny w średniej, a my obliczamy wartości w sposób

nieprawidłowy , to pojawi się pozorna autokorelacja w tym co pozostało i powoduje zniekształcenie procesu.

Testowanie stopnia zintegrowania (pierwiastka jednostkowego) test Dickey'a - Fullera

Stawia się tu pytanie ogólne - jakie d w modelu ARIMA ?- ile wynosi?

ΔY_t = ε_t d =1

Przyjmijmy, że proces dany jest wzorem:

y_t = ρy_t-1 + ε_t

H₀ : ρ=1 ∼ I(1)

H₁ : ρ<1 ∼I(0)

Jeżeli odrzucimy hipotezę zerową to sytuacja pewna, proces na pewno zintegrowany rzędu 0, d=0;

Jeżeli przyjmiemy hipotezę zerową to proces zintegrowany co najmniej rzędu 1

W celu uczynienia testu operacyjnym przedstawmy model w postaci:

y_t - y_t-1 = ρy_t-1 - y_t-1 + ε_t

czyli:

Δy_t = δy_t-1 + ε_t

gdzie:

δ = ρ - 1

Odpowiednie hipotezy mają postać:

H₀ : δ = 0 ∼ I(1)

H₁ : δ < 0 ∼ I(0)

Test Dickey'a - Fullera:

DF =

Niestandardowy rozkład lewostronny, obszar krytyczny, tablice testu D-F m.in.: w Charemza, Deadman „Nowa ekonometria”, PWE, 1991

DF >= DF_α - odrzucamy hipotezę zerową, proces zintegrowany rzędu0, czyli stacjonarny, procedura się kończy

DF < DF_α - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, proces jest zintegrowany co najmniej rzędu 1, musimy badać dalej

H₀ : y_t ∼I(2)

H₁ : y_t ∼I(1)

Obliczamy drugie różnice i uzależniamy od pierwszych różnic:

Δ²y_t = δΔy_t-1 +ε_t

Odpowiednie hipotezy mają postać:

H₀ : δ = 0 ∼ I(2)

H₁ : δ < 0 ∼ I(1)

DF >= DF_α - odrzucamy hipotezę zerową , proces zintegrowany rzędu 1

DF < DF_α - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, proces jest zintegrowany co najmniej rzędu 2, musimy badać dalej

Na ogół otrzymuje się niskie wartości d. Gdyby badanie kontynuować dłużej to w pewnym momencie dochodzimy do nadmiernego zróżnicowania i w ogóle nie mamy do czynienia z procesem zintegrowanym.

Istnieje klasa modeli, w których d jest ułamkiem (modele AEFIMA(p,d,q))

Δ^d Y_t = X_t

φ(B)X_t = φ(B)ε_t

Biały Szum:

1. Niezależne przyrosty o jednakowych rozkładach (gaussowski biały szum)

2. Niezależne przyrosty o różnych rozkładach ( czyli niekoniecznie rozkład normalny)

3. Nieskorelowane przyrosty najprostszy sposób badania czy jest to biały szum, więc zazwyczaj się na tym poprzestaje)

Testowanie białego szumu w ujęciu 1

• Test autokorelacji

Test Box'a-Ljunga ( autokorelacja dowolnego rzędu )

H₀ : brak autokorelacji
r_j =0

H₁ : AR(p) lub MA(q)
istnieje takie j że r_j ≠ 0

r_j - współczynnik autokorelacji rzędu j, j=1,...,p

(q)

Tym testem nie badamy czy mamy do czynienia z Ar czy z MA, więc przyjmujemy p=q

Q' = T ( T + 2 )

gdzie:

r_j =

Q' ∼ χ² (p)

czyli statystyka Q' jest zbieżna do rozkładu χ² o p - stopniach swobody

• Test serii

H₀ : szereg jest losowy, generowany przez biały szum

R_t = e_t lub r_t = e_t

H₁ : szereg nie jest generowany przez biały szum

R_t - zwykła stopa zwrotu z akcji

P_t - kurs akcji w okresie t

P_t-1 - kurs akcji w okresie poprzednim

D_t - dywidenda

R_t =
r_t = ln
= ln P_t - ln P_t-1 = P_t - P_t-1

R_t - zwykła stopa zwrotu z akcji r_t - logarytmiczna stopa zwrotu

Δy_t = e_t ≈ r_t = e_t

Niech h_t =

Całkowita liczba serii H

H = 1+
( zliczone serie )

Wartość średnia zmiennej losowej H

E(H) = n + 1 -

n1 - liczba serii dodatnich

n2 - liczba serii zerowych

n3 - liczba serii ujemnych

Definiujemy też wariancje zmiennej losowej H

Var(H) =

H ∼ N(0,1) (rozkład normalny)

Test serii

K =

PK> z_α = α

Dobrze żeby proces był losowy o niezależnych przyrostach

• Test Bery - Jarque'a ( normalność )

H₀ : szereg ma rozkład normalny F(r_t) = F_r(r_t)

H₁ : szereg nie ma rozkładu normalnego F(r_t) ≠ F_r (r_t)

JB = T (
) ∼ χ²(2) → zawsze dla dwóch stopni swobody

gdzie:

=
/ S_e³

β₂ =
/ S_e⁴

Przedmiot ekonometrii finansowej

1. Przedmiotem ekonometrycznej analizy procesów finansowych są procesy finansowe, które charakteryzują się wysoką częstotliwością obserwacji oraz niestacjonarnością, a także wrażliwością na różnorodne informacje oraz trudnością w przewidywaniu zmian.

Rynek finansowy można podzielić na:

1. wg kryterium czasu

• rynek pieniężny ( do jednego roku )

• rynek kapitałowy ( powyżej jednego roku )

2. wg kryterium przeznaczenia ( celu ) finansowania

• cele bieżące ( rynek pieniężny )

• cele inwestycyjne ( rynek kapitałowy )

Na rynku pieniężnym spotykamy się zarówno z formą pieniężną jak i nie pieniężną.

Rynek kapitałowy : papiery wartościowe długoterminowe ( akcje, obligacje ), inwestycje w nieruchomości, dzieła sztuki, złoto lub inne towary.

2. Procesy finansowe wymagają tym samym specjalnych metod analizy i przewidywania przyszłości. W literaturze finansowej szczególnie rozpowszechnione są pojęcia analizy technicznej oraz analizy fundamentalnej.

Analiza techniczna Analiza fundamentalna

krótkookresowa długookresowa

analiza wykresów(charts) możemy tu spotkać m.in.

(czartysta - osoba uprawiającą metody ekonometryczne

analizę techniczną)

traktuje się to jako metody pozanaukowe

Analiza techniczna

Polega na ocenie kształtowania się cen papierów wartościowych w przeszłości i przewidywania ich wartości przyszłych, głównie na podstawie analizy trendów lokalnych.

Narzędzia analizy technicznej:

• wykres cen i obrotów

• średnie ruchome różnego rodzaju

• wskaźniki

• oscylatory

• wykresy świecowe

• teoria fal Eliota

• ciąg liczb Fibonacciego

Analiza fundamentalna:

Opiera się na założeniu, że na ceny instrumentów finansowych mają wpływ procesy ekonomiczne i na ocenie kondycji firmy oraz jej otoczenia ( branży, sytuacja gospodarcza kraju ).

( Jest trudniejsza. Wymaga znajomości przedmiotu ( płynności,..), branży, sytuacji gospodarczej kraju )

Walory analizy ekonomicznej:

• pozwala z zadowalającą dokładnością przewidywać kształtowanie się procesów finansowych w przyszłości

• pozwala określać wpływ czynników ekonomicznych na poszczególne procesy

• pozwala weryfikować większość hipotez ekonometrycznych i finansowych

Hipoteza efektywnego rynku:

Hipoteza efektywności rynków finansowych ma odp. na pyt. :

Czy ceny ( stopy zwrotu ) na rynkach finansowych są prognozowalne?

Odp.:

Nie - rynek jest efektywny

Tak - rynek jest nieefektywny

Jeżeli prawdziwa jest hipoteza rynku efektywnego znaczy to, żecen nie da się prognozować.

Wszyscy inwestorzy mają wówczas jednakowy dostęp do informacji, wszyscy działają natychmiast itd. ( Jest to sytuacja wyidealizowana i raczej mało spotykana).

Louis Bachelier w 1900 r. Jako pierwszy zwrócił uwagę na niemożliwość prognozowania cen, ale jego teoria została zapomniana.

Dopiero Eugene Fama w 1965r. Na nowo odkrył tą teorię.

Założenia efektywności ( zał. Osborne'a - 1964 )

1. Złożenie minimalnej zmiany cen ( z sesji na sesję zmiana cen jaka następuje jest najmniejsza z możliwych )

2. Dzienna ilość transakcji jest skończona i nie istotna.

3. Cena i wartość są ze sobą związane, a ich wzajemna relacja jest najważniejszym wyznacznikiem stopy zwrotu na rynku ( nie funkcjonują żadne procesy spekulacyjne )

4. W przypadku dwóch papierów wartościowych o różnych oczekiwanych stopach zwrotu logiczną decyzją jest wybór tego papieru, który daje perspektywę większego zysku.

( czyli jest to założenie, że postępujemy racjonalnie, ale człowiek często postępuje inaczej więc nie zawsze wybierze ten papier , który da większy zysk )

5. W sytuacji gdy osiągnięcie zysku kupującego i sprzedającego nie jest możliwe, szanse na zawarcie transakcji są małoprawdopodobne.

tzn. inwestorzy potrafią racjonalnie przełożyć wartość na cenę i dlatego w zawieranych przez nich transakcjach obowiązywać będą ceny równowagi ustalone na podstawie dostępnych w danej chwili informacji.

6. Następujące kolejno zmiany cenowe są od siebie niezależne, ponieważ ceny dostosowane są do aktualnie dostępnych informacji.

