Postać analityczna

modelu

Modele liniowe

Modele nieliniowe

Modele sprowadzalne

do liniowych

Modele niesprowadzalne

do liniowych

Modele nieliniowe

względem parametrów

Modele liniowe

względem parametrów

Modele liniowe

względem parametrów

• Wielomiany
• Funkcje hiperboliczne
• Funkcje logarytmiczne
• ...

Modele nieliniowe

względem parametrów

• Funkcje wykładnicze
• Funkcje potęgowe
• Funkcje Törnquista
• Funkcje logistyczne
• ...

Wielomiany

Funkcja

kwadratowa

2

2

1

0

X

X

Y

















– poziom zmiennej Y przy wartości X=0

Funkcja kwadratowa

Uliniowienie:

Podstawienie Z=X

2

2

2

1

0

X

X

Y













Z

Funkcja hiperboliczna

0

1





0

1





0

1

1

0







X

X

Y









– poziom zmiennej Y przy wartości

X dążącej do nieskończoności

Funkcja hiperboliczna

Uliniowienie:

Podstawienie Z=1/X

X

Y

1

1

0









Z

Funkcja logarytmiczna

-6

-4

-2



2

4

6



1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

ln(X)

1

0







X

Y





0

1





0

1









– poziom zmiennej Y przy wartości

X = 1

Funkcja logarytmiczna

Uliniowienie:

Podstawienie

Z=ln(X)

)

ln(

1

0

X

Y









Z

Funkcja wykładnicza





– poziom zmiennej Y przy wartości

X=0



1

– stopa wzrostu; wzrost wartości

zmiennej objaśniającej X o
jednostkę powoduje zmianę
poziomu zmiennej objaśnianej Y o




x100%



5

1

15

2

25

3



1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

,

1

0

0

1















X

e

Y

Funkcja wykładnicza

Uliniowienie:
Obustronne

logarytmowanie

)

ln(

)

ln(

1

0

X

e

Y









X

e

Y

1

ln

ln

)

ln(

0









X

Y

1

0

ln

)

ln(









Funkcja wykładnicza

Podstawian

ie:

1

1

0

0

),

ln(

),

ln(













 Y

W

X

Y

1

0

ln

)

ln(











W

0



1



1

1

α

0

0









e

Funkcja potęgowa





– poziom zmiennej Y przy wartości

X=1



1

– elastyczność funkcji; procentowa

zmiana zmiennej objaśnianej Y
spowodowana procentową zmianą
zmiennej objaśniającej X o 1%



2

4

6

8

1

12

14

16



1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

 1 1

 

0

,

0

0

1







X

X

Y







Funkcja potęgowa

Uliniowienie:
Obustronne

logarytmowanie

)

ln(

)

ln(

1

0





X

Y





)

ln(

)

ln(

)

ln(

1

0





X

Y





)

ln(

)

ln(

)

ln(

1

0

X

Y











Funkcja potęgowa

Podstawian

ie:

)

ln(

),

ln(

),

ln(

0

0

X

Z

Y

W











)

ln(

ln

)

ln(

1

0

X

Y











W

0



1



1

1

α

0

0









e

Z

Funkcje Törnquista

Funkcje Törnquista – funkcje opisujące

zależność wydatków na pewne dobra
(Y) od dochodów (X)

Wyróżnia się trzy funkcje Törnquista w

zależności od rodzaju dóbr:

• funkcja I rodzaju – dla dóbr

podstawowych

• funkcja II rodzaju – dla dóbr wyższego

rzędu

• funkcja III rodzaju – dla dóbr luksusowych

Funkcja Törnquista I

rodzaju



1

2

3

4

5

6

a

0

,

0;

X









b

a

X

b

aX

Y

a– poziom nasycenia, wraz ze wzrostem

zmiennej X, poziom Y zbliża się do poziomu a

Funkcja Törnquista I

rodzaju

Uliniowienie:
Odwrotność

aX

X

b

Y





1

aX

X

aX

b

Y





1

a

X

a

b

Y

1

1

1







Funkcja Törnquista I

rodzaju

a

X

a

b

Y

1

1

1







X

Z

a

b

a

Y

W

1

,

,

1

,

1

1

0













Podstawian

ie:

W

1



Z

0



0

1

0

;

1











b

a

Funkcja Törnquista II

rodzaju



1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 11

12 13 14

15 16

a

c

0

,

,

0;

X

)

(











c

b

a

X

b

c

X

a

Y

a– poziom nasycenia, wraz ze wzrostem

zmiennej X, poziom Y zbliża się do poziomu a

c – poziom dochodów, od którego pojawiają się

wydatki na dobro wyższego rzędu

Funkcja Törnquista II

rodzaju

Uliniowien

ie:

X

b

c

X

a

Y







)

(

ac

aX

X

b

Y





 )

(

ac

aX

YX

Yb







Y

ac

aX

YX







X

Y

b

X

ac

a

Y







1

Funkcja Törnquista II

rodzaju

X

Y

Z

X

Z

b

ac

a















2

1

2

1

0

;

1

,

,

,







Podstawian

ie:

X

Y

b

X

ac

a

Y







1

1

Z

2

Z

2





1





0



0

1

2

0

;

;

















c

a

b

a