WYBRANE MODELE NIELINIOWE.
WŁASNOŚCI, SZACOWANIE

Modele liniowe względem parametrów

PARABOLA

Jest to model opisany równaniem:

.

By oszacować parametry tego modelu trzeba z niego „usunąć” nieliniowość, wprowadzając pomocniczą zmienną objaśniającą
. Uzyskany w wyniku tego pomocniczy model liniowy ma postać:
i szacowany jest jak zwykły model liniowy.

Parabola nadaje się do opisu zjawisk, które początkowo wykazują tendencję wzrostową (przy
), a następnie spadkową; lub odwrotnie (ma to miejsce przy
).

Przykładowe zastosowania paraboli do opisu zjawisk ekonomicznych.

• do opisu zmian kosztu jednostkowego w zależności od skali produkcji;

• do opisu wielkości sprzedaży w zależności od wydatków na reklamę.

W przypadku paraboli nie interpretuje się bezpośrednio wartości żadnego jej parametru. Wykorzystuje się je natomiast do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka oszacowanej krzywej. W wymienionych wyżej przykładowych zastosowaniach paraboli, wierzchołek ten charakteryzuje odpowiednio:

• optymalną skalę produkcji i odpowiadający jej minimalny koszt jednostkowy

• optymalną wielkość wydatków na reklamę i odpowiadającą tym wydatkom maksymalną sprzedaż.

HIPERBOLA

Jest to model opisany równaniem:

.

By oszacować parametry tego modelu wprowadzić należy pomocniczą zmienną objaśniającą
. Uzyskany w wyniku tego pomocniczy model liniowy ma postać:

i szacowany jest jak zwykły model liniowy.

Przykładowe zastosowania hiperboli do opisu zjawisk ekonomicznych.

• do opisu zmian kosztu jednostkowego w zależności od skali produkcji;

• trend hiperboliczny do opisu zmian w czasie wielkości, która wykazuje tendencję spadkową, ale „nie do zera”.

Przykład 1. Zależność kosztu jednostkowego pewnego wyrobu od skali produkcji. Przedsiębiorstwa pogrupowano wg wielkości produkcji na 11 grup i otrzymano następujące średnie wartości kosztu jednostkowego (w tys. zł) i skali produkcji (w tys. sztuk) w poszczególnych grupach:

Koszt jednostkowy	30	26	20	18	14	12	12	11	10	10	11
Skala produkcji	1.0	1.25	2.0	2.5	5.0	10	12.5	20	25	50	100

Przyjęto hipotezę, że koszt jednostkowy zależy hiperbolicznie od skali produkcji, tzn.

.

Utworzono pomocniczy model liniowy i oszacowano jego parametry otrzymując poniższe wyniki:

. Podaj postać modelu oryginalnego po oszacowaniu.

2. Jaką graniczną (przy dowolnie dużej skali produkcji) wielkość kosztu jednostkowego sugeruje otrzymany model?

3. Jaki model kosztu całkowitego wynika z otrzymanego modelu kosztu jednostkowego?

Przykład 2. W pewnym przedsiębiorstwie przeprowadzono eksperyment, który miał wykazać powiązanie między szybkością przesuwania się taśmy produkcyjnej (w milach na godz.) a przeciętną wydajnością pracy zatrudnionych przy niej robotników (mierzonej za pomocą pewnego indeksu, przyjmującego wartości z przedziału <0, 100>). Zebrano następujące obserwacje:

Indeks wydajności	Prędkość taśmy
77	0,6
81	0,4
35	0,1
80	0,5
64	0,75
48	0,8
32	0,9
68	0,3
57	0,2
17	1

Postawiono hipotezę, że zależność indeksu wydajności od prędkości przesuwu taśmy opisuje parabola.

1. Oszacuj w Excelu parametry takiego modelu. Podaj równanie oszacowanej paraboli.

2. Oceń jakość tego modelu.

3. Jaki wniosek wynika z oszacowanego modelu dla przedsiębiorstwa, które przeprowadzało eksperyment?

MODELE LINEARYZOWALNE

Model potęgowy

Ogólna postać modelu potęgowego

- z jedną zmienną objaśniającą opisana jest równaniem:

- z wieloma zmiennymi objaśniającymi opisana jest równaniem:

Szerokie zastosowanie modeli potęgowych w ekonomii wynika z faktu, że modele te charakteryzują się stałą elastycznością zmian Y ze względu na poszczególne zmienne objaśniające.

Szacowanie parametrów modelu potęgowego:

1. Dokonujemy obustronnego logarytmowania modelu oryginalnego

2. Wprowadzamy

1. pomocnicze zmienne (będące jednoznacznym przekształceniem zmiennych modelu oryginalnego):

W = log Y, Z1 = log X1, ..., ZK = log XK,

2. pomocniczy parametr (będący jednoznacznym przekształceniem parametru modelu oryginalnego):

3. W oparciu o wprowadzone zmienne i parametr tworzymy pomocniczy model liniowy:

4. Na podstawie przekształconych obserwacji szacujemy parametry modelu pomocniczego, automatycznie szacowane też są wykładniki potęg przy zmiennych objaśniających oryginalnego modelu potęgowego.

5. Na podstawie ocen parametrów modelu pomocniczego odtwarzamy postać teoretyczną modelu oryginalnego. Jedyny parametr tego modelu, który wymaga obliczenia to stała
   

Interpretacja parametrów modelu potęgowego:

oznacza teoretyczny poziom badanego zjawiska (zmiennej objaśnianej Y) przy jednostkowym poziomie wszystkich zmiennych objaśniających. Czyli w modelu potęgowym:

, gdy Xk = 1 (dla wszystkich k = 1, ..., K).

