Uzupełnienie ćwiczenia nr 45.

I. PODSTAWY TEORETYCZNE

Ruch jednostajnie zmienny to ruch, w którym ciało porusza się ze stałym przyśpieszeniem, skierowanym zgodnie z ruchem ciała.

1) Prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym

Prędkość - jest zmianą odległości w jednostce czasu.

Prędkość średnia jest różna od prędkości chwilowej. Prędkość chwilowa natomiast jest funkcją czasu i zmienia się podczas ruchu. Jeżeli prędkość ta wzrasta, to taki ruch nazywamy przyśpieszonym. Jeżeli maleje - opóźnionym. Jest ona równa:

Tak definiuje się pierwszą pochodną, więc:

Przyspieszenie - to tempo zmian prędkości.

W ruchu jednostajnie zmiennym prędkość zmienia się jednostajnie z czasem, czyli przyspieszenie:

jest stałe.

Gdy przyspieszenie zmienia się z czasem musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości Δv w bardzo krótkim czasie Δt (analogicznie do prędkości chwilowej). Odpowiada to pierwszej pochodnej v względem t.

Często chcemy znać zarówno położenie ciała i jego prędkość. Po przekształceniu wzoru na przyspieszenie, otrzymamy wzór na prędkość:

v = v₀ + at.

Natomiast do obliczenia położenia skorzystamy ze wzoru na prędkość średnią:

,

po przekształceniu:

.

Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od v₀ do v, więc prędkość średnia wynosi:

Łącząc oba wzory otrzymujemy:

x = x₀ + (1/2) (v₀ + v)t

gdzie:

za v możemy podstawić v₀ + at.

po uproszczeniach:

Prawa obowiązujące w ruchu jednostajnie zmiennym.

Zasady dynamiki Newtona.

Aby przewidzieć ruch pod wpływem siły musimy mieć "teorię". Czy teoria jest dobra czy nie można stwierdzić tylko poprzez doświadczenie.

Podstawowa teoria, która pozwala nam przewidywać ruch ciał, składa się z trzech równań, które nazywają się zasadami dynamiki Newtona.

I zasada dynamiki Newtona

Ciało pozostaje w stanie spoczynku lub w stanie stałej prędkości (zerowe przyspieszenie) gdy jest pozostawione samo sobie (działająca na nie siła wypadkowa jest równa zero).

a = 0, gdy F_wyp = 0

gdzie F_wyp jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało.

Równość a = 0, oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek tzn. ciało jest w spoczynku lub porusza się ze stałą co do wartości prędkością po linii prostej (stały kierunek).

Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym.

Każdy ruch musi być opisany względem pewnego układu odniesienia. Układy inercjalne są tak istotne bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa. Zazwyczaj przyjmuje się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych ale układ odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego.

Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (obserwatora), w którym jest mierzone więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania F = ma zmieniałaby się w zależności od przyspieszenia obserwatora.

Zauważmy, że pierwsza zasada nie wprowadza żadnego rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i poruszającymi się ze stałą prędkością. Każdy z tych stanów może być naturalnym stanem ciała gdy nie ma żadnych sił. Nie ma różnicy pomiędzy sytuacją gdy nie działa żadna siła i przypadkiem gdy wypadkowa wszystkich sił jest równa zeru.

II zasada dynamiki Newtona

Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało.

gdzie siła wypadkowa F_wyp to suma wszystkich sił działających na ciało.

Siła w drugiej zasadzie dynamiki jest siłą wypadkową (trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił).

III zasada dynamiki Newtona

Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie.

F_AB= -F_BA

Załóżmy, że mamy układ, który składa się z m_A i m_B. Wtedy jedynymi siłami będą siły oddziaływania między tymi ciałami np. grawitacyjne.

Trzecia zasada stwierdza, że w przypadku sił oddziaływania między dwoma ciałami

F_A = - F_B .

Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem to musi działać siła. Taką siłę nazywamy siłą tarcia.

Rozważmy np. klocek, do którego przykładamy "małą" siłę F tak, że klocek nie porusza się. Oznacza to, że sile F przeciwstawia się siła tarcia T. Mamy więc: T = -F. Zwiększamy stopniowo siłę F aż klocek zaczyna się poruszać. Im gładsza powierzchnia tym szybciej to nastąpi. Oznacza to, że siła tarcia zmienia się od wartości zero do pewnej wartości krytycznej w miarę wzrostu siły F. Oznaczmy tę krytyczną siłę T_s (s-statyczna). To jest maksymalna siła tarcia statycznego.