7. Ponieważ zmiany cenowe są od siebie niezależne tj. podlegają błądzeniu losowemu, można spodziewać się, że ich rozkład będzie rozkładem normalnym, ze stabilną średnią i skończoną wariancją.

p_t = p_t-1 + ε_t Δp_{t =} ε_t → ponieważ są niezależne i podlegają błądzeniu przypadkowemu, więc zmiany cen powinny być białym szumem

R_t =

W praktyce polskiej: P_t - cena akcji p_t - logarytm ceny akcji

D_t - wartość dywidendy w okresie t

R_t =
R_t - zwykła stopa zwrotu

D_t nie jest istotna w okresie częstszym niż rok, nie jest dochodem, który ma znaczenie dla

Inwestora bo są to b. małe kwoty. Często firma ich nie wypłaca.

Dywidendy wypłacane są z zysku, a zysk jest mierzony okresem rocznym.

r_t = ln
= lmP_t - lnP_t-1 = p_t - p_t-1 logarytmiczna stopa zwrotu

Oczekiwana przyszła stopa zwrotu:

E(R_t+1) =

E - operator nadziei matematycznej

E(P_t+1) - oczekiwana cena

E(P_t+1) = (1+r)P_t + β₁E(d_t+1) + β₂E(X_t+1) + β₃E(u_t+1)

r - stopa procentowa ( ogólnie koszt utraconych możliwości posiadania aktywów, które mogą

zawierać premię za ryzyko ponad stopę zwrotu wolną od ryzyka )

β₁ - dodatnia stała, która szacuje wpływ przyszłej dywidendy na wzrost kapitału

( oczekujemy przyszłych zysków od przedsiębiorstwa )

β₂ - dodatnia stała, która określa wpływ informacji zewnętrznych ( nie zawartych w cenach )

na stopę zwrotu ( np.: splity - podział akcji na większą ich ilość, nowe emisje i wiele innych)

X_t - czynniki znanae badaczowi i prognozowalne, które mogą mieć wpływ na przyszłą stopę

zwrotu

u_{t -} czynniki losowe_, nieznane badaczowi, które mogą być znane niektórym uczestnikom rynku

Efektywność oznacza, że nie jest możliwe uzyskanie ponadprzeciętnych dochodów czyli:

E(R_t+1) = r

Rozwiązując (3) i (5) ze względu na P_t otrzymamy

P_t = β₀ E(P_t+1)

Czyli cena jest równa oczekiwanej cenie, gdzie:

β₀ =

Z równania (4) wynika, że (6) jest prawdziwe tylko jeżeli:

β₁ = β₂ = 0

β₃ = 0 lub E(u_t+1) = 0 co oznacza, że u_t jest nieprognozowalne

Słaba forma efektywności zakłada, że 1. zachodzi, a 2. jest przedmiotem testowania.

Jeśli zachodzi słaba forma efektywności to

P_t = E(P_t+1) ⇒ P_t+1 = P_t +u_t+1

Jeśli średnia jak i wariancja u_t+1 są przy danym P_t nieprognozowalne, czyli:

E(u_t+1/P_t) = 0

var(u_t+1/P_t) = const

wtedy (7) jest błądzenie przypadkowym.

Jeśli tylko średnia jest nieprognozowalna, a wariancja ( lub jakikolwiek inny moment ) może

być prognozowalna, wtedy (7) jest martyngałem

E(u_t+1/P_t) = 0

var(u_t+1/P_t) ≠ const ⇒ można próbować prognozować

Martyngał - proces opisujący uczciwą grę rynkową

Niech X₁, X₂, X₃, ... będzie ciągiem zmiennych losowych

i niech Ω₁, Ω₂, Ω₃, ...będzie rosnącym ciągiem zasobów informacji

( tzn. Ω₁⊂ Ω₂ ⊂ Ω₃ ... zawierają się w sobie )

X_t jest martyngałem określonym przez Ω_t jeśli spełnione są warunki:

1. X_t jest mierzalne w odniesieniu do Ω_t

2. istnieje skończona wartość oczekiwana co do wartości X_t ( tj. E(X_t ) <∞ )

3. E( X_t / Ω_t-1 ) = X_t-1 z prawdopodobieństwem równym 1

↑ oznacza prognozę wartości X_t zgodnie z zasadą predykcji nieobciążonej

Różnicą między martyngałem a procesem błądzenia przypadkowego jest wartość wariancji.

Szczególne przypadki 3.

3a) E( X_t / Ω_t-1 ) <= X_t-1 supermartyngał

3b) E( X_t / Ω_t-1 ) >= X_t-1 submartyngał

Słaba forma efektywności oznacza, że bieżące ceny natychmiast i w pełni odzwierciedlają całą informacje zawartą w historii cen papierów wartościowych.

Jeżeli zachodzi słaba forma efektywności to nie można stosować narzędzi analizy technicznej.

Średnia forma efektywności zakłada, że 1. jest pozytywnie zweryfikowana przy danym 2.

Jeśli zachodzi 2. a 1. nie zachodzi to analiza fundamentalna może być stosowana.

Ze średnią formą efektywności mamy do czynienia gdy publicznie dostępne informacje gospodarcze i organizacyjne o spółkach nie mogą być wykorzystane do prognozowania, a przy tym do osiągnięcia ponadprzeciętnych zysków.

Silna forma efektywności bieżące ceny natychmiast i całkowicie odzwierciedlają wszystkie ( publiczne i poufne) informacje o rynku papierów wartościowych ( nic nie da się prognozować )

Z badań empirycznych wynika, że najczęściej spotykana jest słaba forma efektywności.

Hipoteza efektywnego rynku zakłada, że inwestorzy działają w sposób racjonalny.

Hipoteza racjonalnych oczekiwań i jej konsekwencje

Sformułowana została przez Muth'a w 1961r. , ale zaistniała dzięki krytyce Lucasa w 1976r.

Istota: racjonalne oczekiwania (RO) to predykcja prawdziwej teorii ekonomicznej.

( pytanie tylko co to znaczy „prawdziwa”? teoria ekonomiczna )

Głównym wymogiem koncepcji Muth'a jest to, że agenci formułują swoje oczekiwania na bazie prawdziwego i pełnego modelu strukturalnego gospodarki.

Nieobserwowalne, subiektywne i różnokierunkowe oczekiwania jednostek są dokładnie równe warunkowej nadziei matematycznej opisywanej przez model.

Agenci muszą znać nie tylko model generujący zmienną endogeniczną, lecz także model generujący zmienne egzogeniczne.

Problem: czy agenci rzeczywiście znają prawdziwy model czy też tylko zachowują się jak gdyby go znali? ( w drugim przypadku mogą oni zachowywać się wdług złego modelu ).

Założenia hipotezy racjonalnych oczekiwań

1. Jeżeli agenci zachowują się w sposób racjonalny to formułując oczekiwania co do przyszłości biorą pod uwagę całość informacji z przeszłości dostępnej w okresie t, tj. Ω_t.

Informacje te zawierają wszystkie dane z okresu bieżącego i z przeszłości dotyczącej zmiennych występujących w prawdziwym modelu gospodarki, jak również wszystkie inne informacje dostępne dla agenta w okresie t włączając w to także oczekiwania z przeszłości.

2. Prognozy agentów są nieobciążone, nieskorelowane i efektywne.

Oznaczmy warunkowy rozkład prawdopodobieństwa wektora zmiennych losowych X_t+1 przez f(x_t+1, Ω_t ) (f. gęstości ). Racjonalne oczekiwania formułuje się zwykle w odniesieniu do pierwszego momentu rozkładu, tzn.

_tX^e_t+1 = E( C= ς _t+1 f( X_t / Ω_t ) d x_t+1

gdzie: _tX^e_t+1 oznacza ? formułowane w okresie t co do wartości jaką zmienna x przyjmuje w okresie t+1

R - oznacza obszar zmienności zmiennych x

E - operator nadziei matematycznej

( _tX^e_t+1 - e w potędze to expected czyli oczekiwana )

Wartości RO

Niech x_t+1 - _tx^e_t+1 = ε_t+1 oznacza błąd oczekiwań

Hipoteza racjonalnych oczekiwań zakłada, że

E ( ε_t+1 / Ω_t ) = 0

E ( ε²_t+1 / Ω_t ) = σ² wariancja = σ²

E ( ε_t+1 ε_t+1-j ) = 0 j>0 kowariancje są zerowe

Błąd oczekiwań → na 1 okres wprzód

Czyli t → t+1

t+1→ t+2

t+2 → t+3

Jeżeli formułujemy oczekiwania na jeden okres w przód to błąd oczekiwań jest białym szumem, więc jest niezależny ( ortogonalny ) od zbioru informacji Ω_t oraz jego dowolnego podzbioru Λ_t.

Dla t → t+3 ( więc X_t+3 - _tX²_t+3 = e_t+3 ) błąd oczekiwań ma charakter średniej ruchomej o rzędzie o jeden mniejszym niż długość okresu na który prognozujemy czyli MA(2) .

( a ogólnie MA(m-1) , m-długość okresu prognozowalnego )

Zachowanie warunków optymalności racjonalnych oczekiwań możliwe jest tylko wtedy, gdy agenci znają prawdziwy model, co zdarza się niezmiernie rzadko. Ponadto model taki może nie być stabilny w czasie.

Wady koncepcji racjonalnych oczekiwań

Realność założeń w tym:

• ceny są doskonale giętkie, co powoduje, że w każdej chwili popyt i podaż wyrównują się na wszystkich rynkach

• nie istnieją żadne koszty przerobu informacji dostępnych dla uczestników życia gospodarczego

• istnieje symetria w zakresie posiadanych informacji, czyli brak jest informacyjnej nierówności między tymi, którzy tworzą politykę a prywatnymi podmiotami gospodarczymi.

Wyjściem jest hipoteza ograniczonej racjonalności oczekiwań, w której przyjmuje się, że:

• agenci działają racjonalnie kierując się dostępnym im zbiorem informacji

• oczekiwania formułowane przez agentów dążą w granicy do oczekiwań racjonalnych

Efektywność rynku a efekty kalendarzowe

1. Efekt miesiąca w roku - efekt stycznia

• stopy zwrotu w styczniu są przeciętnie znacznie wyższe niż w innych miesiącach roku, dotyczy to zwłaszcza pierwszych handlowych dni stycznia

• potwierdzone w badaniach empirycznych dla 16 krajów rozwiniętych

• dotyczy w większym stopniu spółek o mniejszej kapitalizacji ( cena * liczba akcji = kapitalizacja )

• jedna z hipotez mówi, że spowodowane jest to wyprzedażą w grudniu akcji przynoszących straty ( spadek cen ), te same akcje inwestorzy decydują się nabywać w styczniu ( wzrost cen )

( wyprzedaż w grudniu związana jest z chęcią zamknięcia roku na plus, w firmach amerykańskich wiąże się to z wyższą prowizją )

Gdyby taka regularność występowała to przeczyłoby to efektywności, gdyż można by było wtedy dokonać prognozy.

