Wielomian st trzeciego doc


Wiadomości wstępne

Wyrażenie w postaci:

0x01 graphic



nazywamy wielomianem stopnia trzeciego o współczynnikach a,b,c,d. Przyjmuje się że 'a' jest różne od zera gdyż w innym wypadku wielomian redukowałby się do funkcji kwadratowej. Poniższy wykres demostruje najprostszą możliwą funcją 3 stopnia, o współczynnikach 1,0,0,0:

0x01 graphic



Wykres funcji 3 stopnia nazywamy parabolą stopnia 3. Może ona przybierać dość zróżnicowane kształty, zawsze ma jednak przynajmniej jedno przecięcie z osią x. Poniższe przykłady pokazują wykresy o współczynnikach 1,-2,-1,1 oraz 1,-1,1,1

0x01 graphic
0x01 graphic

Dużo informacji o funcjach 3 stopnia może dostarczyć wykres modułu funkcji na płaszczyżnie zespolonej. Dwa poniższe obrazki pokazują wykres o współczynnikach 1,-1,1,1 (ten sam co powyżej):

0x01 graphic
0x01 graphic

Z tych obrazków można wniskować iż wielomian stopnia 3 może mieć zarówno pierwiastki rzeczywiste, jak i zespolone. Problem znalezienia rozwiązań dowolnego równania 3 stopnia jest zdecydowanie trudniejsze niż rozwiązanie trójmnianu kwadratowego jednak jest możliwe.

Znajdowanie rozwiązań

Sposób rozwiązania równania 3 stopnia to dzieło Cardana, dlatego wyprowadzone tutaj wzory nazywa się WZORAMI CARDANA (czyt KARDANA)
Równanie w postaci :

0x01 graphic



Będziemy przeszkałcać równoważnie:

0x01 graphic



(Podzieliliśmy przez 'a'), teraz zastosujemy następujące podstawienie:

0x01 graphic



I będziemy przekształcać dalej:

0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic

Co doprowadza nas do postaci:

0x01 graphic



W której (co warto zauważyć) wyrugowany został czynnik kwadratowy.Przy założeniu że:

0x01 graphic


0x01 graphic

Przez 'D' oznaczamy wyróżnik w następującej postaci:

0x01 graphic



W zależności od znaku tego wyróżnika równanie ma różną ilość pierwiastków: (dowód pomijam)

Jeśli D>0 to rozwiązaniem jest 1 pierwiastek rzeczywsty i 2 zespolone
Jeśli D=0 to
a) gdy p=q=0 równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty trzykrotny równy 0.
b) równanie ma dwa pierwsiatki rzeczywiste z których jeden jest podwójny.
Jeśli D<0 równanie ma 3 pierwsiastki rzeczywiste

Pierwiastki równania z wyrugowanym czynnikiem kwadratowym wyrażają się następująco:

0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic

Gdzie odpowiednie współczynniki wyrażają się następująco:

0x01 graphic


0x01 graphic

Zaś epsilony to pierwiastki równania kwadratowego:

0x01 graphic

Mają one odpowiednio wartości:

0x01 graphic


0x01 graphic

Pamiętając o tym że:

0x01 graphic


0x01 graphic

Możemy wreszcie wyprowadzić jawne wzory na pierwiastki równania w postaci podstawowej:

0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic

Trudno powiedzieć żeby były one 'łatwe'. Dowodów nie przytaczam gdyż są dość skomplikowane.

Metoda Cardana w praktyce jest czasem dość skomplikowana i czasochłonna. Wtedy z pomocą może przyjść metoda podstawiania funkcji trygonometrycznej lub hiperbolicznej.
Najpierw definiujemy zmienną pomocniczą w postaci:

0x01 graphic

Gdzie funkcja SGN oznacza znak.Następnie korzystając z poniższej tabelki odczytujemy jak wyrażają się pierwiastki:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic


Pamiętajmy tylko że stosujemy podstawienie. Aby obliczyć x musimy jeszcze odjąć b/3a.

Właściwości

Równanie 3 stopnia można równoważnie zapisac w tak zwanej postaci iloczynowej. Wygląda to tak:

0x01 graphic

Wnioskiem z tego stwierdzenia są następujące zależnośći zwane wzorami Viete'a (Wieta):

0x01 graphic
    0x01 graphic
    0x01 graphic
   

Dowód jest dość prosty i sprowadza się do wymnożenie postaci iloczynowej podzielonej przez 'a':

0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic

Zadania

1) Znaleźć pierwiastki następujących równań:
0x01 graphic


2) Dowieść że jeżeli równanie:

0x01 graphic

ma 3 pierwiastki to a<0.

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
oraz wszelkie tablice matematyczne.

Jak chodzi o zadania to warto po prostu przejżeć podręczniki do liceum lub jeszcze lepiej podręczniki z 1 lub 2 roku matematyki.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wielomian st czwartego doc
st lekki doc
st lekki doc
~$kład ukł st wyzn doc
~$st egazmin doc
306 ST~1 DOC
Zagr Na st-Obróbka plastyczna metali, Ocena Ryzyka-mat. pomocnicze, Zagrożenia stanowiskowe-DOC
Szkol Program szkolenia okresowego na st. robotniczych, BHP, Szkolenie-Okresowe-DOC
Lk Zagrożenia na st. pracy, Listy-Kontrolne-DOC
Lk Ocena zagrożeń na st. pracy, Listy-Kontrolne-DOC
Konspekt Analiza i ocena zagrożeń na st. pracy, Szkolenia-inne z bhp, Szkolenia-Różne-DOC
Przełącznik optyczny wielomodowy DOC
~$st metrologia 24 pytania 13 06 06 doc
LET ST 1 DOC
Srˇdl▒dowe drogi wodne to wed│ug przepisˇw ustanowionych przez odpowiednie organa pa˝stwowe wodne sz
~$st ze statystyki doc
08 Przykładowy test I st doc
Wielomiany doc
Paulina Olechno st mn IIrok pytania koło usługi doc

więcej podobnych podstron