SNy: Biotechnologia
Krzywe stożkowe – Algebra
z geometrią analityczną – wykłady
notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia
na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej
Autor:
Mateusz Jędrzejewski
mateusz.jedrzejewski@one.pl
www.jedrzejewski.one.pl
otatka jest częścią projektu SNy (Studenckie Notatki
Cyfrowe). Notatki są samodzielnie sporządzane
i opracowywane przez studentów Politechniki. Udostępniane
są w Internecie. Każdy możne z nich korzystać dowoli
w celach edukacyjnych.
waga na błędy! Mimo staranności jaką włożyli autorzy
w opracowanie tej notatki mogą zdarzyć się błędy.
Każdy więc korzysta z tych materiałów na własną
odpowiedzialność. Wszelkie zauważone błędy proszę
zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogę elektroniczną).
śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.
Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)
Szczegółowe informacje o notatce
Nazwa pliku: e-notatka - krzywe stozkowe - wyklady.pdf
Nazwa kursu: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w)
Prowadzący kurs: dr Lidia Janicka
Semestr/rok: 06z (rok 1, I semestr)
Kierunek: Biotechnologia
Wydział: Wydział Chemiczny
Uczelnia: Politechnika Wrocławska
Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski
Status: Notatka jest w trakcie tworzenia
N
U
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 2
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
Krzywe stożkowe – wstęp
22.12.2006 r.
Stożek
– powierzchnia zakreślona podczas obrotu jednej prostej (zwanej TWORZĄCĄ) wokół
innej prostej (zwanej OSIĄ OBROTU) przecinającej tworzącą pod kątem
( )
2
,
0
Π
∈
α
.
Krzywa stożkowa
– krzywa powstała w wyniku przecięcia stożka płaszczyzną (znanej TNĄCĄ)
nieprzechodzącą przez jego wierzchołek.
rys. 1. – rodzaje krzywych stożkowych
http://pl.wikipedia.org/wiki/Grafika:Krzywe_stożkowe.png
Rodzaje krzywych stożkowych
w zależności od kąta
β
(pomiędzy osią stożka a płaszczyzną tnącą):
−
okrąg
dla
2
Π
=
β
, tj. płaszczyzna tnąc jest prostopadła do osi stożka,
−
elipsa
dla
2
Π
<
<
β
α
,
−
parabola
dla
α
β
=
, tj. płaszczyzna tnąc jest równoległa do tworzącej stożka,
−
hiperbola
dla
α
β
<
≤
0
.
Krzywe stożkowe są płaskie
, tj. każda z nich mieści się na jednej płaszczyźnie.
OKRĄG
Okrąg to zbiór takich punktów
)
,
(
y
x
P
płaszczyzny, że ich odległość
od ustalonego punktu
)
,
(
0
0
0
y
x
P
jest stała.
r
P
P
o
=
z odległości dwóch punktów płaszczyzny:
r
y
y
x
x
=
−
+
−
2
0
2
0
)
(
)
(
wynika równie okręgu:
2
2
0
2
0
)
(
)
(
r
y
y
x
x
=
−
+
−
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 3
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
STYCZNA DO OKRĄGU
Styczna do okręgu to prosta, która leży z okręgiem w jednej płaszczyźnie i ma z nim
dokładnie jednej punkt wspólny.
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
=
⇔
⊥
−
−
=
−
−
=
∈
P
P
P
P
P
P
P
P
y
y
x
x
P
P
y
y
x
x
P
P
y
x
P
y
x
P
y
x
P
O
P
o
z własności iloczynu skalarnego wynik, że:
0
)
)(
(
)
)(
(
1
0
1
1
0
1
=
−
−
+
−
−
y
y
y
y
x
x
x
x
z tego, że punkt
1
P
należy do okręgu:
2
2
0
1
2
0
1
)
(
)
(
r
y
y
x
x
=
−
+
−
zestawiając te równania:
2
0
0
1
0
0
1
2
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
2
2
0
1
0
0
1
2
0
1
0
0
1
2
2
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
1
1
2
2
0
1
2
0
1
1
0
1
1
0
1
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
0
)
(
)
(
0
)
)(
(
)
)(
(
r
y
y
y
y
x
x
x
x
r
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
r
y
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
r
y
y
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
r
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
=
−
−
+
−
−
=
−
−
−
+
−
−
−
=
+
−
−
+
+
−
−
=
+
−
+
+
−
=
+
−
−
+
+
−
−
+
=
−
+
−
=
−
−
+
−
−
Styczna do okręgu zawsze jest prostopadła do promienia tego okręgu.
zad. 1.
