Wykład nr 3 - szk. ponadgimnazjalne

KRZYWE STOŻKOWE

Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch danych punktów F₁ i F₂ jest stała i większa od odległości tych punktów. Punkty F₁ i F₂ nazywamy ogniskami elipsy. Środek odcinka łączącego ogniska nazywamy środkiem elipsy.

Osią wielką elipsy nazywamy odcinek A₁A₂ (punkty A₁ i A₂ to punkty przecięcia prostej wyznaczonej przez ogniska z elipsą). Osią małą elipsy nazywamy odcinek B₁B₂ (punkty B₁ i B₂ to punkty przecięcia symetralnej osi wielkiej z elipsą). Odległość ognisk elipsy |F₁F₂| nazywamy ogniskową elipsy. Stosunek ogniskowej do długości osi wielkiej nazywamy mimośrodem elipsy:

Równaniem elipsy , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem początku układu współrzędnych, 2a jest osią wielką, 2b osią małą, gdzie a > 0 i b > 0, nazywamy równanie:

Elipsa jest zbiorem wszystkich punktów (x, y) spełniających to równanie.

Własność odbiciowa elipsy : każdy promień wystrzelony z jednego ogniska po odbiciu się od elipsy trafia w drugie ognisko.

Szczególnym przypadkiem elipsy jest znany Wam okrąg

Okręgiem nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od danego punktu S jest stała. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a stałą odległość punktów od środka promieniem okręgu.

Równaniem okręgu o środku S = (0, 0) i promieniu r > 0 nazywamy równanie

Lub, bardziej znana postać:

Parabolą o ognisku w punkcie F nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ogniska jest równa odległości od danej prostej k nieprzechodzącej przez punkt F. Prostą k nazywamy kierownicą paraboli.

Równaniem paraboli , której wierzchołkiem jest (0, 0) , kierownica jest równoległa do osi OY oraz ognisko leży na osi OX nazywamy równanie postaci y² = 2p · x gdzie |p| jest odległością ogniska od kierownicy. Ognisko ma współrzędne
, a kierownica równanie
.

Własności odbiciowe paraboli:

 każdy promień "wpadający" do paraboli, prostopadły do kierownicy po odbiciu się od paraboli trafia w ognisko,

 promienie wychodzące z ogniska po odbiciu się od paraboli tworzą wiązkę równoległą.

Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których moduł (wartość bezwzględna) różnicy odległości od dwóch danych punktów F₁ i F₂ jest stały i mniejszy od |F₁F₂| . Punkty F₁ i F₂ nazywamy ogniskami hiperboli. Odległość między ogniskami hiperboli |F₁F₂| nazywamy ogniskową hiperboli. Punkty przecięcia hiperboli i prostej wyznaczonej przez ogniska nazywamy wierzchołkami hiperboli. Odcinek A₁A₂ o końcach w wierzchołkach nazywamy osią rzeczywistą hiperboli. Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek ogniskowej do długości osi rzeczywistej:

Równaniem hiperboli , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem układu współrzędnych, oś rzeczywista ma długość 2a i ogniskowa jest równa 2c nazywamy równanie:

gdzie b jest taką liczbą dodatnią, że c² = a² + b² .

Asymptotami hiperboli , której ogniska leżą na osi OX symetrycznie względem układu współrzędnych, oś rzeczywista ma długość 2a i ogniskowa jest równa 2c nazywamy proste o równaniach:

i

gdzie b jest taką liczbą dodatnią, że c² = a² + b² .

 

 Zadania:

1. Napisz równanie elipsy, której oś duża jest równa 20, a mimośród wynosi 0,8.

2. Sprawdź, które z punktów :
   należą do elipsy
   .

3. W danej elipsie
   znajdź połowę wielkiej osi
   , połowę małej osi
   , odległość ogniskową
   oraz mimośród.

4. Napisz równanie elipsy, która ma ogniska w punktach (-3,0) i (3,0) i zawiera punkt (4,1).

5. Napisać równanie stycznej do elipsy
   w punkcie o odciętej
   .

6. Dana jest elipsa
   . Znajdź równanie stycznej do elipsy, poprowadzonej równolegle do prostej
   .

7. Dobierz tak wartość współczynnika
   , aby prosta
   była styczna do elipsy
   , a następnie znajdź odległość środka elipsy od tej stycznej.

8. Napisz równanie okręgu, którego średnica jest wspólną cięciwą elipsy
   i paraboli
   .

9. Sprawdź, które z punktów
   należą do hiperboli
   .

10. Znajdź połowę osi rzeczywistej, asymptoty, ogniska i mimośród hiperboli
    .

11. Napisz równanie hiperboli , mając dane ogniska
    i połowę osi rzeczywistej
    .

12. Napisz równanie hiperboli o ogniskach w punktach (-10,0), (10,0), która przechodzi przez punkt
    .

13. Napisz równanie hiperboli, która ma asymptoty
    i przechodzi przez punkt (10,-3).

14. Znajdź równanie stycznej do hiperboli
    równoległej do prostej
    .

15. Podaj współrzędne ogniska oraz równanie kierownicy dla parabol o równaniach:
    .

16. Napisz równanie stycznej do paraboli
    w punkcie o rzędnej równej 3.

17. Znajdź równania stycznych do paraboli
    w punktach jej przecięcia z okręgiem
    

 

---