2. Rozkład stóp zwrotu w ciągu miesiąca

• wyższe stopy zwrotu w ciągu pierwszej połowy miesiąca niż w ciągu drugiej

3. Efekt dnia w tygodniu - efekt poniedziałku

• Poniedziałkowe stopy zwrotu są przeciętnie niższe niż w pozostałych dniach tygodnia

• Dłuższy niż zwykle czas na podjęcie decyzji pomiędzy sesją piątkową a poniedziałkową

3. Efekt godziny w dniu

• niższe stopy zwrotu w pierwszej godzinie trwania sesji w poniedziałek, zaś wyższe w pierwszej godzinie trwania sesji w pozostałych dniach

• wyższe stopy zwrotu w ciągu ostatnich 15 minut trwania sesji we wszystkich dniach tygodnia ( inwestorzy w ostatnich chwilach chcą „odrobić” straty z całego dnia )

Testowanie : test na równość dwóch średnich - duża próba

Badamy 2 populacje generalne mające rozkłady normalne o znanych odchyleniach standardowych σ₁ i σ₂. W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób, o liczebnościach n₁ i n₂ należy sprawdzić hipotezę

H₀ : m₁ = m₂

H₁ : m₁ ≠ m₂

statystyka z ma rozkład normalny

z =

a odchylenia standardowe nie są znane ( ale duża próba )

z =

Racjonalne bąble spekulacyjne

Bąbel spekulacyjny - nieuzasadniony ekonomicznie wzrost cen o znacznych rozmiarach

Przykłady:

• 1720r. sprawa morza południowego , po niej 18.08.1720 akt Wielkiej Brytanii, który miał regulować sprawę nieuzasadnionych wzrostów cen

• 1971-97 ten efekt w Polsce i Rumunii

• problem wymiany walut w Polsce 1989 - 1990 ( były 2 kursy dolara: rządowy i czarnorynkowy )

• indeks cen domów w WB

• 1994/95 duży wzrost cen na giełdzie warszwskiej

Załóżmy, że wartość procesu finansowego y_t można wyrazić w postaci modelu z racjonalnymi oczekiwaniami

y_t = δ E ( y_t+1 /Ω_t ) + δ E ( X_t+1 /Ω_t )

x - oznacza proces ekonomiczny tzw. Proces fundamentalny związany z gospodarką np.: dla cen akcji może to być dywidenda; wzrost PKB, inflacja

δ = 1/ (1 + r) r - stopa procentowa

Rozwiązanie modelu (1) ze względu na y_t przez sekwencyjne podstawieni jest nstp.:

y_t =

Przyjmując ograniczony warunek, że drugi składnik sumy (2) dąży do zera przy n→∞ oraz dalej E(X_t+1 / Ω_t ) = X_t otrzymujemy następującą wersję modelu (1)

y_t = δX_t + δE(y_t+1 / Ω_t )

Jeżeli w równaniu (2) przyjmiemy warunek graniczny postaci

linδⁿE(y_t+1 / Ω_t ) = 0

wówczas y_t = y^f_t , gdzie y^f_t jest jedynym rozwiązaniem znanym jako fundamentalne, tj.:

y^f_t =

Teoria racjonalnych bąbli dopuszcza niespełnienie warunku (4) w wyniku czego istnieje wiele możliwych rozwiązań dla równania (2).

Zatem można zapisać, że jakiekolwiek y_t spełnia równanie :

y_t = y^f_t + β_t

gdzie:

E ( β_t+1 / Ω_t ) = δ^-1β_t = ( 1 + r )

jest jednocześnie rozwiązaniem modelu z racjonalnymi oczekiwaniami

β_t - jest znane jako racjonalny bąbel, przy czym r oznacza stałą realną stopę zwrotu wymaganą przez inwestorów

Jeżeli założymy, że bąble są dodatnie to cena fundamentalna się powiększa ( bąble mogą być ujemne, ale ich analiza jest b. Trudna, dlatego przyjmujemy, że są dodatnie )

Racjonalność inwestorów a bąble

• inwestorzy nie przestają wykorzystywać całej dostępnej informacji w celu przewidywania cen i stóp zwrotu

• błąd prognozy jest niezależny od posiadanej informacji ( tzn. zachodzi własność ortogonalności racjonalnych oczekiwań )

• zarówno bąbel jak i informacje co do przyszłych wartości dywidendy są zawarte w cenie i w tym sensie bąbel spełnia wymogi gry fair

Racjonalny bąbel może być opisany przez model ( zob. Blanchord, Watson i West )

β_t-1 -

z prawdopodobieństwem Π

β_t =

( prawdopodobieństwo pojawienia się bąbla jest b. małe )

gdzie: 0 < Π < 1 ,
> 0

Należy zauważyć, żę w (8) bąbel β_t spełnia własności martyngału a zatem najlepsza prognoza wszystkich przyszłych wartości bąbla zależy tylko od jego wartości bieżącej ( !!!)

Według (8) prawdopodobieństwo tego, że bąbel pęknie wynosi 1-Π. Kiedy bąbel się tworzy to jego wzrost następuje przy stopie : ( δ Π ) ^-1 = (1 + r ) / Π

przy założeniu : Π > 1+ r co daje nam większe efektywnie zyski.

Inwestorzy uzyskują wtedy nadzwyczajne zyski, które kompensują im straty, które pojawiłyby się gdyby bąbel pękł.

Z (7) wynika, że wartość oczekiwana racjonalnegon bąbla jest dana jako:

E ( β_t+1 / Ω_t ) = ( 1 + r )ⁱ β_t gdyż r > 0

Warunki niezbędne aby mógł zajść racjonalny bąbel ( dodatni ) ( Diba i Grossmana ):

• niewielkie znaczenie procesów fundamentalnych dal danego rynku

• niewielkie prawdopodobieństwo, że bąbel stanie się wyjątkowo duży (czyli Π bliskie 0 )

• jeżeli dany bąbel nie istnieje w czasie t, to nie może zacząć się on w czasie t+i (i>0) jeżeli bąbel istnieje to musiał on powstać w czasie t = 0, tzn. pierwszego dnia kiedy rozpoczęto notowanie tego waloru

• jeżeli dany bąbel wybuchł to w tym samym czasie nie może się zacząć tworzyć nowy , niezależny bąbel

• jeśli istnieje bąbel w cenie akcji, to akcja ta jest stale przeszacowana w stosunku do rynku

Testowanie bąbli spekulacyjnych: test Westa

Test Westa polega na porównaniu estymatorów parametrów służących do wyznaczenia równania ceny wykorzystując informację o dywidendach.

Porównujemy modele 1. y_t = αX_t-1 + e_t

X_t-1 - dywidenda w okresie t-1

y_t - cena waloru

z modelem 2. y_t = δX_t + u_t

X_t - dywidenda z okresu t ( albo oczekiwana dywidenda)

X_t = βX_t-1 + V_t

co podstawiając do 2. otrzymamy

3. y_t = δβX_t-1 + w_t w_t - ciąg reszt

Parametry modelu 2. i 3. można oszacować jako α→
δβ→

Procedura testująca

H₀ :
=
' → brak bąbla

H₁ :
≠
' → istnieje bąbel

Albo

H₀ : e_t = w_t

H₁ : e_t ≠ w_t

Weryfikacja racjonalnych bąbli

Analizuje się na ile aktualna cena waloru odbiega od ceny fundamentalnej.

Testowanie racjonalnych bąbli spekulacyjnych - kointegracja z procesami fundamentalnymi ( Diba, Grosmana - 1988 )

Kointegracja procesów stochastycznych

1. Koncepcja kointegracji Engle, Granger ( 1987 )

2. Dwa procesy x_t i y_t są skointegrowane rzędu d, b tzn. x_t , y_t ∼CI(d,b) jeżeli:

• są one zintegrowane tego samego rzędu d

• istnieje kombinacja liniowa tych procesów

v_t = α₁x_t + α₂y_t , która jest zintegrowana rzędu d-b

Wektor [α₁ α₂] nazywa się wektorem kointegrującym.

Kointegracja oznacza długookresową zależność pomiędzy procesami ekonomicznymi

CI(d,b) - kombinacja liniowa v_t jest zintegrowana rzędu d-b

v_t ∼ I(d-b)

x_t , y_t ∼ I(d) →niestacjonarne, ale dadzą się sprowadzić do stacjonarności przez obliczenie różnic rzędu d

( 1- B )^d x_t = Δ^d x_t ∼I(0)

( 1 - B )^d y_t = Δ^d y_t ∼I(0) B>0

Można modelować procesy niestacjonarne ale zintegrowanego tego samego rzędu i pozostające w relacji kointegracji, ponieważ kointegracja oznacza redukcję niestacjonarności z poziomu b do poziomu d-b, a w szczególnym przypadku b=d do 0 czyli do procesów stacjonarnych.

3. Uogólnienie poprzedniego pkt. na dowolną liczbę procesów.

Nich x_t będzie wektorem procesów o wymiarach n*1. Jeśli każda składowa tego wektora jest zintegrowana rzędu d(I(d)) oraz istnieje wektor α taki, że x_tα ∼ I(d-b), wtedy elementy wektora X_t są skointegrowane rzędu d,b czyli x_t ∼ CI(d,b).

4. Najbardziej interesujący jest przypadek, kiedy szeregi transformowane przy użyciu wektora kointegrującego są stacjonarne, tj. wtedy gdy d=b.

5. Przypadek gdy d=b=1.

Jeżeli procesy x_t i y_t są zintegrowane rzędu 1(I(1)) i ich kombinacja liniowa może być wyrażona jako y_t = αx_t , to równanie ostatnie może być traktowane jako równanie opisujące długookresową ścieżkę równowagi procesów x_t i y_t .