T_s (dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa empiryczne:

Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),

Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.

Stosunek siły T_s do nacisku F_N nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego μ_s

Mówimy tylko o wartościach tych sił bo są one do siebie prostopadłe. Jeżeli F jest większe od T_s to klocek poruszy się, ale będzie istniała siła tarcia T_k (k - kinetyczna) przeciwstawiająca się ruchowi.

Siła T_k spełnia trzy prawa empiryczne:

• Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),

• Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą,

• Nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni.

Istnieje odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego μ_k

Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii

Rozważmy przypadek gdy ciało porusza się pod wpływem niezrównoważonej siły. Najprostszy przypadek to stała siła czyli ruch ze stałym przyspieszeniem. Zakładamy, że kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa się z kierunkiem osi x. Dla stałego przyspieszenia mamy:

oraz

co w połączeniu daje

Wykonana praca jest równa

Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną.

Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.

W = E_k - E_ko

Gdy nie ma zmiany wartości prędkości to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie jest wykonywana praca. Z twierdzenia powyższego wynika, że jednostki pracy i energii są takie same.

Widzieliśmy, że gdy nie występuje tarcie to energia kinetyczna maleje a potem rośnie tak, że wraca do początkowej wartości w cyklu zamkniętym. W tej sytuacji (gdy działają siły zachowawcze) staje się celowe wprowadzenie pojęcia energii stanu lub energii potencjalnej E_p. Mówimy, że jeżeli energia kinetyczna układu zmieni się o wartość ΔE_k to tym samym zmienił się stan układu to energia potencjalna E_p (stanu) tego układu musi się zmienić o wartość równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwną co do znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru

ΔE_k + ΔE_p = 0

Innymi słowy, każda zmiana energii kinetycznej E_k jest równoważona przez równą co do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej E_p układu, tak że ich suma pozostaje przez cały czas stała

E_k + E_p =const.

Energia potencjalna przedstawia formę nagromadzonej energii, która może być całkowicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną. Nie można więc wiązać energii potencjalnej z siłą niezachowawczą, więc dla zachowawczej siły F

W = ΔE_k = - ΔE_p

Stąd

Możemy więc zapisać zależność między siłą i energią potencjalną

Trzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć ΔE_p a nie E_p samą. Ponieważ ΔE_p = E_pB - E_pA. Żeby znaleźć E_pB trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość E_pA

Punkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybierany jest tak, żeby E_p było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).

Całkowita energia mechaniczna układu, który nie wymienia energii z otoczeniem i w którym działają wyłącznie siły zachowawcze, pozostaje stała. Oznacza to, że siły wykazujące pracę w takim układzie przekształcają jedynie energię mechaniczną z jednej postaci w inną. Więc gdy działają tylko siły zachowawcze to:

W = ΔE_k = E_kB - E_kA

oraz

W = -ΔE_p = - (E_pB - E_pA)

to,

- (E_pB - E_pA) = E_kB - E_kA

czyli

E_kA + E_pA = E_kB + E_pB

Zasada ta mówi, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała (o ile nie działają inne siły).

II. OPIS PRZEPROWADZONEGO DOŚWIADCZENIA

Zakładam, że siła tarcia jest zaniedbywalnie mała ( F_T
0 ).

Rozważam siły działające na ciała:

1. F_m=Q - F_N = ma

2. F_M = F_N = Ma

Dodając te równania stronami otrzymuję:

Q = (M + m)a.

Stąd wyznaczam przyśpieszenie

Jest to teoretyczne przyśpieszenie z jakim porusza się ciało (1) po równi.

(przy założeniu, że tarcie jest zaniedbywalnie małe.)

Natomiast doświadczalnie przyśpieszenie można wyznaczyć korzystając ze wzoru na drogę:

Stąd wynika że przyśpieszenie doświadczalne jest równe:

Prędkość końcowa poruszających się mas jest równa:

v= a_d t

gdzie:

a_d - przyśpieszenie wyznaczone doświadczalnie

F_N

F_T

Q

M

F_N

m

(1)

(2)

---