30. Stosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego.

1. Przypomnij sobie:

1. Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta (wzory maturalne):

1. 
   

2. 
   dla
   , k - całkowite

3. 
   dla
   , k - całkowite

4. 
   dla
   , k - całkowite

2. Ponadto z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym (a dla dowolnego kąta α ze wzorów rekurencyjnych dla
   patrz wzory maturalne) mamy:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

2. Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i otwartych).

Przykład 1.

Zbadaj, czy istnieje kąt ostry α, gdy:

1. 
   i
   .

2. 
   i
   .

Rozwiązanie:

a. Korzystamy ze związku I.1.a. Sprawdzamy:

, czyli nie istnieje kąt ostry α spełniający podane warunki.

b. Korzystamy ze związku I.1.d. Sprawdzamy:

, czyli istnieje kąt ostry α spełniający podane warunki.

Odpowiedź: Nie istnieje kąt ostry α, dla którego
i
. Natomiast istnieje kąt ostry α, dla którego
i
.

Przykład 2.

Wykaż, że dla kąta ostrego α równanie jest tożsamością:

a.
,

b.
.

Rozwiązanie:

Sprawdzając, czy dane równanie jest tożsamością, przekształcenia rozpoczynamy zwykle od strony bardziej rozbudowanej, skomplikowanej. W obu podanych przypadkach będzie to strona lewa.

a.

Ponieważ α jest kątem ostrym, to
i w związku z tym wyrażenia po lewej i prawej stronie tego równania mają tę samą dziedzinę.

Dla kąta ostrego α podane równanie jest tożsamością.

b.

Dla kąta ostrego α wyrażenia z mianowników są różne od zera, czyli wszystkie występujące w równaniu wyrażenia mają sens liczbowy.

Równanie to jest tożsamością.

Odpowiedź: Oba równania są tożsamościami.

Przykład 3.

Liczba
jest równa:

A.
, B.
, C.
, D.
.

Rozwiązanie:

Wyłączamy wspólny czynnik poza nawias a następnie korzystamy z zależności I.1.a.:

Prawidłowa odpowiedź to B.

Przykład 4.

Wartość wyrażenia
jest równa:

A. 0, B. 1, C. 2, D. 3.

Rozwiązanie:

Korzystając z zależności I.2. otrzymujemy:

Uwzględniając zależności I.1.d. oraz I.1.a. możemy zapisać dalej:

Czyli prawidłowa odpowiedź to C.

Przykład 5.

Liczba
jest:

A. niewymierna, B. równa 1, C. mniejsza od 0,9, D. większa od 1.

Rozwiązanie:

Z tożsamości I.1.a. mamy
.

Odpowiedź B.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczba
jest równa:

A.
, B.
, C.
, D. 0.

Zadanie 2. (1 pkt)

Wartość wyrażenia
dla dowolnego kąta ostrego α jest równa:

A.
, B.
, C.
, D. 1-
.

Zadanie 3. (1 pkt)

Wartość wyrażenia
jest równa:

A. 1, B.
, C.
, D. 2.

Zadanie 4. (2 pkt)

Doprowadź do najprostszej postaci następujące wyrażenia:

a.
,

b.
.

Kurs e-learningowy

Matematyka - lekcja 30

Opracowanie:

Piotr Kaźmierczyk

Ze wzoru I.1.a.

Ze wzoru skróconego mnożenia

mnożymy

Sprowadzamy do wspólnego mianownika

Korzystamy ze wzoru I.1.a.

---