Wiadomości wstępne

Wyrażenie w postaci:

Nazywamy wielomianem stopnia n nad ciałem liczb rzeczywistych. Wielomiany mają szczególną rolę w matematyce, znajdują zastosowanie w dowodzeniu mnóstwa twierdzeń. Kilka szczególnych przypadków wielomianów to funkcje liniowe, funkcje kwadratowe i funkcje stopnia 3. Wielomiany stopnia niższego niż 5 są rozwiązywalne w sposób ogólny analitycznie za pomocą pierwiastków. Dla wielomianów stopnia 5 i więcej takie wzory nie istnieją (nie dlatego że ich nie umiemy znaleźć, ale dlatego że po prostu ich nie ma). W praktyce do rozwiązywania wielomianów stosuje się metody przybliżone. Na początek proponuje zapoznać się z kilkoma przykładami wielomianów i ich wykresami:

Przykład 1:

Na bazie tego przykładu łatwo uświadomić sobię że rzeźba wielomianu na płaszczyźnie zespolonej może być znacznie ciekawsza od jego wykresu dla liczb rzeczywistych.Powyższy wielomian ma tylko 2 pierwiastki rzeczywiste (0 i 1), łatwo jednak policzyć (z wykresu) iż wszystkich pierwiastków (również tych zespolonych) ma aż 8! Kolejny przykład jest równie wymowny:
Przykład 2:

Tym razem pierwiastki rzeczywiste są trzy. Sam wykres dla liczb rzeczywistych nie ujawnia żadnych przesłanek aby przypuszczać że wszystkich pierwiastków jest 9 ! Demostruje to poziomicowy wykres wartości modułu funkcji na płaszczyżnie zespolonej.Następny przykład to prosty wielomian stopnia 4:
Przykład 3:

Tym razem również okazuje się że wszystkich pierwiastków jest więcej niż 2. Podsumowując: eksperyment wykazuje iż wielomiany mogą mieć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone.

Znajdowanie rozwiązań - twierdzenia.

Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę c (rzeczywistą lub zespoloną) która spełnia poniższą równość:

Pierwszym faktem jaki udowodnię będzie że:

Twierdzenie 1. Jeśli pewna liczba zespolona jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych to również liczba sprzężona do niej jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Fakt ten staje się prawie oczywisty gdy udowodnić że potęga liczby zespolonej sprzężonej do danej jest sprzężona do potęgi danej liczby. Twierdzenie to wyraża się tak:

Co udowodnię łatwo przekształcając za pomocą dwumianu Newtona:

Co kończy dowód. Mając ten fakt i pamiętając że mamy wieloman nad ciałem liczb rzeczywistych (czyli o wspólczynnikach rzeczywistych) oczywistym staje się fakt symetrii wielomianu wzglęgem osi rzeczywistej, co prościej zapisać tak:

Kolejny wniosek nie wymaga wielkiej pomysłowości, i dowodzi tego co chcieliśmy uzyskać (liczba sprzężona do 0 to 0)

Potwierdza to to, co nieformalnie zauważyliśmy już z przykładowych obrazków.

Następnym godnym zauważenia faktem jest to, że:

Twierdzenie 2. Wielomian o stopniu nieparzystym ma zawsze przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

W moim dowodzie powołuje się na to, że każdy wielomian jest funkcją ciągłą. Dowiodę że gdy stopień wielomianu jest nieparzysty to granice przy zmierzaniu do plus i minus nieskończoności mają przeciwne znaki. Z własności Darboux funkcji ciągłej wnioskuję iż musi istnieć taka liczba rzeczywista dla której wielomian się zeruje:

Kolejnym ciekawym twierdzeniem jest tzw. twierdzenie Bezouta (czyt Bezu) o dzieleniu wielomianu przez czynnik liniowy. Zanim zajmę się dowodem warto wspomnieć o pewnym dość ważnym fakcie.

Twierdzienie 3. Każdy wielomian można jednoznacznie przedstawić jako iloczyn dwóch wielomianów stopnia niższego plus pewna reszta.

Formalnie piszemy tak :

Sposób dzielenia wielomianów jest analogiczny do dzielenia pisemnego liczb. Najpierw dzielimy pierwszy czynnik dzielnej przez pierwszy czynnik dzielnika, wynik zapisujemy na górze, następnie wymnażamy z dzielnikiem, odejmujemy od dzielnej, i powtarzamy tę samą czynność dla powstałej różnicy. I tak dalej, do monemtu gdy pozostała reszta będzie miała stopnień niższy od dzielnika. Poniższy schemat pokazuje pierwsze kilka kroków w dzieleniu dwóch wielomianów:

Algorytm ten właściwie sam dowodzi swojej poprawności (wystarczy wymnożyć), poza tym jest on ZAWSZE możliwy do wykonania, zatem KAŻDY wielomian można przedstawić jako iloczyn dwóch innych plus pewna reszta. Mając to na względzie sformułujemy następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4. Bezouta:

1) Liczba 'a' jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy gdy czynnik (x-a) dzieli W(x) bez reszty.

