1. Wstęp teoretyczny.

Rozkład normalny odzwierciedla sposób w jaki rozkładają się rezultaty wielokrotnego i niezależnego powtarzania doświadczenia dając możliwość wyznaczenia najbardziej zbliżonego wyniku do wartości rzeczywistej i najlepsze oszacowanie błędu tego wyniku.

Rozkład normalny ma zastosowanie jedynie do doświadczeń, w których:

1. prawdopodobieństwo uzyskana określonej wartość wyniku jest tym większe im wynik ten jest bliższy wartości średniej arytmetycznej wszystkich wyników;

2. prawdopodobieństwo uzyskania wyniku zawyżonego w stosunku do wartości rzeczywistej jest równe prawdopodobieństwu uzyskania wyniku zaniżonego.

Reprezentację rozkładu normalnego o charakterze dyskretnym otrzymujemy poprzez podzielenie zakresu pomiarowego na przedziały P o niewielkiej szerokości
Δx i przyporządkowanie każdemu P ilości n pomiarów z serii, które mieszczą się w jego zakresie.

Prowadzone doświadczenie bezpośredniego pomiaru oporu przeszło 200 oporników o zbliżonej rezystancji będzie miało za cel otrzymanie eksperymentalnego rozkładu Gaussa, a na jego podstawie wyznaczenie odpowiedniego rozkładu ciągłego i obliczenie parametrów

i
tego rozkładu.

W celu ułatwienia otrzymania docelowej krzywej rozkładu ciągłego skorzystamy z zależności Simpsona wiążącej trzy kolejne punkty pomiarowe należące do krzywej:

(1)
.

Wartością najbardziej zbliżoną do rzeczywistej jest wartość średnia, która dla wyników
całej serii n pomiarów jest równa:

(2)
.

Na ciągłym wykresie rozkładu wartość średnia to wartość pomiaru dla najwyżej położonego punktu. (patrz rys.1)

Za najlepiej wyznaczony błąd pomiarowy dla danej serii pomiarowej uchodzi średni błąd kwadratowy czyli odchylenie standardowe δ określające rozmycie rozkładu wokół
i wyraża się jako:

(3)
.

Na ciągłym wykresie rozkładu odchylenie standardowe wyznacza położenie punktów przegięć krzywej rozkładu ciągłego. (patrz wykres 1)

Reprezentacja ciągła rozkładu to funkcja w postaci:

(4)
.

Przyjmując, że
to wtedy wartość
odpowiada prawdopodobieństwu, że dowolny wynik z serii znajdzie się w przedziale
. Przedział
zwany jest przedziałem ufności, który uznaje się za optymalny dla
ponieważ w
krzywa rozkładu jest wypukła i wtedy
.

2. Tabela pomiarów

Indeks (j)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Przedział Pj	<155Ω;155,5Ω)	<155,5Ω;156Ω)	<156Ω;156,5Ω)	<156,5Ω;157Ω)	<157Ω;157,5Ω)	<157,5Ω;158Ω)	<158Ω;158,5Ω)	<158,5Ω;159Ω)	<159Ω;159,5Ω)	<159,5Ω;160Ω)	<160Ω;160,5Ω)	<160,5Ω;161Ω)	<161Ω;161,5Ω)	<161,5Ω;162Ω)	<162Ω;162,5Ω)	<162,5Ω;163Ω)	<163Ω;163,5Ω)	<163,5Ω;164Ω)	<164Ω;164,5Ω)	<164,5Ω;165Ω)
Ilość wyników (nj)	0	1	1	4	4	12	25	22	25	16	14	10	3	6	6	3	1	1	2	0

3. Wyznaczanie parametru
.

- ze wzoru:

- z wykresu:

Wartość odczytana to ⅓ przedziału 8 czyli:

4. Wyznaczanie parametru σ.

- ze wzoru:

- z wykresu :

Środek przedziału 5 jako
i środek przedziału 11 jako
.

- poprzez analizę nachylenia wykresu odpowiednio dobranej funkcji liniowej:

Logarytmując funkcję rozkładu ciągłego otrzymujemy:

Niech:

Przyjmując, że krzywa rozkładu to f(x), wówczas sporządzając wykres zależności
od
jesteśmy w stanie odczytać jego nachylenie
. Zatem obliczymy stąd σ.

Założenie: Dla uproszczenia przyjęto:
159,29Ω.

Wyznaczamy wartości funkcji u tylko dla wartości x odpowiadającym środkom przedziałów P. Przebieg i rezultaty operacji reprezentowane są przez wykres prostej empirycznej.

wnioskujemy, że
zatem:

1,49Ω

5. Obliczenie bezwzględnej i względnej ilości rezystorów, które znalazły się w przedziałach:

a)

Zakres ten obejmuje przedziały 6 do 10, zatem
,
.

Zakres wyznaczany przez szerokość tych przedziałów jest zbyt wielki. Gdyby więc przyjąć przedziały 7 do 9 to
,a po uśrednieniu:
87 ,
(teoret. 50%)

b)

Zakres ten obejmuje przedziały 5 do11, zatem
,
.

Zakres wyznaczany przez szerokość tych przedziałów jest zbyt wielki. Gdyby więc przyjąć przedziały 6 do 10 to
a po uśrednieniu:
113 ,
(teoret. 68%)

c)

Zakres ten obejmuje przedziały 2 do14, zatem
,
(teoret. 95%)

d)

Zakres ten obejmuje przedziały (-1) do17, zatem
,
(teoret. 99,7%)

6. Wnioski:

Otrzymane wartość pomiaru oporu:

Niesymetryczność histogramu wskazuje na występowanie nieco większej ilości oporów większych aniżeli mniejszych. Może to być spowodowane błędami pomiarowym,i albo też jest skutkiem procesu technologicznego w jakim wytwarzane są mierzone opory.

Wartość średnia wyznaczana zarówno graficznie jak i obliczeniowo różniła się o minimalny rząd wielkości. Nieco większe rozbieżności pojawiły się przy wyznaczaniu odchylenia standardowego, a wynikają one bezpośrednio z niesymetrycznego rozrzutu wyników, który w znacznym stopniu wpływa na „zawyżenie” wartości obliczanego bezpośrednio ze wzoru średniego błędu kwadratowego.

Wykres 1: Tak w reprezentacji ciągłej rozkładu normalnego wyznacza się wartość średnią i odchylenie standardowe.

---