Znaleźć równanie okręgu o środku
)
2
,
1
(
0
P
przechodzącym przez punkt
)
5
,
3
(
1
P
.
(
) (
)
( )
13
)
2
(
)
1
(
13
13
3
2
)
2
5
(
)
1
3
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
2
=
−
+
−
=
=
+
=
−
+
−
=
=
y
x
P
P
r
zad. 2.
Wyznaczyć współrzędne środka i promienie okręgu o równaniu
0
8
4
2
2
=
+
+
−
y
y
x
x
.
5
2
20
)
4
,
2
(
20
)
4
(
)
2
(
2
)
(
bo
0
16
)
4
(
4
)
2
(
0
8
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
+
+
−
+
−
=
−
=
−
+
+
−
−
=
+
+
−
r
S
y
x
b
ab
a
b
a
y
x
y
y
x
x
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 4
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
zad. 3.
Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkty
)
5
,
2
(
P
oraz
)
3
,
1
(
−
Q
wiedząc,
że środek tego okręgu leży na osi Oy .
Szukamy punktu
)
,
0
(
0
y
S
takiego, że:
( )
16
65
4
19
2
4
19
0
2
0
2
2
0
2
4
19
4
19
0
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
29
10
29
10
)
5
(
)
2
0
(
)
,
0
(
19
4
10
6
29
10
10
6
29
10
9
6
1
25
10
4
)
3
(
)
1
0
(
)
5
(
)
2
0
(
=
+
⋅
−
=
+
−
=
⇒
−
+
−
=
=
⇒
=
⇒
−
=
−
⇒
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
+
=
+
−
+
−
+
+
=
−
+
−
=
y
y
r
y
PS
r
S
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
QS
PS
więc:
16
65
2
4
19
2
2
2
4
19
2
)
(
)
(
)
0
(
=
−
+
=
−
+
−
y
x
r
y
x
zad. 4.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach:
)
0
,
0
(
A
)
5
,
3
(
B
)
3
,
1
(
−
C
I sposób
Wiadomo, że środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia
symetralnych boków tego trójkąta.
(
)
( )
AB
AB
a
a
ax
y
ax
y
y
x
x
a
y
a
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
AB
S
S
x
y
AB
AB
AB
symetralna
prosta
bo
1
gdzie
)
(
)
(
bo
:
symetralna
,
,
:
prosta
5
3
3
5
0
0
0
0
0
0
5
17
5
3
10
9
5
3
2
5
5
3
2
3
2
5
2
5
2
3
2
0
5
2
0
3
3
5
⊥
−
=
⇔
−
=
⋅
−
+
=
⇔
+
−
=
⇔
=
−
−
+
−
=
⇒
+
−
=
−
⇒
−
=
−
−
⇒
=
−
−
(
)
(
)
AC
AC
a
a
x
y
x
y
x
y
AC
S
S
x
y
AC
AB
AC
symetralna
prosta
bo
1
)
3
(
gdzie
:
symetralna
,
,
3
:
prosta
3
1
3
5
3
1
6
1
3
1
2
3
3
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
0
3
2
0
1
⊥
=
⇔
−
=
−
⋅
+
=
⇒
+
=
−
⇒
=
+
−
−
⇒
−
=
−
−
−
Środek okręgu to punkt przecięcia się symetralnych, więc:
(
)
49
425
2
7
16
2
7
13
49
425
2
49
256
49
169
2
2
7
16
2
7
13
7
16
7
13
7
16
7
13
3
5
7
13
3
1
14
26
3
5
3
1
15
26
15
14
3
5
3
1
5
17
5
3
3
5
3
1
3
5
