Z Wykład 15 03 2008 2


Dziś zajmiemy się rachunkiem różniczkowym funkcji wielu zmiennych. Ostatnio omówiliśmy pojęcie ciągłości funkcji. Teraz wykonamy taki przykład. Należy sprawdzić, czy funkcja nastepującej postaci jest ciągła:

0x01 graphic

I rozwiązujemy. Na samym początku należy zbadać, czy funkcja w punkcie granicznym (0, 0) ma skonczoną granicę funkcji. I druga rzecz, to sprawdzenie, czy granica będzie równa wartości funkcji. A zatem na początek sprawdzamy, czy istnieje taka granica:

0x01 graphic

Niech 0x01 graphic
. I liczymy dalej granicę podstawiając:

0x01 graphic

Stąd wynika wniosek, że granica nie istnieje. Funkcja f nie jest więc ciągła w punkcie (0, 0). Przytoczmy teraz takie twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie 0x01 graphic
(wielu zmiennych), to ciągłe są nastepujące funkcje:

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic
0x01 graphic
, gdzie k to kula.

I teraz kolejny temat, jakim się zajmiemy, to różniczkowanie funkcji wielu zmiennych.

Na początek taka definicja. Odwzorowanie 0x01 graphic
jest różniczkowalne w punkcie 0x01 graphic
wtedy, gdy istnieje odwzorowanie liniowe 0x01 graphic
takie, że:

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
. Istnieje taka uwaga. Warunek zadany w definicji różniczkowalności jest równoważny nastepującemu warunkowi:

0x01 graphic

Kolejna definicja. Odwzorowanie liniowe A nazywamy POCHODNĄ FUNKCJI f W PUNKCIE 0x01 graphic
, przy czym wprowadzamy nastepujące oznaczenia:

0x01 graphic
. I nastepna ważna definicja o pochodnej funkcji f w kierunku wektora 0x01 graphic
. Niech 0x01 graphic
, oraz 0x01 graphic
. POCHODNĄ FUNKCJI f W PUNKCIE 0x01 graphic
w kierunku wektora 0x01 graphic
nazywamy granicę 0x01 graphic
. Oto interpretacja geometryczna:

0x01 graphic

DEFINICJA - POCHODNA CZĄSTKOWA

Pochodną cząstkową funkcji f nazywamy szczególne przypadki pochodnej funkcji w kierunku wektora 0x01 graphic
, gdy wektory 0x01 graphic
pokrywają się z wersorami układu odniesienia. Inaczej: Pochodną cząstkową względem zmiennej 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
nazywamy (o ile istnieje) granicę:

0x01 graphic
, gdzie:

0x01 graphic
.

Dla pochodnych cząstkowych stosujemy odrębne oznaczenia postaci: 0x01 graphic
.

I teraz przytoczymy takie twierdzenie. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
, to mają miejsce następujące fakty:

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

I kolejne z twierdzeń. Niech 0x01 graphic
, oraz 0x01 graphic
. Jeżeli istnieje otoczenie U punktu 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
wszystkie pochodne cząstkowe 0x01 graphic
są ciągłe w U dla 0x01 graphic
, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
(C to funkcja ciągła). Na podstawie tych twierdzeń rozpatrzmy nastepujący przykład. Dana jest dwóch zmiennych postaci 0x01 graphic
. Należy obliczyć:

  1. Pochodną funkcji 0x01 graphic

  2. Obliczyć 0x01 graphic

  3. Znaleźć pochodną odwzorowania f'(x).

Oto rozwiązanie przykładu:

  1. 0x01 graphic
    I rozpatrzmy teraz granicę:

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic

  1. Przyjmijmy, że 0x01 graphic
    . Rozwiązujemy: 0x01 graphic
    .

Przyjmijmy, że 0x01 graphic
. Rozwiązujemy: 0x01 graphic

  1. 0x01 graphic
    .

Tu jednak należy dodać pewną uwagę, ze pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych obliczamy, jak pochodne funkcji jednej zmiennej traktując pozostałe zmienne jako parametry (stałe). A zatem:

0x01 graphic

Ptrzejdźmy teraz do definicji POCHODNYCH WYŻSZYCH RZĘDÓW. Niech 0x01 graphic
. Pochodną rzędu drugiego (cząstkową) nazywamy 0x01 graphic
. Rozumeimy je jako nałożenie na siebie dwóch pochodnych:

0x01 graphic

Pochodną cząstkową rzędu k nazywamy: 0x01 graphic
.

Rozpatrzmy taki przykład. Należy obliczyć pochodną drugiego rzędu funkcji 0x01 graphic
. Wynikiem będzie 6 pochodnych. A mianowicie:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

I na zakończenie wykładu takie twierdzenie. Jeśli istnieją ciągłe pochodne cząstkowe 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
, to ma miejsce równość: 0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Z Wykład 15.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
wyklad 15 5.03.2008, wyklady - dr krawczyk
Z Wykład 15.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Wykład 15 03 2008
Z Ćwiczenia 15.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Systemy bankowe wyklad z 29[1].03.2008 (poprawione), pliki zamawiane, edukacja
wyklad 4 13.03.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Ustrój organów ochrony prawnej
wyklad 5 28.03.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Wstęp do prawoznawstwa
Pytania 1-3 (15.03.2008)
wyklad 5 20.03.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Ustrój organów ochrony prawnej
wyklad 4 14.03.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Wstęp do prawoznawstwa
wyklad 6 27.03.2008, Administracja UŁ, Administracja I rok, Ustrój organów ochrony prawnej
Z Wykład 01.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Rachunek prawdopodobieństwa
Z Wykład 16.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Techniki Internetowe
Prawo 3 wykład 15. 03.2009, Prawo 3 wykład 15
Z Wykład 29.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Matematyka dyskretna i logika
PWiK - Wykład 14-03-2008, Budownictwo S1, Semestr IV, PWiK, Wykłady, PWiK 2

więcej podobnych podstron