Przykład 1 ( długookresowa ścieżka rozwoju )

Inflacja jako funkcja podaży pieniądza

inf_t = 0,493 + 0,040M_t + u_t

(0,056) (0,006)

R² = 0,644 DW = 2,06

Jeżeli DW > R² to możemy przypuszczać, że dany model opisuje długookresową ścieżkę rozwoju.

Przykład 2 ( regresja pozorna )

PKBr_t = 1,766 - 5,06E-0,5M_t + u_t

(0,108) (6,61E-06)

R² = 0,701 DW = 0,24

Sugeruje R² > DW tzw. regresje pozorną, brak długookresowej ścieżki rozwoju.

6. Możliwe przypadki dla 2 procesów:

1. y_t ∼ I(1) i x_t ∼ I(0) wtedy u_t ∼ I(1) procesy nie są skointegrowane

2. y_t ∼ I(0) i x_t ∼ I(1) wtedy u_t ∼ I(1) procesy nie są skointegrowane

3. y_t ∼ I(1) i x_t ∼ I(1) wtedy :

u_t ∼ I(1) procesy nie są skointegrowane

lub

u_t ∼ I(0) procesy są skointegrowane

4. y_t ∼ I(0) i x_t ∼ I(0) wtedy u_t ∼ I(0) procesy nie są skointegrowane, kointegracja nie ma sensu.

7. Testowanie kointegracji - test Dickeya-Fullera dla reszt z regresji

y_t = αx_t + u_t [1;-α] wektor

Uwaga: przy odczytywaniu z tablic należy uwzględniać liczbę wektorów kointegrujących , np. m =1

8. Modelowanie procesów skointegrowanych za pomocą modelu korekty błędem

Mechanizm korekty błędem ECM ( error correction model )

Równanie długookresowe:

y_t = αx_t + u_t

przy czym x_t i y_t ∼ I(1)

ECM_t = u_t = y_t - αx_t

Równanie krótkookresowe:

Δy_t = α₁Δx_t + α₂(y_t-1 - αx_t-1) +ε_t α₂ > 0

Procedura budowy modelu korekty błędem jest dwustopniowa:

1. definiuje się równanie długookresowe, które może być z góry znane lub szacowane za pomocą KMNK

2. równanie krótkookresowe, α jest już wyszacowane

Analiza techniczna a lokalizacja pkt. zwrotnych

• analiza techniczna jako narzędzie przewidywania zmian kierunku trendów lokalnych w szeregach cen

Założenia analizy technicznej:

1. wartość rynkowa akcji jest określona przez relacje pomiędzy popytem a podażą

2. na wysokość kursu akcji wpływają wyniki racjonalne i irracjonalne

3. ceny zmieniają się zgodnie z trendem trwającym przez jakiś czas

4. zmiany w trendzie powodowane są przez zmiany w popycie i podaży

5. zmiany w popycie i podaży można znaleźć na wykresach zmian cen akcji na rynku

6. cena akcji jest nierozerwalnie związana z obrotem

Skuteczność metod analizy technicznej.

Metody analizy technicznej są tym bardziej pożyteczne im bardziej płynny jest rynek akcji. Przy akcjach spółek o małych obrotach metody te często zawodzą.

Przy podejmowaniu decyzji nie wolno polegać na pojedyńczym sygnale zakupu lub sprzedaży, trzeba stosować co najmniej kilka wskaźników analizy technicznej lub też wspomagać się metodami analizy fundamentalnej.

• lokalizacja pkt. zwrotnych jest równoznaczna z podziałem zbioru obserwacji [1,...,L] na podzbiory L_k gzdie k=[1,...,K],

• przyjmuje się, że każdy podzbiór obserwacji ( segment ) zaczyna się pkt. zwrotnym t^k,

• to, że t^k jest pkt. zwrotnym oznacza, że powiązanie zmiennej objaśnianej ze zbiorem zmiennych objaśniających przed pkt. t^k jest odmienne niż po tym punkcie

• w przypadku gdy model opisujący kształtowanie się zmiennej objaśnianej jest modelem trendu - oznacza to przyjęcie trendu deterministycznego ze zmiennym współczynnikiem kierunkowym w poszczególnych podzbiorach obserwacji

• w przypadku modelu przyczynowo-skutkowego zakłada się zmienność jego parametrów wraz ze zmianą zbioru obserwacji

• jest to podejście przeciwne do podejścia zakładającego niestacjonarność w wariancji, a więc do koncepcji błądzenia przypadkowego

Wybór:

• koncepcja błądzenia przypadkowego

• model trendu deterministycznego ze zmiennym współczynnikiem kierunkowym ( test Perona )

W nauce finansów powszechnie akceptowana jest hipoteza efektywności rynków oparta na modelu błądzenia przypadkowego, podczas gdy w praktyce króluje analiza techniczna oparta na przewidywaniu zmiany kierunku trendu liniowego.

Test Chowa

Niech b_p będzie wektorem parametrów funkcji f_p , a b_n będzie wektorem parametrów funkcji f_n. Czas rozdzielający zbiory L_p oraz L_n można uznać za punkt zwrotny, jeśli wektory parametrów obu tych funkcji różnią się od siebie istotnie.

H₀ : β_p = β_n

H₁ : β_p ≠ β_n

1. Niech ostatnim zaakceptowanym punktem zwrotnym będzie t^r (na początku t^r = t¹ =1).

2. Sprawdzamy czy t^j = t^{r +1} jest punktem zwrotnym.

Niech:

L_p = [ t^r ..., t^j - 1 ]

L_n = [ t^j …, t_G ]

L₀ = L_p ∪ L_n

gdzie:

t_G = t^{j + 1} - 1, jeśli t^j < t^k oraz t_G = L, jeśli t^j = t^k

t^k - ostatni intuicyjny pkt. zwrotny

liczebności zbiorów L_p, L_n, L₀ oznaczone odpowiednio przez m_p, m_n, m_o.

t^j - pkt. zwrotny t^j+1 - następny pkt zwrotny

t_G - ostatnia obserwacja przed kolejnym pkt zwrotnym

t_G = L - ostatnia obserwacja w próbie

3. Wyniki obserwacji dotyczące zbiorów L_p, L_n, L₀ aproksymuje się za pomocą funkcji szacowanych metodą KMNK.

I - liczba szacowanych parametrów ( dla trendu liniowego I=2 )

f_p =
f_n =
f₀ =

Funkcje powyższe mogą być w szczególności funkcjami trendu liniowego.

4.Obliczanie sum kwadratów reszt poszczególnych funkcji

SKR_p =
SKR_n =
SKR₀ =

gdzie:

- oznaczają wartości teoretyczne z odpowiednich funkcji

5. Niech SKR_s = SKR_p = SKR_n oraz v = m₀ - 2I

Statystyka F ma rozkład F-Snedecora o I, v stopniach swobody

F =

6.Powyższe należy powtórzyć dla każdego intuicyjnego pkt zwrotnego.

Metody statystycznej weryfikacji punktów zwrotnych

( metody wyznaczania prognoz ostrzegawczych

1. Wygładzanie szeregów czasowych z zakłóceń przypadkowych

2. testowanie losowości reszt.

3. Wykorzystanie współczynnika zmienności losowej dla oceny rozregulowania szeregu czasowego

V =

W prognozowaniu finansowym chodzi nam o każdą zmianę, nie tylko te negatywne.

W analizie rynku efektywnego reszty

• losowe

• brak autokorelacji

• normalność

Przewidywanie pkt. zwrotnych odnosimy do cen w log (p_t) albo zwykłych cen (P_t) ( nie można jako stopy zwrotu )

Możemy traktować ceny:

• deterministycznie czyli przyjmujemy zał. O deterministycznym charakterze proceu cenowego ze zmianą parametrów ( czyli z punktami zwrotnymi ) i wtedy możemy prognozować

albo

• jako proces błądzenia przypadkowego i nie możemy przewidywać

I. Metoda linii kontrolnych ( obszaru bezpieczeństwa )

Wyznacza się wartości teoretyczne modelu uwzględniającego np. trend i wahania sezonowe, a następnie w odległości +-Se, +-2Se lub +-3Se rysuje się tzw. linie kontrolne. Następnie zaznacza się wartości empiryczne, których rozkład lub stałość wartości oczekiwanej badanego szeregu. W metodzie tej przyjmuje się milcząco założenie o normalności rozkłądu odchyleń losowych.

II. Metoda różnic

Idea metody polega na identyfikacji punktów charakterystycznych funkcji, tj. ekstremów i punktów przegięcia za pomocą badania znaków pochodnych.

W przypadku dyskretnego szeregu czasowego pochodne można zastąpić różnicami szeregu wygładzonego. Przyjmując założenie, że szereg czasowy charakteryzuje się niemalejącą tendencją rozwojową bez asymptot oraz nie zawiera składowej okresowej, formułuje się prognozę ostrzegawczą , gdy w co najmniej dwóch kolejnych momentach lub okresach drugie różnice wygładzonego szeregu są ujemne, czyli:

ΔΔ f_t (T₀) < 0

Wyniki tej metody zależą bardzo od trafności metody wygładzania, czyli od trafności modelu za pomocą którego wygładza się szereg empiryczny ( czasowy ).

Analiza ryzyka

Ryzyko na rynkach finansowych

1. Dwa podejścia do ryzyka:

• podejście negatywne - ryzyko jako oczekiwana strata

• podejście neutralne - ryzyko jako możliwość wystąpienia efektu niezgodnego z oczekiwaniami ( czyli np. spodziewamy się spadku a mamy w rzeczywistości wzrost, naraża nas to na koszty utraconych możliwości ).

Podział ryzyka ze względu na źródło występowania:

• ryzyko walutowe

• ryzyko inflacji

• ryzyko płynności

• ryzyko stopy procentowej

• it.

3. Ryzyko subiektywne ( behawioralne ) - wynikające z indywidualnej postawy do ryzyka

Trzy postawy wobec ryzyka:

• skłonność do ryzyka - funkcja użyteczności wypukła

• neutralność wobec ryzyka - funkcja użyteczności liniowa

• awersja do ryzyka - funkcja użyteczności wklęsła

Najczęściej zakłada się tą trzecią postawę, czyli awersje do ryzyka.

