AKADEMIA TECHNICZNO-ROLNICZA W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ
LABORATORIUM: Mechaniki płynów.
Ćwiczenie nr 9 Temat: Powierzchnia swobodna w naczyniu wirującym wokół pionowej osi.
Imię i nazwisko: Rafał Politowicz, Jacek Konikowski, Wiesław Kozłowski Studium inż. Semestr IV Grupa F Data: 25.10.96

Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zaobserwowanie i wykazanie, że powierzchnia swobodna w naczyniu wirującym wokół osi pionowej, tworzy paraboloidę obrotową oraz wyznaczenie prędkości kątowej wirowania dwiema metodami i porównanie wyników.

2. Część teoretyczna.

Powierzchnia swobodna cieczy w naczyniu wirującym wokół osi pionowej jest powierzchnią ekwipotencjalną (powierzchnią równego potencjału), tworzą paraboloidę obrotową. Do równania powierzchni swobodnej cieczy dochodzi się przeprowadzając następujące rozumowanie, polegające na wyznaczeniu rodziny powierzchni ekwipotencjalnych

U (x, y, z) = const

gdy zadane jest pole sił masowych F (x, y, z).

Składowe wektora pola wzdłuż osi przyjętego układu odniesienia, np. składowe prostokątne mają następującą postać:

X (x, y, z); Y (x, y, z); Z (x, y, z).

Jeżeli pole jest potencjalne to zachodzą związki:

X = Y = Z =

Różniczkując powyższe związki i porównując drugie pochodne sprawdza się, czy składowe sił masowych spełniają warunków całkowalności

; ;

bowiem tylko wtedy, podane pole jest istotnie potencjalne.

Jeżeli warunki całkowania są spełnione, istnieje różniczka zupełna potencjału

dU = X (x, y, z) dx + Y (x, y, z) dy + Z (x, y, z) dz

Na powierzchni ekwipotencjalnej jest na mocy definicji

dU = X dx + Y dy + Z dz = 0;

różniczki dx, dy, dz w powyższym równaniu oznaczają składowe elementarnego przesunięcia d stycznego do powierzchni ekwipotencjalnej, podczas, gdy w równaniu poprzednim oznaczają one dowolne skierowane przesunięcie.

Równanie ostatnie jest równaniem różniczkowym powierzchni ekwipotencjalnej; wyraża ono prostopadłość wektora pola do wektora d stycznego do tej powierzchni.

Rozpatrując przypadek wirującego naczynia, jak na rysunku, można określić składowe jednostkowej siły masowej w kierunkach x, y, z i wynoszą one :

X = Acos* Y = Asin* Z = - g

gdzie:

A =

- prędkość kątowa obrotu naczynia,

g - przyspieszenie ziemskie

X = r cos* = x Y = r sin* = y

Podstawiając wyrażenie określające składowe jednostkowej siły masowej do równania różniczkowego powierzchni ekwipotencjalnej, otrzymujemy :

x dx + y dy + g dz = 0

Po scałkowaniu tego wzoru i przyrównaniu do stałej, otrzymujemy równanie rodziny powierzchni ekwipotencjalnych w postaci :

lub

Powierzchnia swobodna cieczy będzie także powierzchnią ekwipotencjalną, przechodzącą przez punkt (0, 0, Z). Stąd można wyznaczyć stałą C:

Ostatecznie otrzymujemy :

Przechodząc do współrzędnych walcowych wzorowi temu, po podstawieniu x = r cos * i y = r sin *, można nadać postać :

gdzie:

z- odległość powierzchni swobodnej od początku układu współrzędnych.

Parametrem określającym powierzchnię swobodną (paraboloidę) jest prędkość kątowa

Parametr ten można wyznaczyć doświadczalnie dwoma sposobami:

przez bezpośredni pomiar liczby obrotów naczynia.

W osi obrotu wirującego naczynia, w specjalnie wybranym do tego celu zagłębieniu, przystawia się tachometr, odczytując ilość obrotów na minutę. Następnie oblicza się prędkość kątową naczynia z zależności:

gdzie:

- pomierzona ilość obrotów

pośrednio przez pomiar współrzędnych (r, z) dowolnego punktu powierzchni swobodnej i wyznaczenie tego parametru z równania:

Ustala się kilka (określonych protokółem) różnych prędkości obrotowych naczynia. Przy każdej ustawionej prędkości obrotowej naczynia, należy odczekać kilka minut dla ustalenia się powierzchni swobodnej, a następnie dokonuje się pomiarów następujących wielkości :

• wysokość z- wysokość swobodnej powierzchni cieczy w osi naczynia,

• wysokość z- jednorazowo odległość swobodnej powierzchni ciecz, gdy naczynie nie wiruje,

• wysokość z- wysokość swobodnej powierzchni cieczy przy ściance naczynia.

