Wiadomości wstępne

Wyrażenie w postaci :

Nazywamy wielomianem stopnia 4. Wielomianów stopnia wyższego niż 4 nie potrafimy w sposób ogólny rozwiązać za pomocą pierwiastków. Rozwiązywanie wielomianu stopnia 4 jest trudne, ale możliwe. W praktyce jednak zazwyczaj stosuje się metody przybliżone. Proponuję zapoznać się z kilkoma przykładowymi wykresami:
Przykład 1:

Przykład 2:

Znajdowanie rozwiązań

Wielomian 4 stopnia ma 4 pierwiastki (na mocy podstawowego twierdzenia algebry), w tym zespolonych może mieć 0,2,4. Obrazują to powyższe przykłady. W sytuacjach szczególnych znalezienie rozwiązań może okazać się bardzo łatwe. Jednym z takich przypadków jest sytuacja gdy mamy wielomian dwukwadratowy:

Rówanie takie za pomocą trywialnego podstwaienia można sprowadzić do trójmianu kwadratowego:

Który nietrudno roziązać. Innym szczególnym przypadkiem jest tak zwane rówannie zwrotne:

Które również dość łatwo rozwiązać za pomocą następującego podstawienia:

W wyniku którego otzrymujemy następującą postać:

Następnie rozwiązujemy znajdujemy y1 i y2, po czym podtawiamy do następujących równań:

W wyniku czego otrzymujemy rozwiązania. W ogólności rozwiązania następującego równania 4 stopnia:

Pokrywają się z rozwiązaniami dwóch równań kwadratowych:

Gdzie :

Zaś y jest dowolnym pierwiastkiem następującego wielomianu stopnia 3:

Dowodów powyższych twierdzeń nie przytaczam.

Właściwości

Tak jak pierwiastki wielomainów innych stopni tak również pierwiastki równania stopnia 4 (x1,x2,x3,x4) spełniają zależności zwane wzorami Viete'a. W tym przypadku prezentują się one tak:

Dowód jest analogiczny jak w przypadku wielomianów stopnia dowolnego i polega na wymnożeniu postaci iloczynowej.

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

Wikipedia
"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
"Zarys matematyki wyższej dla studentów" - R. Leitner, tom drugi.
Wszelkie podręczniki algebry oraz tablice matematyczne.

Jak chodzi o zadania to warto po prostu przejżeć podręczniki na studia.Polecam też książkę
"Kółko matematyczne dla olimpijczyków" - H.Pawłoski.

---