4. Ryzyko obiektywne ( egzogeniczne ) - próby pomiaru i modelowania

Miary ryzyka w finansach

1. Miary zmienności - opisują historyczna zmienność szeregu czasowego

1. wariancja, odchylenie standardowe

S² =

S =

2. odchylenie przeciętne

d_x =

3. współczynnik zmienności

V_x =

4. odchylenie ćwiartkowe

Q_x =

5. ½ rozstępu

½ (R_max - R_min )

6. semiwariancja i semiodchylenie standardowe

SV² =

SV =

2. Miary wrażliwości - odzwierciedlają wpływ pewnych czynników ryzyka na ceny

instrumentów finansowych

1. duration - mierzy wrażliwość ceny względem stopy procentowej

D = -

E =

( przy bonach, obligacjach skarbowych )

2. współczynnik B w modelu Sharpe'a

3. współczynniki w modelu APT

4. współczynniki greckie w modelu wyceny opcji

( delta, gamma, kappa, theta, rho )

3. Miary zagrożenia

1. Value at Risk ( wartośc narażona na ryzyko )

VaR - taka strata wartości portfela aktywów, że prawdopodobieństwo osiągnięcia jej lub przekroczenia jest równe zadanemu poziomowi tolerancji

P{ W <= Wo - VaR } = α

W - wartość portfela na koniec okresu

Wo - obecna wartość portfela

α - parametr tolerancji

W_α = W₀ - VaR

P { W <= W_α } = α ( lewostronny obszar krytyczny )

Kwantyl rozkładu - sposób na odczytanie VaR

Uwzględniając stopę zwrotu z portfela

R_α =
R_α - krytyczna stopa zwrotu

Najczęściej przyjmowane poziomy istotności:

• 1% - rekomendowany przez tzw. komitet bazylejski

• 5% - stosowany przez większość banków

VaR zależy od dwóch parametrów:

• parametru tolerancji

• okresu przetrzymania - przydział czasu, w którym skład portfela pozostaje niezmieniony; banki - 1 dzień, fundusze inwestycyjne - 1 miesiąc

Metody wyznaczania VaR:

• podejście wariancji - kowarjancji - oparte na rozkładzie normalnym

• symulacja historyczna (rozkład empiryczny oparty na 200 - 300 danych za ostatni rok)

• symulacja Monte Carlo

można potraktować r_t = ε_t ( jako biały szum )

P_t = P_t-1 + ε_t ( CARCH ( ARCH ))

Modelowanie wariancji warunkowej

1. Model ARCH ( Engle 1982)

niech y_t = X_t'ξ + ε_t

gdzie:

X_t jest (k*1) wektorem zmiennych objaśniających, który może także zawierać opóźnione zmienne endogeniczne

ξ (ksi) jest (k*1) wektorem parametrów, dla t=1,2,...,T

Jeżeli przez zbiór informacji dostępnych w momencie t-1 rozumieć będziemy

ψ_t-1 = [ y_t-1, X_t-1, y_t-2, X_t-2,....]

wówczas model ARCH definiuje rozkład resztowego procesu stochastycznego ε_t warunkowo od ψ_t-1 czyli:

ε_t / ψ_t-1 ∼ N ( 0,h_t )

gdzie:

h_t = α₀ +

przy założeniach α₀ > 0 oraz α_i >= 0 dla i=1,2,...,q które zapewnić mają dodatniość warunkowej wariancji.

Powyżej zdefiniowany został model ARCH(q)

W definicji procesu ARCH znajdują swe odzwierciedlenie empiryczne własności procesów finansowych:

• zmienna w czasie wariancja

• skupianie danych

• grube ogony rozkładów

Testowanie obecności efektu ARCH

H₀ zakłada, że α₁ = α₂ = ... = α_q = 0

Statystyce LM asymptotycznie odpowiada statystyka TR², gdzie R² współczynnik determinacji równania regresji ε²_t względem 1, ε²_t-1, ε²_t-q oszacowanego metodą najmniejszych kwadratów

ε²_t = α₀ +

2. Modele GARCH ( Generalized ARCH )(Bollerzleva)

Procesy finansowe wymagają dużych rzędów opóźnień q dla prawidłowego modelowania ( długa pamięć ).

Estymacja ARCH prowadziła do złamania założeń o dodatniości wariancji warunkowej

Niech y_t = X_t'ξ + ε_t (...)

Model GARCH (p,q) dany jest przez

ε_t / ψ_t-1 ∼ N(0,h_t)

gdzie:

h_t =

przy założeniach p>=0, q>0 oraz α₀>0, α_i>=0 dla i=1,2,...,q , β_i >= 0 dla i=1,2,...,p, które mają zapewnić dodatniość warunkowej wariancji

Jeżeli p=0 to GARCH redukuję się do ARCH(q)

Jeżeli p=q=0 to ε_t jest białym szumem

Zapiszmy równanie wariancji warunkowej wykorzystując operator przesunięcia wstecz (B)

h_t = α₀ + α(B)ε_t² +β(B)hat

Jeżeli pierwiastki równania 1-β(z) = 0 leżą poza kołem jednostkowym wówczas

h_t = α₀ ( 1 - β(1))^-1 +

gdzie:

δ_t są współczynnikami przy Bⁱ w rozwinięciu α(B)[1-β(B)]^-1

Równoważna reprezentacja modelu GARCH

V_t = ε²_t - h_t = (η²_t - 1)*h

( η_t ∼ N(0,1) standaryzacja zmiennej ε_t )

wówczas model GARCH (p,q) przyjmie postać:

ε²_t = α₀ +

i może być interpretowany jako model ARMA(m,p) dla procesu ε²_t , gdzie m=max{p,q}

Przedstawiona reprezentacja ARMA może być wykorzystywana przy prognozowaniu.

Proces GARCH(p,q) jest stacjonarny przy założeniu:

E(ε_t ) = 0

E(ε²_t ) = α₀ [ 1- α(1) - β(1)]^-1

cov (ε_t, ε_s ) = 0 dla t ≠ s

Wtedy i tylko wtedy gdy α(1) + β (1) < 1

Jeżeli α(1) + β (1) jest bardzo bliskie jedności, to konieczność wprowadzenia osobnej klasy modeli GARCH ( interated GARCH ), która wprost zakłada α(1) + β (1) = 1

Analogicznie jak proces ARCH(1), proces GARCH(1,1) generuje dane z grubymi ogonami.

3. Modele GARCH - in - mean ( GARCH w wartości średniej )

Rozważany jest problem premii za ryzyko, czyli wzrost oczekiwanej stopy zwrotu spowodowanego wzrostem wariancji stopy zwrotu. Model GARCH-M pozwalana testowanie istnienia i estymację zmiennej w czasie premii za ryzyko.Prosta wersja tego modelu dana jest przez:

y_t = X_t + ξ + δh_t + ε_t

ε_t / ψ_t-1 ∼ N(0, h_t )

( h_t zostaje „włożone“ do modelu podstawowego, a nie dopiero do opisania reszty )

Model GARCH ( GARCH-in-mean ) - akcje, kursy walut

X_t jest (k*1) wektorem zmiennych objaśniających, który może także zwaierać opóźnienia endogeniczne.

ξ jest (k*1) wektorem parametrów

h_t jest procesem GARCH t=1,2,...,T

4. Estymacja parametrów modeli ARCH

Estymacja przedstawionych modeli odbywa się metodą największej wiarygodności ( nie można KMNK ). Logarytm naturalny funkcji wiarygodności dany jest wzorem:

L_T ( θ ) =

Logarytm naturalny wiarygodności t-tej obserwacji

L_t ( θ ) = const. - ½ ln h_t - ε²_t/2h_t

gdzie:

wektor parametrów θ zawiera zarówno parametry warunkowej średniej, jak i warunkowej wariancji.

5. Przyczyny efektu ARCH

1. Model z resztami ARCH może być aproksymacją bardziej złożonego modelu bez efektu ARCH, co sugeruje złą specyfikację zarówno co do struktury, jak i uwzględnionych zmiennych.

Poza procesami finansowymi ( a więc poza kursami akcji, walutowymi, indeksacją ) efekt ARCH świadczy o złej specyfikacji modelu.

2. Różnice pomiędzy czasem kalendarzowym a ekonomicznym. Dla zmiennych

ekonomicznych właściwym czasem odniesienia jest ich czas „operacyjny”, podczas

gdy powszechnie odnoszone są one do czasu kalendarzowego.

3. Sposób napływania informacji i dynamika reakcji rynku na te informacje.

Jeśli informacje napływają w pakietach to owocuje to skupianiem danych i efektem ARCH. ( nie ma „informacja→reakcja”, tylko dostajemy na raz większą ilość informacji )

6. Prognozowanie na podstawie modelu ARCH.

y_t = X_t' ξ + e_t →
predyktor w ARCH i GARCH

h_t =
→ wariancja błędu predykcji

y_t = X_t' ξ + δh_t + e_t →

Prognozę o najmniejszym błędzie średniokwadratowym w momencie T z wyprzedzeniem h ( nie mylić z h_t - wariancja jest z indeksem t ) uzyskujemy ze wzoru:

f_T,h = E (

ψ zestaw informacji znany w okresie T

λ_i to współczynniki stojące przy Bⁱ w wielomianie φ(B)(1-B)^d

Przyjmujemy:

Y_T+j j<=0

E ( y_T+j / ψ_T ) =

f_T,j j>0

( ARMA dla procesu y, jak i dla procesu resztowego )

ε²_T+j j<=0

E

rekurencyjnie j>0

V_T+j j<=0

E( V_T+j / ψ_T ) =

• j>0

Gdy δ=0 rozważany model ARIMA-GARCH. Wówczas obecność efektu ARCH nie wpływa na w sposób w jaki budujemy prognozę punktową. Efekt ARCH wpływa jednak na niepewność prognozy ex ante wyrażoną przez wariancję błędu predykcji.

