Wiadomości wstępne

Wyrażenie w postaci:

nazywamy wielomianem stopnia trzeciego o współczynnikach a,b,c,d. Przyjmuje się że 'a' jest różne od zera gdyż w innym wypadku wielomian redukowałby się do funkcji kwadratowej. Poniższy wykres demostruje najprostszą możliwą funcją 3 stopnia, o współczynnikach 1,0,0,0:

Wykres funcji 3 stopnia nazywamy parabolą stopnia 3. Może ona przybierać dość zróżnicowane kształty, zawsze ma jednak przynajmniej jedno przecięcie z osią x. Poniższe przykłady pokazują wykresy o współczynnikach 1,-2,-1,1 oraz 1,-1,1,1

Dużo informacji o funcjach 3 stopnia może dostarczyć wykres modułu funkcji na płaszczyżnie zespolonej. Dwa poniższe obrazki pokazują wykres o współczynnikach 1,-1,1,1 (ten sam co powyżej):

Z tych obrazków można wniskować iż wielomian stopnia 3 może mieć zarówno pierwiastki rzeczywiste, jak i zespolone. Problem znalezienia rozwiązań dowolnego równania 3 stopnia jest zdecydowanie trudniejsze niż rozwiązanie trójmnianu kwadratowego jednak jest możliwe.

Znajdowanie rozwiązań

Sposób rozwiązania równania 3 stopnia to dzieło Cardana, dlatego wyprowadzone tutaj wzory nazywa się WZORAMI CARDANA (czyt KARDANA)
Równanie w postaci :

Będziemy przeszkałcać równoważnie:

(Podzieliliśmy przez 'a'), teraz zastosujemy następujące podstawienie:

I będziemy przekształcać dalej:

Co doprowadza nas do postaci:

W której (co warto zauważyć) wyrugowany został czynnik kwadratowy.Przy założeniu że:

Przez 'D' oznaczamy wyróżnik w następującej postaci:

W zależności od znaku tego wyróżnika równanie ma różną ilość pierwiastków: (dowód pomijam)

Jeśli D>0 to rozwiązaniem jest 1 pierwiastek rzeczywsty i 2 zespolone
Jeśli D=0 to
a) gdy p=q=0 równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty trzykrotny równy 0.
b) równanie ma dwa pierwsiatki rzeczywiste z których jeden jest podwójny.
Jeśli D<0 równanie ma 3 pierwsiastki rzeczywiste

Pierwiastki równania z wyrugowanym czynnikiem kwadratowym wyrażają się następująco:

Gdzie odpowiednie współczynniki wyrażają się następująco:

Zaś epsilony to pierwiastki równania kwadratowego:

Mają one odpowiednio wartości:

Pamiętając o tym że:

Możemy wreszcie wyprowadzić jawne wzory na pierwiastki równania w postaci podstawowej:

Trudno powiedzieć żeby były one 'łatwe'. Dowodów nie przytaczam gdyż są dość skomplikowane.

Metoda Cardana w praktyce jest czasem dość skomplikowana i czasochłonna. Wtedy z pomocą może przyjść metoda podstawiania funkcji trygonometrycznej lub hiperbolicznej.
Najpierw definiujemy zmienną pomocniczą w postaci:

Gdzie funkcja SGN oznacza znak.Następnie korzystając z poniższej tabelki odczytujemy jak wyrażają się pierwiastki:

Pamiętajmy tylko że stosujemy podstawienie. Aby obliczyć x musimy jeszcze odjąć b/3a.

Właściwości

Równanie 3 stopnia można równoważnie zapisac w tak zwanej postaci iloczynowej. Wygląda to tak:

Wnioskiem z tego stwierdzenia są następujące zależnośći zwane wzorami Viete'a (Wieta):

   
   
   

Dowód jest dość prosty i sprowadza się do wymnożenie postaci iloczynowej podzielonej przez 'a':

Zadania

1) Znaleźć pierwiastki następujących równań:



2) Dowieść że jeżeli równanie:

ma 3 pierwiastki to a<0.

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
oraz wszelkie tablice matematyczne.

Jak chodzi o zadania to warto po prostu przejżeć podręczniki do liceum lub jeszcze lepiej podręczniki z 1 lub 2 roku matematyki.

---