1.Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zaobserwowanie i wykazanie, że powierzchnia swobodna w naczyniu wirującym wokół osi pionowej, tworzy paraboloidę obrotową oraz wyznaczenie prędkości kątowej wirowania dwiema metodami i porównanie wyników.
2.Część teoretyczna
Powierzchnia swobodna cieczy w naczyniu wirującym wokół osi pionowej jest powierzchnią ekwipotencjalną (powierzchnią równego potencjału), tworzącą paraboloidę obrotową.
Rozpatrując przypadek wirującego naczynia, (na rysunku poniżej), można określić składowe jednostkowe siły masowej w kierunkach x, y, z i wynoszą one :
X = A cos α
Y = A sin α
Z = - g
przy czym : A = ω2r
gdzie :
ω - prędkość kątowa obrotu naczynia
g - przyspieszenie ziemskie
stąd :
X = ω2r cos α = ω2 x
Y = ω2 r sin α= ω2 y
Podstawiając wyrażenie określające składowe jednostkowej siły masowej do równania różniczkowego powierzchni ekwipotencjalnej :
dU = X dx + Y dy + Z dz = 0
otrzymujemy :
ω2x dx + ω2 y dy - g dz = 0
Po scałkowaniu tego wzoru i przyrównaniu do stałej, otrzymujemy równanie rodziny powierzchni ekwipotencjalnych w postaci.
x2 y2
ω2------- + ω2 ------- - gz = C
2 2
lub
2g
x2 + y2 - ---- z = C1
ω2
Powierzchnia swobodna cieczy będzie również powierzchnią
ekwipotencjalną, przechodzącą przez punkt (0, 0, z1). Stąd można wyznaczyć stałą C1 :
2g
02 + 02 - ---- z1 = C1
ω2
Ostatecznie otrzymujemy :
2g
x2 + y2 - ---- ( z-z1) = 0
ω2
Przechodząc do współrzędnych walcowych wzorowi temu, po podstawieniu x=r cos α i y=r sin α, można nadać postać :
ω2 r2
------- - g (z-z1) = 0
2
gdzie :
z1 - odległość powierzchni swobodnej od początku układu współrzędnych.
Parametrem określającym powierzchnię swobodną (paraboloidę) jest prędkość kątowa ω. Parametr ten można wyznaczyć doświadczalnie dwoma metodami :
a) przez bezpośredni pomiar liczby obrotów naczynia. W osi obrotu wirującego naczynia, w specjalnie wybranym do tego celu zagłębieniu, przystawia się tachometr odczytując ilość obrotów na minutę. Następnie oblicza się prędkość kątową ω0 z zależności :
ω0 = Πn0 / 30
gdzie :
no - ilość obrotów ( odczyt z tensometru )
b) pośrednio przez pomiar współrzędnych (r, z) dowolnego punktu powierzchni swobodnej i wyznaczenie tego parametru z równania :
ω2r2
------ - g (z-z1) = 0
2
Ustala się kilka różnych prędkości obrotowych naczynia. Przy każdej ustawionej prędkości, należy odczekać kilka minut dla ustalenia się powierzchni swobodnej, a następnie dokonuje się pomiarów następujących wielkości :
wysokość z1 - wysokość swobodnej powierzchni cieczy w osi naczynia,
wysokość z2 - jednorazowo odległość swobodnej powierzchni cieczy, gdy naczynie nie wiruje,
wysokość z3 - wysokość swobodnej powierzchni cieczy przy ściance naczynia.
Z pośredniego pomiaru wielkości współrzędnych z oblicza się ω1,ω2,ω3. Zamieszczamy wyprowadzenia tychże wielkości. Wychodząc z ogólnego równania mamy:
ω2 r2 ω2 r2
------ - g (z-z1) = 0 ==> z = ------ + z1
2 2g
porównując to z objętością cieczy przed rozpoczęciem ruchu mamy :
ω2r3 ω2r4 z1r2
p R2z2= [ ----- + z1r]dr ]df = [----- + ----- ] df =
2g 8g 2
ω2R4 z1R2 ω2R4 z1R2 ω2R4p
= ( ----- + ----- )df = 2p( ----- + ----- ) = ------ + z1R2p
8g 2 8g 2 4g
ω2R2 ω2R2
==> z2 = ----- + z1 ==> z1 = z2 - -----
4g 4g
ω2r2 ω2r2
z = ----- + z 2 - -----
2g 4g
dla obliczenia prędkości kątowej w osi (w dnie) naczynia podstawiamy r =0 :
ω2R2 2
z1 = z2 - ----- z tego ω32 = --- g(z2-z1 )
4g R
dla obliczenia prędkości kątowej przy ściance naczynia ( na wierzchołkach )
podstawiamy r=R :
ω2R2 ω2R2 ω2R2
z3 = ----- + z2 - ----- = ----- + z2
2g 4g 4g
z tego :
2
ω22= --- g (z3-z2)
R
dla obliczenia prędkości kątowej w punkcie z2 należy :
ω2R2 ω2R2
----- = z2-z1 i ----- = z3-z2
4g 4g
więc :
z3+z1
z2-z1 = z3-z2 z tego z2= -----
2
mamy więc po podstawieniu :
2 z3+z1 1
ω= --- g (z3 - ----- ) ==> ω12 = --- 2g (z3-z1)
R 2 R
Następnie wyliczamy ωśr z zależności :
ω1+ω2+ω3
ωśr = ------------
3
Tak obliczoną prędkość ωśr porównujemy z ω0, a różnica nie powinna być większa niż 10%, gdyż wtedy mieści się w granicach błędów pomiarów.
(paraboloida obrotawa) nie odbiega od znacznie od powierzchni rzeczywistej.
3.Schemat stanowiska pomiarowego.
4.Wnioski
Po przeprowadzeniu ćwiczenia można stwierdzić, że :
Błędy pomiaru mieszczą się w dopuszczalnych granicach 10%. Przy założeniu , iż pomiar prędkości tachometrem nie był obarczony większym błędem (błedy odczytu i błędy wskazań - czego nie uwzględnia program liczący błędy) , nieprzekroczenie dopuszczalnego pułapu błędów świadczy o tym , że przyjęty kształt powierzchni swobodnej ( paraboloida obrotowa ) nie odbiega znacznie od powierzchni rzeczywistej.