Wariancja predykcji

W celu przedstawienia miar ex ante dla rozważanych modeli konieczna jest znajomość wag ψ(β_i). Wagi te wyznaczamy porównując współczynniki przy jednakowych potęgach w

φ(1-B)^d (1+ψ₁B + ψ₂B² + ...) = θ (B)

Wariancję predykcji, która mierzy średni kwadrat odchyleń zmiennej prognozowanej od wartości prognozy, dla modelu ARIMA-GARCH określamy wzorem:

V =

W przypadku modelu ARIMA-GARCH-M wariancja dana jest przez:

V =

gdzie:

u_i = h_i - E ( ε²_i / ψ_T )

Model typu ARIMA-GARCH może być podstawą symulacji Monte Carlo

Portfele papierów wartościowych

Portfel - zbiór papierów wartościowych posiadanych przez inwestora

Etapy budowy portfela:

1. określenie celu i warunków budowy portfela

2. określenie zbioru papierów wartościowych

3. określenie kryteriów budowy portfela

4. obliczenie charakterystyk portfela

5. bieżąca ocena portfela

ad1.

musimy ustalić na jaki okres będziemy inwestować ( krótki czy długi )

ad2.

czy to będą tylko akcje czy też inne np. obligacje

ad3.

ile chcemy zarobić na tym portfelu

ad5.

codzienne śledzenie jego wartości, jego składu

Podstawowe charakterystyki portfela:

1. stopa zwrotu i- tego papieru wartościowego

R_it =

średnia stopa zwrotu z i-tego papieru

( powinna być średnia geometryczna
żeby mieć średniookresowe tempo zmian; jednak w praktyce wykorzystywana jest sr. arytm. )

2. Stopa zwrotu portfela

R_p =

X_i - udział danego papieru wartościowego w portfelu

Jeżeli:

• X_i >= 0 wtedy nie dopuszcza się krótkiej sprzedaży

• Gdy niektóre X_i <0 wtedy dopuszcza się krótką sprzedaż ( sprzedaż pożyczonych papierów wartościowych )

3. Ryzyko i-tego papieru wartościowego

Si =

4. Ryzyko portfela

S²p =

r_ij - współczynnik korelacji i-tego i j-tego papieru wartościowego

Sp =

Zasady dywersyfikacji ( różnicowania ) portfela

Dla identycznych wariancji S² papierów wartościowych i identycznych kowariancji miedzy nimi cov mamy

S²_p = 1/k S² + ( 1 - 1/k ) cov

( przy wzroście liczby pop. Wartośią graniczną będzie kowariancja )

zatem: lim S²_p = cov przy k→∞

----------------------------------

Przyjmuje się, że do portfela powinno się brać k∈[10;15], im większe k tym przyrosty sa co raz mniejsze, spadek ryzyka wariancji jest praktycznie niezauważalny.

( 1 - 1/k ) cov ryzyko rynku

1/k S² ryzyko specyficzne ( dla danego pap. wart. )

tylko ryzyko specyficzne dywersyfikujemy, ryzyka rynku nie da się już zmniejszyć.

Model Markowitza (1950)

Funkcja celu;

S²_p = X^T Dx→min

gdzie:

D = { d_ij}_k×k macierz kowariancji ( jest symetryczna )

d_ij = S_i S_j r_ij = S_ij * cov(i,j )/S_i S_j = cov (i,j)

ograniczenia;

R_p > R₀ R_p - stopa zysku musi być jakoś ograniczona ( nie ma być mniej niż stopa zysku wolna od ryzyka )

X_i >= 0 i=1,2,...,k

Jeśli nie zakładamy X_i >= 0 wtedy mogą być wartości ujemne i dopuszczalna jest krótka sprzedaż.

Nie buduje się portfeli na okresy dzienne ( nie ma sensu ). Najczęściej portfele buduje się na danych miesięcznych i kwartalnych.

Linia rynku kapitałowego kapitałowego uwzględnieniem aktywów wolnych od ryzyka.

0,5% stopa zwrotu z aktywów wolnych od ryzyka (F)

3,05% stopa zwrotu portfela

gdy przesuwamy się po półprostej zmniejsz nam się stopa zwrotu z aktywów wolnych od ryzyka, a zwiększa stopa zwrotu portfela rynkowego.

W_F W_A

Portfel rynkowy - portfel posiadany przez inwestora, który zawiera wszystkie akcje w udziałach proporcjonalnych do tych, w których akcje te występują na rynku.

W_F + W_A = 1

W_F < 0 inwestor może zaciągnąć dług żeby zakupić jeszcze akcje

W_A > 1

Inwestor skłonny do ryzyka pójdzie dalej niż 3,05%

Portfel efektywny to taki, który:

• ma minimalne ryzyko wśród portfeli o danej oczekiwanej stopie zwrotu

• na maksymalna oczekiwana stopę zwrotu wśród portfeli o danym poziomie ryzyka

Zbiór efektywny ( granica efektywna ) - zbiór portfeli, dla których nie można wskazać portfeli lepszych.

Zbiór efektywny jest częścią prostej o równaniu:

R - oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego

R_f - stopa zwrotu wolna od ryzyka

R_M - oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego

S - ryzyko portfela efektywnego

S_M - ryzyko portfela rynkowego

1. R_f = cana czasu

2. cena jednostki ryzyka * wielkość ryzyka portfela efektywnego

Wybór portfela przez inwestora zależy od jego indywidualnej skłonności do ryzyka.

Model Sharpe'a ( jednowskaźnikowy, pojedynczego indeksu )

Założenia:

1. Inwestorzy maja awersje do ryzyka i maksymalizują swoją stopę zwrotu w dłuższym horyzoncie czasowym.

2. Inwestorzy są w swoich decyzjach racjonalni i dokonują wyboru sposobu pomnażania bogactwa wykorzystując wiedzę o ryzyku ( odchylanie standardowe od stopy zwrotu ) i spodziewanej stopie zwrotu.

3. Zwiększenie aktywów inwestora jest oddzielone od podatków i kosztów transakcji, które w analizach SA równe zeru.

4. Wszystkie aktywa mogą być kupowane i sprzedawane bez ograniczeń.

5. Dla kapitałów na rynku nie ma barier wejścia i wyjścia, a informacja jest jednakowo dostępna dla wszystkich uczestników rynku.

6. W tym samym czasie wszyscy inwestorzy kierują się tymi samymi zasadami dotyczącymi spodziewanej stopy zwrotu, ryzyka i kowariancji. Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko są jedyną podstawą do podejmowania decyzji inwestycyjnych.

7. Transakcje pojedynczego inwestora nie mogą mieć wpływu na cenę instrumentu finansowego.

8. Na rynku są nieograniczone możliwości udzielania i zaciągania kredytu przy stopie wolnej od ryzyka.

Postać modelu:

R_it - stopa zwrotu z i-tego papieru ( papierów ) wartościowego

R_M - stopa zwrotu z indeksu giełdowego ( rynkowa stopa zwrotu )

β_i - współczynnik określający ryzyko inwestycji w dany papier wartościowy

Interpretacja β_i:

• β_i = 1 ryzyko inwestycji w i-ty papier wartościowy jest identyczne z ryzykiem rynkowym, papier neutralny

• β_i > 1 ryzyko inwestycji w i-ty papier wartościowy jest większe od ryzyka rynkowego, papier agresywny

• β_i < 1 ryzyko inwestycji w i-ty papier wartościowy jest mniejsze od ryzyka rynkowego, papier defensywny

• β_i = 0 brak jakiegokolwiek ryzyka w inwestycje na rynku finansowym

• β_i < 0 stopa zwrotu danej spółki ma tendencje odwrotną do pozostałych

Parametry α_i i β_i można oszacować za pomocą KMNK.

Całkowite ryzyko papieru wartościowego wartościowego modelu Sharpe'a :

S_i² - wariancja i-tej akcji ( ryzyko całkowite akcji )

S_M² - wariancja wskaźnika rynku ( ryzyko rynku = β_i²S_u² )

S_u² - wariancja składnika losowego ( ryzyko specyficzne )

( β nie powinno się liczyć na cały rok, ale dopuścić analizę zmienności, bo w ciągu roku β może się zmieniać i może okazać się, że raz spółka jest defensywna, a raz agresywna )

Model równowagi rynku papierów wartościowych

( Capital Asset Princing Model capm )

autorzy: Sharpe, Lintner, Mossin

Dotyczy wielu inwestorów.

Założenia - takie jak w modelu Sharpe'a

Wprowadzenie CAPM

Rozważmy nieefektywny portfel złożony z aktywu i z oczekiwaną stopą zwrotu R_i i odchyleniem standardowym S_i oraz portfel rynkowy z odpowiednio R_M i S_u .

W sytuacji równowagi ten portfel nie powinien być utrzymywany przez inwestora.

Załóżmy, że udział dyspozycyjnego funduszu przeznaczonego na zakup aktywu i wynosi w_i natomiast natomiast portfelu rynkowym lokujemy ( 1-w_i )

Wartość oczekiwana portfela wynosi:

1. R_p = w_iR_i + (1-w_i)R_M

zaś wariancja:

2. 
   S²p=w_i²S_i² + (1-w_i)²S_M² + 2w_i (1-w_i )ρ_iM

Traktując oczekiwana stopę zwrotu oraz ryzyko jako towary rozważmy krańcową stopę substytucji pomiędzy nimi. Jest ona wyrażana jako pochodna R_p względem S_p czyli

3.

Różniczkując 1. względem w_i otrzymujemy:

4.

Analogicznie dla 2.

5.

Podstawiając 4. i 5. do 3. otrzymujemy

6.

Zakładając w_i =0 otrzymujemy portfel efektywny i jest to portfel rynkowy. Można wtedy przyjąć R_p=R_M oraz S_p=S_M.

Podstawiając do 6. mamy

7.

Równanie
7. jest zawsze prawdziwe w równowadze równowadze wyraża nachylenie linii rynku kapitałowego LRK ( Capital Market Line )

Oznaczając współczynnik kierunkowy prostej LRK przez λ mamy

8.

i dalej po przekształceniach:

9.

Niech linia rynku kapitałowego będzie dana wzorem

R_j = R_f +λS_j

oznaczając j = M mamy

R_M = R_f +λS_M

stąd

R_f = R_M -λS_M

Podstawiając do 9. otrzymamy

R_i = R_f +

Zastępując λ przez 8.

