Zadanie 1.
Ciąg 
, gdzie 
, jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wyznacz największą wartość funkcji 
.

Zadanie 2.

W ciągu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych równa się 44, a suma pozostałych wynosi 33. Znajdź wyraz środkowy i liczbę wyrazów tego ciągu.

Zadanie 3.

Ciąg 
 jest geometryczny, a ciągi 
 i 
 są arytmetyczne. Oblicz 
.

Zadanie 4.

Ciąg 
 dany jest wzorem 
, dla 
.

• Oblicz sumę 
  .

• Ustalmy 
  . Dla jakich 
   liczby 
   są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Zadanie 5.
Suma 
 początkowych wyrazów ciągu 
 dla każdego 
 określona jest wzorem 
.

• Wykaż, że ciąg 
   jest ciągiem arytmetycznym.

• Wykaż, że jeżeli suma 
   początkowych wyrazów ciągu dla każdego 
   określona jest wzorem 
  , to ciąg ten nie jest arytmetyczny.

• Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciągu 
  , aby kwadrat środkowego wyrazu był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.

Zadanie 6.
W trójkącie dwa boki mają długość 3 cm i 4 cm. Długość trzeciego boku jest większa od długości dwóch pozostałych boków. Długości wysokości w tym trójkącie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz pole tego trójkąta oraz długości promieni okręgów: wpisanego w ten trójkąt i opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 7.
Iloczyn pierwszego i szóstego wyrazu malejącego ciągu arytmetycznego o wyrazach całkowitych jest równy 100. Przy dzieleniu wyrazu drugiego przez wyraz szósty otrzymujemy 3 i resztę 2. Oblicz, o ile jest mniejsza suma dwustu początkowych wyrazów o numerach parzystych od sumy dwustu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

Zadanie 8.
Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116. Oblicz pole tego trapezu, jeśli długości ramienia i podstaw trapezu są (w podanej kolejności) trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu wynosi 41.
Zadanie 9.

Udowodnij, że liczba 
 jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 10.
Udowodnij, że jeżeli cztery liczby dodatnie 
 i 
 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to 
.

Zadanie 11.
Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 
. Największy kąt ma miarę 
.

• Ile boków ma ten wielokąt?

• Ile ma przekątnych?

Zadanie 12.
Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.

Zadanie 13.
Niech 
. Oblicz sumę 12 początkowych wyrazów ciągu 
.

Zadanie 14.
Kolejne cyfry dodatniej liczby trzycyfrowej tworzą ciąg geometryczny. Suma cyfr jedności i dziesiątek jest o jeden większa od cyfry setek. Jeżeli od szukanej liczby odejmiemy liczbę złożoną z tych samych cyfr, lecz napisanych w odwrotnej kolejności to otrzymamy 495. Znajdź tę liczbę.

Zadanie 15.
Wykaż, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego zachodzi równość 
, gdzie 
 oznacza sumę 
 początkowych wyrazów ciągu.

Zadanie 16.
Ciągi 
 i 
 są ciągami geometrycznymi o wyrazach dodatnich, a ciąg 
 jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz 
.

Zadanie 17.
Ciąg arytmetyczny 
 jest określony wzorem 
 dla 
.

• Sprawdź, którym wyrazem ciągu 
   jest liczba 
  .

• Wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu 
   są wyrazy będące liczbami całkowitymi. Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów.

Zadanie 18.
Udowodnij, że jeżeli liczby 
, gdzie 
, tworzą ciąg arytmetyczny i żadna z nich nie jest zerem, to

Zadanie 19.
Udowodnić, że w dowolnym trójkącie prostokątnym, w którym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy różnicy ciągu długości jego boków.

Zadanie 20.

Liczby 
, 
 i 
 tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te wartości 
, dla których ciąg ten jest rosnący.

Zadanie 21.
Ciąg arytmetyczny składa się z szesnastu wyrazów. Suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciągu.


Bonus 1.
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 3, a suma sześcianów wszystkich jego wyrazów jest równa 
. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu i jego iloraz.

Bonus 2.

W trójkąt równoboczny o boku długości 
 wpisano koło, w które następnie wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kół.

Bonus 3.

Wyrazy 
 pewnego nieskończonego ciągu 
 spełniają warunki 
, 
. Wiedząc, że nieskończony ciąg 
 określony wzorem 
 jest ciągiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu 
.

Bonus 4.
Dany jest ciąg 
 o wyrazie ogólnym 
.

Udowodnij, że ciąg 
 jest ciągiem geometrycznym.

Wyznacz te wartości parametru 
, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu 
. Oblicz tę sumę.

Wyznacz te wartości parametru 
, dla których ciąg 
 jest malejący.

Bonus 5.

Wyznacz te wartości 
, dla których istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego

1

Witek

---