3
1
5
17
5
3
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
,
=
−
+
−
=
⇒
+
=
⇒
−
+
−
=
=
⇒
=
=
+
⋅
=
=
⇒
+
=
=
⇒
+
=
+
−
=
+
⇒
+
=
+
−
=
y
x
r
r
AS
r
S
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
y
x
y
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 5
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
II sposób
Szukamy
)
,
(
0
0
y
x
S
oraz r takich, że punkty A , B , C spełniają równanie
2
2
0
2
0
)
(
)
(
r
y
y
x
x
=
−
+
−
, więc:
=
=
=
+
=
⇒
=
=
+
=
⇒
−
⋅
=
=
+
=
⇒
−
=
=
+
=
−
=
=
+
−
+
=
⇒
−
=
=
+
−
+
=
⇒
−
=
=
+
+
=
=
+
=
+
+
=
⇒
=
+
−
−
=
+
−
−
+
=
⇒
−
−
=
−
+
−
−
−
=
−
+
−
=
−
−
=
+
−
+
+
−
=
+
−
+
+
−
=
+
⇒
=
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
7
13
0
7
16
0
49
425
2
7
16
2
7
13
2
7
13
0
7
16
0
2
0
2
0
2
7
16
0
7
16
0
2
0
2
0
2
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
2
0
0
2
0
0
2
2
0
0
2
0
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
)
(
)
(
5
)
(
3
5
3
32
14
5
3
17
5
15
9
5
3
17
5
)
5
3
(
3
5
3
17
5
3
5
3
17
5
3
0
10
6
2
0
34
10
6
6
9
2
1
10
25
6
9
0
6
9
2
1
10
25
6
9
)
3
(
)
1
(
)
5
(
)
3
(
)
0
(
)
0
(
x
y
r
x
y
y
x
r
x
y
y
x
r
y
x
y
y
x
r
y
x
y
y
y
x
r
y
x
y
y
y
x
r
y
x
y
x
y
x
r
y
x
y
x
y
x
r
y
x
y
x
y
x
r
y
x
r
y
x
y
x
r
y
x
y
x
r
r
y
y
x
x
r
y
y
x
x
r
y
x
r
y
x
r
y
x
r
y
x
Ostatecznie równanie ma postać:
49
425
2
7
16
2
7
13
2
2
0
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
−
+
−
=
−
+
−
y
x
r
y
y
x
x
zad. 5.
Napisać równanie stycznej do okręgu
0
4
2
2
2
=
−
+
+
y
y
x
x
w punkcie
)
0
,
0
(
Q
oraz
w punkcie
)
3
,
3
(
−
W
.
2
1
)
2
,
1
(
5
5
)
2
(
)
1
(
2
)
(
bo
0
4
)
2
(
1
)
1
(
0
4
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
∧
−
=
⇒
−
=
=
−
+
+
+
−
=
−
=
−
−
+
−
+
=
−
+
+
y
x
S
r
y
x
b
ab
a
b
a
y
x
y
y
x
x
ogólne równanie stycznej:
2
0
0
1
0
0
1
)
)(
(
)
)(
(
r
y
y
y
y
x
x
x
x
=
−
−
+
−
−
dla punktu
)
0
,
0
(
Q
:
x
y
y
x
y
x
2
1
5
4
2
1
5
)
2
)(
2
0
(
)
1
)(
1
0
(
=
=
+
−
+
=
−
−
+
+
+
dla punktu
)
3
,
3
(
−
W
:
9
2
5
2
2
2
5
)
2
)(
2
3
(
)
1
)(
1
3
(
+
=
=
−
+
−
−
=
−
−
+
+
+
−
x
y
y
x
y
x
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 6
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
zad. 6.
Napisać równania prostych stycznych do okręgu
0
4
2
2
2
=
+
+
−
y
y
x
x
przechodzących
przez punkt
)
1
,
1
(
Q
.
Punkt Q leży na tym okręgu.