2) Wartość wielomianu w punkcie 'a' jest równa reszcie z dzielenia tego wielomianu przez czynnik (x-a)

Dowód jest dość prosty. Pamiętamy że każdy wielomian można przedstwaić jako iloczyn. Zatem jeśli a jest pierwiastkiem to możemy napisać:

Jednym z najważniejszych twierdzeń w całej matematyce (zwane podstawowym twierdzeniem algebry), mówi że:

Twierdzenie 5. Każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków (przy czym pierwiastek k-krotny liczy się jako k pierwiastków).

Wnioskiem z tego twierdzenia jest to, że każdy wielomian ma przynajmniej jeden pierwiastek i że każdy wieloman można zapisać jako iloczyn czynników liniowych (rzeczywistych i zespolonych):

Wcześniej dowiedliśmy że każdy wielomian nad ciałem liczb rzeczywistych ma pierwiastki zespolone sprzężone. Iiloczyn czynników liniowych zawierających te pierwiastki jest trójmianem kwadratowym o współczynnikach rzeczywistych:

Co z kolei implikuje że:

Twierdzenie 6. Każdy wielomian nad ciałem liczb rzeczywistych można zapisać jako iloczyn czynników stopnia co najwyżej 2 o współczynnikach rzeczywistych:

Wnioskiem z poprzednich rozwarzań jest twierzenie o pierwiastku wymiernym wielomianu:

Twierdzenie 7. Jeżeli p/q jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to q jest dzielnikiem współczynnika przy x do n, a p jest dzielnikiem wyrazu wolnego.

Dowód polega na wymnożeniu postaci iloczynowej:

Twierdzenie to jest dość pożyteczne gdyż pozwala łatwo wyznaczyć pierwiastki wymierne (o ile takie istnieją) przez podstawienie, lub też stwierdzić że ich nie ma.

Właściwości

Kilka wcześniej dowiedzionych twierdzeń implikuje zależności które nazywamy wzorami Viete'a (Wieta):

Dowód po raz kolejny opiera się o wymnożenie postaci iloczynowej:

Zależności te nierzadko ułatwiają znalezienie rozwiązań (mając np dane 3 rozwiązania wielomianu 5 stopnia musimy jedynie rozwiązań prosty układ równań aby wyznaczyć dwa pozostałe).

Właściwiści wielomianu jako funkcji.

Wielomiany są funckjami ciągłymi. Wynika to z faktu iż każdy wielomian jest sumą czynników potęgowych z których każdy jest ciągły. Skończona suma funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Są też różniczkowalne. Rozumowanie jest analogiczne. Każdy wielomian to suma czynników potęgowych a więc różniczkowalnych w całym zbiorze liczb rzeczywistych (również zespolonych). Różniczkowanie wielomianu polega na zróżniczkowaniu każdego wyrazu po kolei. W wyniku tego procesu otrzymuje się wielomian stopnia o 1 niższego od danego, co obrazuje poniższe przekształcenie:

Wielomiany mają skończony ciąg pochodnych. Pochodna stopnia n wielomianu o stopniu n wyraża się wzorem:

Tak więc jest czynnikeim stałym. Pochodne wyższych rzędów są równe zero. Wielomiany nie posiadają osobliwości (wynika to z ich ciągłości), są holomorficzne (a wiec i również analityczne) na całej płaszczyźnie zespolonej. Nie są okresowe. Są równe swoim rozwinięciom w szeregi Taylora (co wynika ze skończoności ciągu pochodnych). Można udowodnić szereg ciekawych twierdzeń. Jedno z bardziej użytecznych implikuje:

Twierzenie 8. Jeżeli liczba c jest pierwiastkiem k-rotnym wielomianu, to jest pierwiastkiem (k-1)-krotnym jego pochodnej.

Dowód:
Na mocy twierdzenia Bezouta możemy zapisać:

Zatem zapisujemy jego pochodną i przekształcamy:

W wyniku czego otrzymujemy tezę twierdzenia. Twierdzenie to ma nierzadko zastosowanie w znajdowaniu rozwiązań równań algebraicznych. Pozwala pozbycia się pierwiastków wielokrotnych wielomianu. Wystarczy podzielić dany wielomian przez największy wspólny dzielnik jego i jego pochodnej, aby otrzymać nowy wielomian o tych samych pierwiastkach co pierwotny jednak bez pierwiastków wielokrotnych. Pozwala to zredukować stopień równania algebraicznego a tym samym uprościć jego rozwiązanie.

Zadania

1) Wykazać, że wielomian o współczynnikach całkowitych, którego modół dla trzech różnych argumentów całkowitych równa jest 1, nie ma pierwiastków całkowitych.

2) Niech W(x) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wykazać, że jeżeli liczby W(0) i W(1) są nieparzyste, to wielomian W(x) nie ma pierwiastków całkowitych.

3) Znaleźć wszystkie wielomiany dla których zachodzi:
a)

b)

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
"Zarys matematyki wyższej dla studentów" - R. Leitner, tom drugi.
Wszelkie podręczniki algebry oraz tablice matematyczne.

Jak chodzi o zadania to warto po prostu przejżeć podręczniki na studia.Polecam też książkę
"Kółko matematyczne dla olimpijczyków" - H.Pawłoski.

---