Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta zachodzą następujące zależności:

sin^2ၡ + cos^2ၡ = 1

tgၡ ^. ctgၡ = 1

^tg^ၡ^=

^ctg^ၡ^=

Zadanie 1.

Wiedząc, że sin α = 4/5 i α jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta:

Rozwiązanie:

Dane:	Obliczyć:
α - kąt ostry w  trójkącie       prostokątnym

 

Wartość funkcji cosinus możemy obliczyć korzystając z jedynki trygonometrycznej

Wartości funkcji tangens i cotangens obliczymy korzystając ze wzorów:

Zadanie 2.

Wiedząc, że tg α = -5 i 90⁰ < α < 180⁰, oblicz sin α i cos α.

Rozwiązanie: Korzystamy z tożsamości : tg α =

= -5, więc sin α = -5cos α

Korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy

(-5cos α )² + cos² α = 1

25cos²α + cos² α = 1

26 cos² α = 1 /:26

cos² α =

cos α =
lub cos α = -

Usuwając niewymierność z mianownika otrzymujemy

cos α =
lub cos α = -

Z warunku 90⁰ < α < 180⁰ wynika, że cos α < 0, więc cos α = -
.

Stąd sin α = -5 ⋅ (-
) =
.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania: 1, 2, 3 str. 78 z podręcznika.