R_i - R_f =

Jeżeli R_i - R_f + R_f - R_M = R_i - R_M

To R_i - R_f =

Równanie równowagi

R_p = R_f + β(R_M-R_f)

lub

R_p - R_f = β(R_M - R_f)

Każdy portfel można przedstawić w układzie XOY

pod linią - portfele nieoszacowane przez rynek

nad linią - portfele przeszacowane

Testowanie CAPM

Załóżmy liniową relację niędzy stopą zwrotu z portfela papierów wartościowych z zawiązanym z nim ryzykiem

R_p - R_f = β(R_M - R_f)

Oznaczając premię za ryzyko odpowiednio przez y oraz x , dodając stałą oraz składnik resztowy u odzwierciedlający efekt specyficznego oraz dywersyfikowanego ryzyka, model CAPM można zapisać jako równanie regresji

y = α + βx + u

Przy czym parametry α i β mogą być szacowane za pomocą KMNK

= cov(xy) / var(x)

co jest równoznaczne

Beta jest miarą wrażliwości stopy zwrotu danego portfela na tle zmienności stopy zwrotu całego rynku.

Założenia ekonometryczne:

• stacjonarność premii za ryzyko y i x

• normalnośc rozkładu

• brak autokorelacji, stąd u ∼ ND (normalny identicaly distributed)

W oryginalnym modelu CAPM nie występuje stała α.

Hipotezy podlegające testowaniu:

• α = 0

• stałość parametrów β

• liniowość relacji

• homoskedastyczność (jednorodność wariancji)

• normalność rozkładu

• brak autokorelacji reszt

Model APT (APM) - Arbitraże Princing Theory/Model

Autor modelu - Ross(1976)

Założenia: PRAWO JEDNEJ CENY

Cena jednego waloru na różnych rynkach w danej chwili może być różna, wówczas pojawiają się inwestorzy/arbitrażyści i kupują tam gdzie atrakcyjniej i cena się wyrównuje.

Stopa zwrotu akcji ( lub portfela akcji ) R_it kształtuje się wg następującego modelu wieloczynnikowego:

1.

gdzie:

b_ij - wagi, miary wrażliwości i-tej akcji na poszczególne czynniki (j) ryzyka (parametry modelu)

F_jt - j-ty czynnik wpływający na stopę zwrotu akcji

Czynniki F_jt mogą być:

• rzeczywistymi zmiennymi ekonomicznymi

• sztucznymi konstrukcjami wyodrębnionymi w ramach analizy czynnikowej

• określonymi stanami natury, mającymi wpływ na stopę zwrotu ( oparte o teorię preferencji, stany są zero-jedynkowe )

Oczekiwana stopa zwrotu jest dana jako:

2.

składnik losowy ma średnią zero i wariancje z założenia stałą

1. - 2.

3.

4. E(ε_iε_j) = 0 i i≠j nieskorelowanie składnika losowego

5. E(ε_i (F_j - EF_j )) = 0 nieskorelowanie składnika losowego ze zmiennymi objaśniającymi

Działanie modelu APT

Portfel o zerowym współ. Beta z zerową inwestycja netto musi spełniać warunki:

6.
j=1,2,...,k

7.

Jeżeli niektóre w_i są mniejsze od zera to znaczy, że takie papiery wartościowe są w portfelu przez krótki okres i że są zamieniane one na inne papiery.

Element arbitrażu

Jeżeli inwestorzy nie inwestują dodatkowych pieniędzy, pieniędzy mimo to portfel o zerowym beta przynosi zyski bez ryzyka to ich uzyskanie jest możliwe w drodze arbitrażu.

Warunek ten można zapisać jako:

Zakładając 6. oraz pamiętając, że dla dobrze zdywersyfikowanego portfela ostatni element 8. znika, otrzymujemy:

9.

Ponieważ portfel arbitrażowy ma rzeczywistą stopę zwrotu równą oczekiwanej, to nie występuje zmienność tej wartości oczekiwanej i stąd jest on pozbawiony ryzyka.

Model ATP może być podsumowany w dwóch równaniach:

10.

11.

gdzie:

λ₀ = ER_f = r oczekiwana stopa zwrotu z papierów wolnych od ryzyka

λ_j = ER_i - λ₀ = E(R_i - R_f ) premia za ryzyko, premia za posiadanie walorów innych niż papiery wolne od ryzyka

Równanie 11. jest właściwym modelem APM. Jest ono możliwe w warunkach równowagi. Określa ile wynosi stopa zwrotu z akcji ( lub portfela ) w warunkach równowagi. Równania 10. - 11. mogą być szacowane oddzielnie za pomocą KMNK lub łącznie za pomocą analizy czynnikowej.

Rów. 10. jest dynamiczne

Rów. 11. jest rów. Na danych przekrojowych

Empiryczny model arbitrażu cenowego

Czynniki ryzyka gospodarczego: kurs dolara amerykańskiego, stopa inflacji, indeks DNIA, stopa oprocentowania transakcji międzybankowych WIGOR oraz indeks giełdy warszawskiej WIG.

Model APT postaci:

wymaga stacjonarności analizowanych procesów, procesów zatem rozważano pierwsze różnice.

Okres badania od IX 1995 do III 1999.

Istotne okazały się: średnie miesięczne stopy zwrotu z poszczególnych akcji, WIG'u oraz przyrosty stopy procentowej WIBOR.

Równanie poddane szacowaniu za pomocą KMNK.

R_it = a_i + b₁RWIG_t + b₂ΔWIBOR_t + ε_it

Drugie równanie modelu ATP opisuje stopę zwrotu portfela ze względu na uwzględnione w równaniu pierwszym czynniki ryzyka i przyjmuje postać:

Oznaczenie λ₀ odpowiada stopie zwrotu z papierów wolnych od ryzyka, zaś λ_j są wagami identycznymi dla wszystkich walorów.

Model ten jest modelem dla danych przekrojowych gdzie danymi są oszacowane uprzednio parametry b_ij , natomiast parametry λ_j są interpretowane jako premie, stanowiące rekompensatę za podejmowanie ryzyka związanego odpowiednio z danym czynnikiem ryzyka.

Zmienna objaśniana: średnie miesięczne stopy zwrotu z akcji poszczególnych spółek, wyliczona z rów. 1. modelu APT.

Stopy zwrotu obliczone z modelu wyższe niż obliczone na podstawie danych z przeszłości oznaczają, że model przeszacowuje daną spółkę, a co za tym idzie jej cena giełdowa powinna spaść. Natomiast niższa stopa zwrotu z modelu oznacza nieoszacowanie danej spółki przez model, co w konsekwencji powinno doprowadzić do wzrostu jej ceny giełdowej.

Dominacje stochastyczne w analizie portfelowej

Są 2 nurty:

1. wykorzystana w porównaniu dwóch lub więcej alternatywnych portfeli w celu wyboru lepszego.

2. problem eliminacji wstępnej aktywów np. akcji przed przystąpieniem do budowy portfela

Określenia:

Niech F i G będą dystrybuantami dwóch zmiennych losowych odpowiednio X iY, gdzie X,Y ∈ [a,b]. Niech X i Y oznaczają stopy zwrotu z inwestycji w akcje 1 i 2 lub portfele aktywów 1 i 2.

G dominuje w sensie dominacji stochastycznej rzędu pierwszego GD₁F, jeżeli:

• inwestor preferuje posiadanie więcej niż mniej, tzn. jego funkcja użyteczności jest rosnąca

• G(2)<= F(2) dla wszystkich wszystkich z ∈ [a,b], z oznacza zbiór uporządkowanych rosnąco stóp zwrotu X i Y.

Przykład 1.

Zmienna X		Zmienna Y
Portfel A		Portfel B
Stopa zwrotu	prawdopodobieństwo	Stopa zwrotu	prawdopodobieństwo
12	1/3	11	1/3
10	1/3	9	1/3
8	1/3	7	1/3

p-stwo osiągnięcia co najwyżej danej stopy zwrotu ( dystrybuanta) F(z)=P(Z<=z_i )

Stopa zwrotu[%]	Portfel A	Portfel B
7	0	1/3
8	1/3	1/3
9	1/3	2/3
10	2/3	2/3
11	2/3	1
12	1	1

Dominacja stochastyczna rzędu I

akcje A akcje B

Portfel A dominuje nad portfelem B, czyli ma mniejsze p-stwo uzyskania równej stopy zwrotu.

G dominuje w sensie dominacji stochastycznej rzędu drugiego GD₂F, jeżeli:

• inwestor preferuje posiadanie więcej niż mniej

• inwestor charakteryzuje się awersją do ryzyka, tzn. jego funkcja użyteczności jest wklęsła

• G₂(w) =
  dla wszystkich wszystkich ∈ [a,b]

W praktyce dla przypadku skokowego jest to po prostu skumulowana dystrybuanta.

G dominuje w sensie dominacji stochastycznej rzędu trzeciego GD₃F, jeżeli:

• inwestor preferuje posiadanie więcej niż mniej, tzn. jego funkcja użyteczności jest rosnąca

• inwestor charakteryzuje się awersją do ryzyka, tzn. jego funkcja użyteczności jest wklęsła

• funkcja użyteczności ma wypukłą pochodną

V ∈ [a,b]

Jeżeli istnieje dominacja rzędu pierwszego to zachodzi także dominacja rzędu 2,3 i wyższych natomiast stwierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe.