Równanie pęku prostych przechodzących przez
)
1
,
1
(
ma postać:
)
1
(
1
1
1
−
=
−
⇐
=
−
−
x
k
y
k
x
y
Szukamy takiego k , że prosta
)
1
(
1
−
=
−
x
k
y
ma dokładnie jeden punkt wspólny
z naszym okręgiem, czyli
0
=
∆
równania kwadratowego, więc:
=
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
=
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
⇒
=
+
+
−
−
=
−
0
)
1
(
4
)
1
(
2
1
)
1
(
0
)
1
)
1
(
(
4
)
1
)
1
(
(
2
1
)
1
(
0
4
2
)
1
(
1
2
2
2
2
2
2
k
kx
k
kx
x
x
x
k
y
x
k
x
k
x
x
x
k
y
y
y
x
x
x
k
y
wiadomo, że:
bc
ac
ab
c
b
a
c
b
a
2
2
2
)
(
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+
, więc:
5
2
5
2
2
2
3
2
4
2
3
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
4
5
5
5
6
6
6
2
6
1
9
)
1
)(
5
6
(
)
1
3
(
0
)
1
)(
5
6
(
4
)
1
3
(
4
0
)
1
)(
5
6
(
4
)
1
3
(
4
)
1
)(
5
6
(
4
)
2
6
2
(
0
5
6
)
2
6
2
(
)
1
(
0
5
6
)
2
6
2
(
)
1
(
1
)
1
(
0
4
4
4
2
2
2
1
2
1
)
1
(
−
=
∨
=
⇒
=
−
+
+
−
−
+
=
−
+
−
+
+
+
+
−
=
−
+
−
=
+
+
−
−
−
+
−
⇔
=
∆
+
+
−
−
−
+
−
=
+
+
−
−
−
+
−
=
∆
=
+
−
+
−
+
−
+
+
=
+
−
+
−
+
+
+
+
−
=
=
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
=
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
k
k
x
k
k
k
x
k
k
x
k
x
k
y
k
kx
k
kx
x
k
k
x
k
x
x
x
k
y
Styczne mają więc równania:
1
)
1
(
+
−
=
x
k
y
5
5
2
5
2
5
2
5
5
2
5
2
5
2
1
)
1
(
1
)
1
(
+
+
−
+
−
=
⇒
+
−
−
=
+
=
⇒
+
−
=
x
y
x
y
x
y
x
y
zad. 7.
Napisać równanie stycznej do okręgu
5
)
2
(
)
1
(
2
2
=
+
+
−
y
x
:
a)
równoległej do prostej
0
3
2
=
+
−
y
x
,
b)
prostopadłej do prostej
0
2
3
=
+
+
y
x
.
Rozwiania:
a) I sposób
Szukamy prostej
b
x
y
+
=
2
która ma dokładnie jeden punkt wspólny z naszym okręgiem
o równaniu
5
)
2
(
)
1
(
2
2
=
+
+
−
y
x
.
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 7
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
9
2
10
8
1
2
10
8
10
100
100
36
64
)
9
(
4
8
0
9
8
20
5
9
12
4
0
)
4
(
20
)
9
12
4
(
4
0
)
4
(
20
)
9
12
4
(
4
)
4
(
20
)
3
2
(
4
0
4
)
3
2
(
2
5
0
4
)
3
2
(
2
5
2
5
4
8
4
4
4
1
2
2
5
)
2
2
(
)
1
(
2
5
)
2
(
)
1
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
=
−
−
=
=
+
−
=
=
=
∆
⇒
=
+
=
−
⋅
−
=
∆
=
−
+
+
=
+
+
=
+
−
+
+
⇔
=
∆
+
−
+
+
=
+
−
+
=
∆
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
−
+
=
=
+
+
+
−
+
=
⇒
=
+
+
−
+
=
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x
b
x
b
b
x
b
x
b
x
y
b
x
bx
b
x
x
x
b
x
y
b
x
x
b
x
y
y
x
b
x
y
b
b
więc, odpowiedź to styczne o równaniach:
0
9
2
0
1
2
=
−
−
=
+
−
y
x
y
x
a) II sposób
Szukamy prostej
0
2
=
+
−
b
y
x
która jest odległa od środka okręgu o jego okręgu:
)
2
,
1
(
−
S
5
5
2
=
⇒
=
r
r
9
1
4
5
5
)
2
(
1
2
5
)
1
(
2
2
2
2
0
0
2
2
0
0
−
=
∨
=
⇒
+
=
+
−
−
⋅
=
⇒
−
+
+
−
=
+
+
+
=
b
b
b
b
b
y
x
r
B
A
C
By
Ax
d
więc, odpowiedź to styczne o równaniach:
0
9
2
0
1
2
=
−
−
=
+
−
y
x
y
x
b)
3
2
3
1
0
2
3
−
−
=
=
+
+
x
y
y
x
prosta prostopadła do niej ma więc ogólnie równanie:
0
3
3
1
bo
3
3
1
=
+
−
=
⇒
−
=
⋅
−
+
=
b
y
x
a
a
b
x
y
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 8
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
Szukamy takiego b dla którego prosta
0
3
=
+
−
b
y
x
jest odległa od środka okręgu
o jego promień:
)
2
,
1
(
−
S
5
5
2
=
⇒
=
r
r
50
5
50
5
5
50
10
)
2
(
1
3
5
)
1
(
3
3
2
2
0
0
2
2
0
0
−
−
=
∨
+
−
=
⇒
+
=
+
−
−
⋅
=
⇒
−
+
+
−
=
+
+
+
=
b
b
b
b
b
y
x
r
B
A
C
By
Ax
d
więc, odpowiedź to styczne o równaniach:
0
50
5
3
0
50
5
3
=
−
−
−
=
+
−
−
y
x
y
x
ELIPSA
Elipsa to zbiór punktów, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów
1
F
,
2
F
(zwanych OGNISKAMI ELIPSY) jest stała (równa a
2
).
