Postać analityczna
modelu
Modele liniowe
Modele nieliniowe
Modele sprowadzalne
do liniowych
Modele niesprowadzalne
do liniowych
Modele nieliniowe
względem parametrów
Modele liniowe
względem parametrów
Postać analityczna
modelu
Modele liniowe
Modele nieliniowe
Modele sprowadzalne
do liniowych
Modele niesprowadzalne
do liniowych
Modele nieliniowe
względem parametrów
Modele liniowe
względem parametrów
Modele liniowe
względem parametrów
• Wielomiany
• Funkcje hiperboliczne
• Funkcje logarytmiczne
• ...
Modele nieliniowe
względem parametrów
• Funkcje wykładnicze
• Funkcje potęgowe
• Funkcje Törnquista
• Funkcje logistyczne
• ...
Wielomiany
Funkcja
kwadratowa
2
2
1
0
X
X
Y
– poziom zmiennej Y przy wartości X=0
Funkcja kwadratowa
Uliniowienie:
Podstawienie Z=X
2
2
2
1
0
X
X
Y
Z
Funkcja hiperboliczna
0
1
0
1
0
1
1
0
X
X
Y
– poziom zmiennej Y przy wartości
X dążącej do nieskończoności
Funkcja hiperboliczna
Uliniowienie:
Podstawienie Z=1/X
X
Y
1
1
0
Z
Funkcja logarytmiczna
-6
-4
-2
2
4
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
ln(X)
1
0
X
Y
0
1
0
1
– poziom zmiennej Y przy wartości
X = 1
Funkcja logarytmiczna
Uliniowienie:
Podstawienie
Z=ln(X)
)
ln(
1
0
X
Y
Z
Funkcja wykładnicza
– poziom zmiennej Y przy wartości
X=0
1
– stopa wzrostu; wzrost wartości
zmiennej objaśniającej X o
jednostkę powoduje zmianę
poziomu zmiennej objaśnianej Y o
x100%
5
1
15
2
25
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
,
1
0
0
1
X
e
Y
Funkcja wykładnicza
Uliniowienie:
Obustronne
logarytmowanie
)
ln(
)
ln(
1
0
X
e
Y
X
e
Y
1
ln
ln
)
ln(
0
X
Y
1
0
ln
)
ln(
Funkcja wykładnicza
Podstawian
ie:
1
1
0
0
),
ln(
),
ln(
Y
W
X
Y
1
0
ln
)
ln(
W
0
1
1
1
α
0
0
e
Funkcja potęgowa
– poziom zmiennej Y przy wartości
X=1
1
– elastyczność funkcji; procentowa
zmiana zmiennej objaśnianej Y
spowodowana procentową zmianą
zmiennej objaśniającej X o 1%
2
4
6
8
1
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1
0
,
0
0
1
X
X
Y
Funkcja potęgowa
Uliniowienie:
Obustronne
logarytmowanie
)
ln(
)
ln(
1
0
X
Y
)
ln(
)
ln(
)
ln(
1
0
X
Y
)
ln(
)
ln(
)
ln(
1
0
X
Y
Funkcja potęgowa
Podstawian
ie:
)
ln(
),
ln(
),
ln(
0
0
X
Z
Y
W
)
ln(
ln
)
ln(
1
0
X
Y
W
0
1
1
1
α
0
0
e
Z
Funkcje Törnquista
Funkcje Törnquista – funkcje opisujące
zależność wydatków na pewne dobra
(Y) od dochodów (X)
Wyróżnia się trzy funkcje Törnquista w
zależności od rodzaju dóbr:
• funkcja I rodzaju – dla dóbr
podstawowych
• funkcja II rodzaju – dla dóbr wyższego
rzędu
• funkcja III rodzaju – dla dóbr luksusowych
Funkcja Törnquista I
rodzaju
1
2
3
4
5
6
a
0
,
0;
X
b
a
X
b
aX
Y
a– poziom nasycenia, wraz ze wzrostem
zmiennej X, poziom Y zbliża się do poziomu a
Funkcja Törnquista I
rodzaju
Uliniowienie:
Odwrotność
aX
X
b
Y
1
aX
X
aX
b
Y
1
a
X
a
b
Y
1
1
1
Funkcja Törnquista I
rodzaju
a
X
a
b
Y
1
1
1
X
Z
a
b
a
Y
W
1
,
,
1
,
1
1
0
Podstawian
ie:
W
1
Z
0
0
1
0
;
1
b
a
Funkcja Törnquista II
rodzaju
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 11
12 13 14
15 16
a
c
0
,
,
0;
X
)
(
c
b
a
X
b
c
X
a
Y
a– poziom nasycenia, wraz ze wzrostem
zmiennej X, poziom Y zbliża się do poziomu a
c – poziom dochodów, od którego pojawiają się
wydatki na dobro wyższego rzędu
Funkcja Törnquista II
rodzaju
Uliniowien
ie:
X
b
c
X
a
Y
)
(
ac
aX
X
b
Y
)
(
ac
aX
YX
Yb
Y
ac
aX
YX
X
Y
b
X
ac
a
Y
1
Funkcja Törnquista II
rodzaju
X
Y
Z
X
Z
b
ac
a
2
1
2
1
0
;
1
,
,
,
Podstawian
ie:
X
Y
b
X
ac
a
Y
1
1
Z
2
Z
2
1
0
0
1
2
0
;
;
c
a
b
a