(dla k = 1, ..., K) to elastyczność zmian Y względem Xk. Wartość tego parametru informuje o tym, że wraz ze wzrostem Xk o 1%, zmienna objaśniana Y zmienia się o
%.

Przykładowe zastosowania modeli potęgowych do opisu zjawisk ekonomicznych.

• do badań popytu w zależności od dochodów i cen;

• do badań rozmiarów produkcji w zależności od czynników produkcji (takich jak zatrudnienie, majątek produkcyjny itp.)

W obu przypadkach wśród ekonomistów panuje przekonanie, że zależności te charakteryzują się właśnie stałymi elastycznościami zmian.

Model wykładniczy

Ogólna postać modelu wykładniczego

z jedną zmienną objaśniającą:

z wieloma zmiennymi objaśniającymi:
.

Ta grupa modeli swoje szerokie zastosowanie w badaniach ekonomicznych zawdzięcza stałej stopie wzrostu zmiennej objaśnianej Y ze względu na poszczególne zmienne objaśniające. Stopy wzrostu funkcji wykładniczej „ukryte” są w wartościach parametrów
, stojących przy zmiennych objaśniających w wykładniku potęgi tej funkcji.

Szacowanie parametrów:

1. Dokonujemy obustronnego logarytmowania modelu oryginalnego. Tu wygodniej jest zastosować logarytmy naturalne:

2. Wprowadzamy

1. pomocniczą zmienną objaśnianą W = ln Y

2. pomocniczy parametr
   

3. Tworzymy pomocniczy model liniowy

4. Na podstawie odpowiednio przekształconych obserwacji szacujemy parametry modelu pomocniczego.

5. Na podstawie ocen parametrów modelu pomocniczego odtwarzamy równanie teoretyczne modelu oryginalnego. By odtworzyć wyraz wolny tego modelu korzystamy z tego, że
   , a stąd
   .

Interpretacja ocen parametrów modelu wykładniczego:

oznacza poziom badanego zjawiska (zmiennej objaśnianej Y) przy zerowym poziomie wszystkich zmiennych objaśniających. A więc w modelu wykładniczym

, gdy Xk = 0 (dla wszystkich k = 1, ..., K).

(dla k = 1, ..., K) to stopa wzrostu Y względem Xk. Wartość tego parametru informuje o tym, że wraz ze wzrostem Xk o jednostkę, zmienna objaśniana Y zmienia się o
* 100%.

Zastosowanie modeli w badaniach ekonomicznych:

W szczególności do budowy trendów zjawisk, charakteryzujących się stałą stopą wzrostu (lub spadku) w czasie. W modelach tych zmienną objaśniającą jest czas.

Przykład 1. W pewnym zakładzie przemysłowym badano zależność całkowitego kosztu produkcji (w mln zł) od jej rozmiarów (w 10 sztuk). Zebrano następujące obserwacje:

Produkcja	1	1.5	2	3	4	10	16	23
Koszt	10	25	30	35	40	50	60	70

Postawiono hipotezę, że zależność kosztu całkowitego od rozmiarów produkcji opisuje model potęgowy:

1. Podać sposób uliniowienia tego modelu hipotetycznego.

2. Oszacować parametry modelu hipotetycznego i podać interpretację uzyskanych ocen.

3. Aktualnie produkcja zakładu wynosi 250 sztuk. W przyszłym miesiącu planowany jest jej wzrost o 10 sztuk.

a/ O ile zł zmieni się wyniku tego całkowity koszt produkcji zakładu?

b/ O ile % zmieni się w wyniku tego całkowity koszt produkcji.

4. Czy oszacowany model charakteryzuje się rosnącą prędkością i stopą wzrostu? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład 2. Poniższa tabelka przedstawia spożycie hamburgerów (w tys. sztuk tygodniowo), ceny hamburgerów, przeciętne dochody ludności oraz ceny hot-dogów w 12 różnych miastach:

Miasto	Konsumpcja hamburgerów	Cena hamburgerów (w $)	Dochody (w $ 1.000)	Cena hot-dogów (w $)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	50 80 95 105 70 85 55 60 75 90 100 65	1.50 1.35 1.25 1.20 1.40 1.30 1.50 1.45 1.35 1.25 1.20 1.45	12.0 14.2 15.0 16.0 13.8 14.3 13.3 13.3 13.7 14.5 15.2 13.6	1.80 1.55 1.45 1.35 1.60 1.50 1.70 1.70 1.60 1.50 1.35 1.65

Postawiono hipotezę, że zależność spożycia hamburgerów od dochodów ludności oraz cen hamburgerów i hot-dogów opisuje model potęgowy o postaci:

• Utwórz pomocniczy model liniowy i oszacuj jego parametry.

• Oceń jakość uzyskanego modelu. Jeżeli nie jesteś z tego modelu zadowolony, zastanów się, w jaki sposób można by spróbować go poprawić.

• W jaki sposób konsumpcja hamburgerów zależy od zmian przyjętych w badaniu zmiennych objaśniających. Czy uzyskane wyniki są zgodne z teorią ekonomii?

Przykład 3. Przedsiębiorstwo postanowiło zbudować trend opisujący zmiany wartości sprzedaży swojej produkcji (S_t - w tys. zł) w kolejnych kwartałach lat 1994, 1995 i 1996. Zebrano następujące obserwacje:

Kwartał	Sprzedaż
1994 - I	300
II	305
III	315
IV	340
1995 - I	346
II	352
III	364
IV	390
1996 - I	397
II	404
III	418
IV	445

Postawiono hipotezę, że rozważany trend ma postać wykładniczą:

Na podstawie oszacowanego modelu wyjaśnij, jak zmienia się wielkość sprzedaży przedsiębiorstwa w czasie.

Najczęściej dokonuje się tego przy podstawie 10 lub e. Tu przyjęto podstawę 10.

---