Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Dla każdego trójkąta prostokątnego można zapisać odpowiednie stosunki długości jego boków. Zależności te nie zależą od długości boków trójkąta, lecz od miary jego kątów ostrych.

β α, β- kąty ostre w trójkącie prostokątnym

a c a - prostokątna przeciwległa kątowi

α b - przyprostokątna przeciwległa kątowi

c - przeciwprostokątna

b

Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej.

sin α =

Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

cos α =

Tangensem kata ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej.

tg α =

Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej.

ctg α =

W ten sposób określone zależności są funkcjami. Funkcje tego typu nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

Przykład 1

Oblicz sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów α, β β

• 5

α

4

Rozwiązanie

a = 3 b = 4 c = 5

sin α =
⇒ sin α =
sin β =
⇒ sin β =

cos α =
⇒ cos α =
cos β =
⇒ cos β =

tg α =
⇒ tg α =
tg β =
⇒ tg β =

ctg α =
⇒ ctg α =
ctg β =
⇒ ctg β =

Korzystając z funkcji trygonometrycznych, możemy obliczać długości odcinków i miary kątów w różnych figurach geometrycznych.

Przykład 2 (zad. 4 str. 266)

Oblicz sin α i cos β

a)

2

3

2 2

α β

2

Rozwiązanie

1. Sinus kąta α to w naszym trapezie stosunek długości wysokości do długości ramienia

sin α =

Cosinus kąta β to stosunek długości krótszej podstawy do długości przekątnej kwadratu, jaki powstał po narysowaniu wysokości. Długość przekątnej obliczamy ze wzoru d = a
gdzie a jest długością boku kwadratu. Ponieważ a = 2, więc d = 2
. Stąd

cos β =

Po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy cos β =

cos β =

cos β =

Przykład 3

Oblicz długości odcinków oznaczonych literami

a

d

5

δ

α

7

tg α =
cos δ =

Rozwiązanie

Rysunek 1

Ponieważ tg α to stosunek długości boku leżącego naprzeciwko kąta do długości boku leżącego przy kącie, więc tg α =
. Z treści zadania wiemy, że tg α =
. Zatem
=
.

Rozwiązując tę proporcję otrzymujemy 3a = 5 /: 3

a =

Rysunek 2

cos δ =
i cos δ =
, więc
=
. Stąd 5d = 28 /: 5. Zatem d =
.

Tak jak dla tangensa taki i dla pozostałych funkcji trygonometrycznych zostały wyznaczone ich wartości dla kątów od 0⁰ do 90⁰ i zebrane w tzw. tablicach trygonometrycznych (znajdują się one na końcu podręcznika). Wartości te można również wyznaczyć korzystając z kalkulatorów mając opcje wyznaczania funkcji trygonometrycznych.

Przykład 4 (zad. 19 str. 268)

Oblicz stosunek długości dłuższej przyprostokątnej do krótszej w trójkącie prostokątnym o kącie ostrym α, gdy α = 50⁰.

Rozwiązanie

Stosunek dłuższej przyprostokątnej do krótszej, to tg 50⁰

a c tg 50⁰ =

50⁰ Z tablic trygonometrycznych odczytujemy wartość tg 50⁰.

Wynosi on 1,1918. Podstawiając do powyższej równości

b otrzymujemy
= 1,1918. Jest to szukany przez nas stosunek.

Przykład 5

Oblicz długości odcinków oznaczonych literami.

(w tym zadaniu korzystamy z tablic trygonometrycznych)

Rozwiązanie

sin 38⁰ =

z tablic sin 38⁰ =0,6157

b 4

38⁰

0,6157 =
/ ⋅ 4

b = 4⋅ 0,6157

b = 2,4628