W układzie współrzędnych, w którym oś Ox
przechodzi przez ogniska
1
F
,
2
F
a oś Oy jest
symetralną odcinka
2
1
F
F
równanie ma postać:
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
)
(
)
(
)
0
,
(
)
0
,
(
)
,
(
2
a
y
c
x
y
c
x
c
F
c
F
y
x
P
a
P
F
P
F
=
+
−
+
+
+
−
=
+
[
] [
]
(
)
[
] [
]
1
)
(
:
)
(
)
(
4
:
4
4
4
4
4
2
2
2
)
(
4
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
)
(
4
4
2
2
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
:
2
2
2
4
)
(
)
(
2
4
)
(
)
(
2
2
2
4
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
3
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
−
=
+
−
−
−
−
=
−
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+
−
⋅
+
+
+
−
−
−
=
+
−
⋅
+
+
−
−
−
=
+
−
+
+
−
−
−
=
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
=
+
−
+
+
+
+
−
+
+
+
c
a
y
a
x
c
a
a
c
a
a
y
a
c
a
x
c
a
y
a
x
a
a
x
c
c
x
c
y
y
x
c
y
x
a
c
y
x
a
y
c
y
cxy
x
y
y
c
c
x
c
x
c
cxy
x
c
x
c
cx
y
x
c
x
cx
x
c
x
c
y
y
x
c
y
x
a
c
y
x
a
y
c
cx
x
y
c
cx
x
c
y
x
a
y
c
x
y
c
x
c
y
x
a
y
c
x
y
c
x
c
y
x
a
y
c
x
y
c
x
a
y
c
x
y
c
x
y
c
cx
x
y
c
cx
x
a
y
c
x
y
c
x
y
c
x
y
c
x
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl sny@sny.one.pl
Strona 9
Notatka: Algebra z geometrią analityczną (MAP1022w) – wykłady.
Utworzona: 22.12.2006 17:04
Temat: Krzywe stożkowe – wstęp.
Zmodyfikowana: 23.12.2006 1:25
można przyjąć, że:
2
2
2
c
a
b
−
=
, wtedy równanie przyjmie postać:
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
ogólne równie elipsy ma postać
:
1
)
(
)
(
2
2
0
2
2
0
=
−
+
−
b
y
y
a
x
x
cdn.
Zagadnienia, które zostaną omówione na następnym wykładzie:
−
Równanie stycznej elipsy,
−
Równanie hiperboli,
−
Równania asymptot hiperboli,
−
Równania stycznej hiperboli,
−
Równanie paraboli,
−
Równania stycznej paraboli.
Można przynieść propozycje zadań do rozwiązania na tym wykładzie.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
krzywe stozkowe
Lista5 Geometria Analityczna R2 Krzywe stozkowe 2013 2014 b3
Lista5 Geometria Analityczna R2 Krzywe stozkowe 2013 2014 b3
KRZYWE STOŻKOWE
Krzywe stożkowe
krzywe stożkowe
KRZYWE STOŻKOWE
W19 kompleksonometria, wska«niki i krzywe miareczkowania kompleks i
Polaczenia wciskowe i stozkowe(1)
Instrukcja 7b Krzywe funkcyjne
Krzywe zwierciadło
1ćw współ filtracji na podst krzywej uziarnienia (materiały)
Krzywe Mandelbrota
00 01 05 Kolo zebate stozkowe male 1
Pomiary klnów i stożków
5 Krzywe 2 ego stopnia
KrzyweBeziera
więcej podobnych podstron