Modele wyceny

A. Wycena akcji

1. Modele oparte na rachunku dyskonta

Wartość akcji jako suma bieżących wartości wszystkich przyszłych korzyści, które na nia wpływają: 1. P₀ =

gdzie: P₀ - wartość akcji

V_t - przyszłe dochody

s - stopa dyskontowa ( jest jednocześnie stopą korzyści )

Wymagana stopa korzyści zależy od:

• stopy wolnej od ryzyka

• premii za ryzyko przedsięwzięcia

• spodziewanej stopy zwrotu

Model 1. w wersji rozwiniętej ma formę:

2.

gdzie: k_t - zmienna w czasie stopa dyskontowa ( wartości prognozowane )

( czas trwania akcji jest nieokreślony, w równaniu 2. trzeba wszystko wyprognozować )

Mierniki dochodu V_t : ( dwa poglądy )

I. całkowity zysk spółki kapitałowej

argumenty za:

• nie wszyscy akcjonariusze mają możliwość decydowania o wypłatach dywidendy

• polityka dywidendowa firmy ma najczęściej charakter stabilny

II. dywidenda:

argumenty za:

• inwestorzy przedkładają bieżące płatności dywidendowe nad niepewne wzrosty wartości kursów jako następstwo zatrzymania części zysków w przedsiębiorstwie przedsiębiorstwie ich reinwestycji

• nie wszyscy akcjonariusze maja możliwość decydowania o podziale zysku

• podwójne liczenie (dyskontowanie) części zysków w wartości akcji ( jako niewypłacone w postaci dywidendy w okresie poprednim, jako przyrosty na skutek reinwestycji )

W większości popierany jest pogląd drugi.

a) Model stałego wzrostu dochodu ( model Gordona)

Opiera się na założeniu stałego wzrostu dywidendy

Oznaczenia: G_t - zysk w okresie t

e - stały ułamek zysku zatrzymany w przedsiębiorstwie na reinwestycję

g - stała stopa wzrostu zysku

Model wzrostu zysku:

3 G_t = G₀ (1+g)^t

Dywidenda:

4 D_t = G_t (1-e) = G₀ (1+g)^t(1-e)

Równanie 4 podstawia się do 2 traktując V_t jako równe dywidendzie ( V_t = D_t )

Model wyceny akcji w warunkach stałego samofinansowania

5
model Gordona k - stała stopa dyskontowa

( założenie o stałej stopie zysku jest minusem tej metody )

b) Model zmiennego wzrostu dochodu : model dwóch faz

g₁ - tempo zwrostu dywidendy w okresie 1

g₂ - tempo wzrostu dywidendy w okresie 2

g₁ > g₂

Model wyceny ma postać:

6

D₀ - wielkość dywidendy w pierwszym okresie

Modele te maja raczej charakter rachunkowy niż ekonometryczny.

Problem wyprognozowania k,g₁, g₂ czy sama dywidenda może byż obliczona za pomocą metod ilościowych.

W wycenia akcji duże znaczenie mają modele ekonometryczne np.: model Sharpe'a, CAPM, model wieloczynnikowy (APT)

Modele wyceny opcji

Opcja - instrument finansowy pochodny, dający prawo zakupu (sprzedaży) podstawowego instrumentu finansowego finansowego określonym terminie po określonej cenie.

Różne elementy mogą być instrumentami podstawowymi:

• opcje na akcje - instrumentem podstawowym są tu akcje

• opcje na indeksy

• opcje na waluty

• opcje na stopę procentową

Opcje: kupna ( call option ) - dają możliwość kupna

Sprzedaży ( put option ) -dają możliwość sprzedaży

W opcji europejskiej prawo realizacji opcji mamy tylko w dniu jej wygaśnięcia ( w dniu jej wykupu, zapadłości )

W opcji amerykańskiej można wykupić w dowolnym dniu aż do dnia zapadalności włącznie.

Rozliczenie opcji:

• opcja w cenie ( ITM In-the-money) - oznacza, że opłaca się rozliczyć

• opcja nie jest w cenie ( OTM out-of-the-money ) - nie opłaca się rozliczyć tej opcji

• opcja po cenie ( ATM AT- the- money) zysk jest zerowy, od nas zależy czy rozliczymy czy nie.

Kupno

Zyski nabywcy opcji kupna:

Zysk wystawiającego opcję kupna

Sprzedaż

Zysk nabywcy opcji sprzedaży

Zysk wystawcy opcji sprzedaży

Dwa modele wyceny

I Model wyceny Coxa-Rubinsteina (1976)

• technika wyceny opcji za pomocą drzew dwuwymiarowych

model jednookresowy - gdy znany jest termin wykonania opcji, nie ma możliwości przedterminowego wykonania kontraktu ( czyli opcja europejska ) i nie ma możliowści wykonania transakcji arbitrażowych

Oznaczenia:

S - aktualna cena akcji

F - aktualna cena opcji

T - okres pozostający do terminu wygaśnięcia opcji

S_u - cena akcji w przypadku wzrostu ( u > 1 )

S_d - cean akcji w przypadku spadku ( d < 1 )

r - stopa procentowa aktywów wolnych od ryzyka

f_u - dochód z opcji w przypadku wzrostu ceny akcji do S_u

f_d - dochód z opcji w przypadku spadku ceny akcji do S_d

7

gdzie:

p - jest p-stwem aprecjacji akcji do poziomu S_u

II Model wyceny opcji europejskich Blacka-Scholesa (1973)

( jest najczęściej stosowany, dostali Nobla za prace nad tym modelem)

Założenia:

• ceny akcji podlegają błądzeniu przypadkowemu ( rynek efektywny) a rozkład p-stwa stóp zwrotu z akcji są normalne

• rozkłady p-stwa dla cen akcji w momencie wygaśnięcia opcji są logarytmiczno-normalne, a parametry μ(średnia) i δ(odchylenie stand.) są stałe

• koszty transakcyjne oraz podatki są pomijane, a instrumenty bazowe są idealnie podzielone

• w czasie ważności opcji aktywa bazowe nie przynoszą dywidendy

• nie ma możliowści dokonywania pozbawionych ryzyka transakcji arbitrażowych

• obrót papierami wartościowymi jest ciągły

• istnieje możliwość pożyczania i inwestowania środków przy stopie procentowej wolnej od ryzyka

• krótkoterminowa wolna od ryzyka stopa procentowa jest stała

Równania Blacka-Scholesa określające wartość europejskich opcji kupna i sprzedaży akcji spółek nie wypłacających dywidendy:

8 c = SN(d₁) - XE^-rT * N(d₂)

9 p = XE^-rT * N(-d₂) - d * d(-d₁)

gdzie:

d₁ =

d₂ =

c - cena europejskiej opcji kupna

p - cena europejskiej opcji sprzedaży

r - stopa procentowa wolna od ryzyka

T - czas pozostający do wygaśnięcia opcji

S - cena akcji ( rynkowa )

X - cena wykonania opcji

δ - zmienność ( odchyl. stand. ) ceny akcji

liczbyd₁ i d₂ można traktować jako odchylenie od wartości oczekiwanej standaryzowanego rozkładu normalnego, zaś N(d) jestdystrybuantą standaryzowanej zmiennej o rozkładzie normalnym.

Analiza wrażliwości w modelu Blacka - Scholesa

1. współczynnik delta - wskazuje o ile zmieni się wartość opcji gdy cena akcji wzrośnie o 1%

10

2. współczynnik gamma - wskazuje o ile zmieni się współczynnik delta opcji, gdy cena akcji wzrośnie o 1%

11

3. współczynnik theta - wskazuje jak zmieni się wartość opcji, gdy zmieni się czas do momentu rozliczenia

12

4. współczynnik kappa - wskazuje o ile zmieni się wartośc opcji, gdy zmiennośc ceny akcji ( odchyl. stand.) wzrośnie o 1%

13

5. współczynnik rho - określa wrażliwość ceny opcji na 1% zmianę stopy procentowej wolnej od ryzyka

Strategie opcyjnie ( kombinacje opcji )

1. strategia stelaża

2. strategia strangle

1

1 zjawisko występuje

0 zjawisko nie występuje

0 gdy r_t = r_t+1

1 w przeciwnym razie

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Dla krótkich okresów i niskich stóp procentowych przyjmuje się r = 0

1.

2.

(7)

rzeczywista wartość procesu

oczekiwana wartość

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

( cena fundamentalna - cena ekonomicznie uzasadniona zależy od oczekiwań co do procesów fundamentalnych )

(6)

(8)

(7)

zakłada się, że X_t jest procesem AR(1)

x_t, y_t

X_t, y_t ∼CI(d,b)

t

x_t, y_t

t

procesy nakładają się wg tej samej długookresowej ścieżki rozwoju

x_t, y_t nie są skointegrowane, nie przebiegają wg tej samej ścieżki rozwoju, nie ma takiego samego wektora [α₁ α₂] który by je łączył wg tej samej ścieżki rozwoju

ścieżka równowagi długookresowej

t1

t

Postuluje się, aby α₂ < 0 → dostosowanie się z okresu na okres do długookresowej ścieżki rozwoju ( równowagi ).

Czy to jest pkt. zwrotny?

y_t = a₀ + a₁t

y_t = a₀ + a₁t

czy a₁ = a₂ ?

!

R_t - stopa zwrotu w okresie t

- średnia stopa zwrotu

0 gdy R_t >=

gdzie d_t =

R_t gdy R_t <

E - elastyczność

r - stopa procentowa

p - cena

AR AutoRegressive

C Conditional

H Heteroscedasticity

parametr δ musi być statystycznie istotny, żeby był to model GARCH-M

(∇)

ε_T+j j<=0

E ( y_T+j / ψ_T ) =

0 j>0

średnia arytm. Jest dopuszczona do tzw. logarytmicznych stóp zwrotu

Sp

h

cov

s

R

linia rynku kapitałowego

3,05%

0,5%

portfele efektywne

Portfele dopuszczalne

1.

2.

kowarincjacja

Premia za ryzyko z posiadania portfela p

Premia za ryzyko z posiadania portfela rynkowego

8.

7 8 9 10 11 12

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

Linia rynku papierów wartościowych

Nabywca ma tzw. długą pozycję

X=200 cena rynkowa

C=20

Jeżeli na rynku cena jest niższa niż 200zł nie zrealizujemy opcji kupna, bo wtedy bardziej opłaca się kupić na rynku ( za opcję zapłaciliśmy już 20zł i teraz musielibyśmy zapłacić 200zł.)

Jeżeli cena jest 220zł - zysk zerowy

Cena jest > 220zł - opłaca się zrealizować opcję

Im bliższa zeru jest cena akcji na rynku wtedy opłaca się nam zrealizować opcję

Taki sam czas dokonywania obu opcji

Na jednej opcji mamy zysk a na drugiej stratę

---