Z pośredniego pomiaru wielkości współrzędnych z oblicza się z zależności :

Następnie wyliczamy z zależności :

Tak obliczoną prędkość porównujemy z , a różnica nie powinna być większa niż 10%, gdyż wtedy mieści się w granicach błędu pomiarów.

Schemat stanowiska badawczego:

1 - naczynie wirujące wypełnione

płynem(przezroczyste)

2 - łożyska

3 - silnik

4 - przekładnia pasowa

5 - wałek

6 - koło pośredniczące

7 - tarcza cierna-napędzana

8 - korbka do przesuwania kółka pośredniczącego 6

9 - śruba

10 - uchwyt

11 - wskaźnik

12 - podziałka

13 - miernik obrotów (tachometr)

z₁-wysokość swobodnej powierzchni

cieczy w osi naczynia

z₂-jednorazowa odległość swobodnej

powierzchni cieczy, gdy naczynie

nie wiruje

z₃- wysokość swobodnej powierzchni

cieczy przy ściance naczynia

4.Wnioski i spostrzeżenia

Podczas przeprowadzania ćwiczenia zaobserwowano bardzo niekorzystne zjawisko występujące w układzie pomiarowym jakim było generowanie dużych drgań przez przekładnię wariatora. Drgania te przenoszone na cylinder ,a przez niego na badaną ciecz, powodując dość znaczne różnice podczas odczytu wysokości z_3.

Wraz ze wzrostem prędkości wirowania wzrasta amplituda drgań .

Z przeprowadzonych obserwacji wynika iż, wraz ze wzrostem prędkości obrotowej błąd pomiaru pomiędzy wskazaniem prędkości przez czujnik a prędkością obrotową wyliczoną na podstawie obserwacji powierzchni swobodnej ciecz , ma tendencję malejącą.

Tak więc aby pomiar był w miarę wiarygodny tzn. błąd pomiaru nie przekraczał 10% należy stosować prędkości kątowe powyżej 28 [s^-1].

Przyczyną spadku wartości błędu wraz ze wzrostem prędkości obrotowej jest powstawanie w przekroju osiowym naczynia przez wirującą ciecz zarysu paraboli. Początkowo zarys tej paraboli w przekroju badanej cieczy wirujące przypomina tylko menisk wklęsły (wierzchołek paraboli o bardzo dużym rozstawieniu ramion) jednak wraz ze wzrostem prędkości obrotowej ramiona wspomnianej paraboli zaczynają zbliżać się do osi naczynia a jej wierzchołek zaczyna przesuwać się ku dnu naczynia (wartość wysokości z₁ maleje).

Z uwagi na fakt, iż równanie opisujące prędkość obrotową cieczy w wirującym osiowo naczyniu zawiera w sobie równanie parabolojdy , logicznym staje się fakt ,ze im kształt cieczy w naczyniu przypomina bardziej parabolojdę, a ona sama posiada dobrze zarysowane kształty, błędy pomiaru będą coraz mniejsze.

Na podstawie obserwacji i analizy otoczenia układy pomiarowego możemy sugerować ze błąd pomiaru można by jeszcze bardziej zmniejszyć gdyby zminimalizować wpływ następujących czynników:

-drgania układu powstałe w wyniku zużycia przekładni wariacyjnej

-brak dokładnego wyważenia układu pomiarowego

-utrudnieni i związane z tym błędy przy odczycie wartości wysokości z₁ i z₃

Jednak pomimo wpływu tych niekorzystnych czynników osiągnięte wyniki są logiczne i zgodne z teorią przyswojoną do powyższego ćwiczenia.

Dzięki temu ćwiczeniu mogliśmy zapoznać się ze sposobem wyznaczania prędkości obrotowej cieczy w naczyniu osiowo wirującym.

Znajomość zależności oraz przyczyny występujących przy pomiarze błędów pozwolą nam na zaprojektowanie bezstykowego analizatora prędkości obrotowej cieczy w wirującym osiowo naczyniu.

---