Lista Rozkład normalny i twierdzenia graniczne

Zadanie 1. Zmienna losowa T ma rozkład normalny ze wartością oczekiwaną 0 i wariancją równą 1.

1. Znaleźć prawdopodobieństwo:
   

2. Wyznaczyć wartość t spełniającą warunek:

;

Zadanie 2. Zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 4 i wariancją 4. Znajdź prawdopodobieństwa:
,
,

Zadanie 3. Czas oczekiwania na pizzę w pewnym lokalu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej 20 minut i odchyleniu standardowym 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy czekali na pizzę od 10 do 50 minut?

Zadanie 4. Miesięczne wydatki na żywność w populacji rodzin Wrocławia mają rozkład N(630 zł, 200 zł). Czy wśród rodzin wrocławskich częściej spotyka się rodziny wydające miesięcznie poniżej 260 zł, czy rodziny wydające na żywność od 260 zł. do 520 zł.?

Zadanie 5. Liczba ocen niedostatecznych na egzaminie ze statystyki ma rozkład normalny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba niedostatecznych będzie od 5 do 8, jeżeli prawdopodobieństwo tego, że będzie ich mniej niż 4 jest równe 0,159, a odchylenie standardowe jest równe 3.

Zadanie 6. Czas oczekiwania do wyciągu narciarskiego w Szklarskiej Porębie w weekend jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
natomiast czas oczekiwania na wyciąg podczas weekendu w Zakopanem ma rozkład
.

1. Narysować oba rozkłady na jednym wykresie zaznaczając najważniejsze punkty

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wyciąg w Szklarskiej Porębie będziemy czekać której niż 30 min.?

3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania na wyciąg w Zakopanem zawierać się będzie w przedziale od 55 min do 70 min.?

4. Czy częściej spotyka się dni w których w kolejce do wyciągu w Szklarskiej Porębie czeka się krócej niż 25 min. czy też w Zakopanem dłużej niż 1,5 h?

5. Wyznaczyć i zinterpretować przedziały 3 σ dla obu zmiennych losowych

Zadanie 7. Wadliwość produkcji wynosi 0,03. Zmienną losową X jest liczba sztuk wadliwych wśród 500 losowo wybranych z bieżącej produkcji.

1. obliczyć i zinterpretować współczynnik zmienności tej zmiennej losowej.

2. obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba sztuk wadliwych będzie nie mniejsza niż 13.

3. obliczyć prawdopodobieństwo, że częstość występowania sztuk wadliwych będzie mniejsza niż 0,04.

Zadanie 8. W wyniku obserwacji zdolności kiełkowania nasion nowej odmiany pszenicy ustalono, że średnio 20 nasion na 100 nie kiełkuje. Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń dla próby 100 nasion:

1. w próbie wykiełkuje poniżej 84 nasion,

2. w próbie wykiełkuje od 80 do 88 nasion

Zadanie.9. Z badań wynika, że żywotność opony ma rozkład N(90000 km,10000 km). Zakupiono 5 opon. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ich łączna żywotność wyniesie więcej niż 400 000 km.

Zadanie.10. Z badań naukowych wynika, że czas efektywnego uczestnictwa w wykładzie bez przerwy jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 40 min i odchyleniem standardowym 15 min.

a) Jaki procent studentów jest w stanie utrzymać uwagę na wykładzie przez co najmniej 1 godz.?

2. Szacuje się, że około 15 % studentów jest w stanie utrzymać uwagę krócej niż x minut. Ile wynosi x?

3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w grupie 16 studentów średni czas efektywnego uczestnictwa dla jednego studenta jest krótszy niż 30 min.

Zadanie.11. Zarobki absolwentów uczelni ekonomicznych w Polsce zaraz po ukończeniu studiów są zmienną losową X -N( 2000, 400) natomiast absolwentów uczelni technicznych zmienną losową Y-N(2200,200). Obliczyć prawdopodobieństwo, że:

a) grupa 16 absolwentów uczelni ekonomicznych razem będzie zarabiać ponad 35 000 PLN

b) średni zarobek 25 absolwentów uczelni technicznych nie przekroczy 2100 PLN

c) różnica między zarobkami absolwenta uczelni ekonomicznej, a technicznej będzie nie większa niż 500 PLN

d) łączne zarobki dwóch absolwentów z różnych uczelni przekroczą 4600 PLN.

Zadanie.12. Mały samolot pasażerski może zabrać (oprócz pilota) czterech pasażerów, przy czym średnia waga pasażera nie może przekraczać 90 kg. Pasażerowie pochodzą z populacji osób, których waga jest zmienną losową o rozkładzie N(75 kg, 15 kg). Jak często zdarzają się przypadki przeciążenia samolotu?

Zadanie 13 . Ciężar jaj kurzych zniesionych w okresie zimowym w pewnym gospodarstwie ma rozkład N(0,05 kg; 0,005 kg). Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

1. losowo wybrane jajko będzie ważyło mniej niż 0,04 kg

2. 20 sztuk losowo wybranych jajek przekroczy razem 1,02 kg.

3. średnia waga 4 jajek będzie większa od 0,05 kg

Zadanie 14 .Wiadomo, że łączne dzienne wydatki studentów w pewnym lokalu mają rozkład o wartości oczekiwanej i wariancji równej 5 tys. Zbadaj prawdopodobieństwo tego, że lokal w ciągu kwartału zarobi więcej niż 450 tys. Przyjmij, że kwartał ma 100 dni.

---