Politechnika Łódzka

Filia w Bielsku -Białej

Wydział Budowy Maszyn

Katedra Podstaw Budowy Maszyn

Zespół Mechaniki Płynów i Maszyn Przemysłowych

Równowaga względna cieczy

w naczyniu wirującym wokół osi pionowej.

Laboratorium Mechaniki Płynów.

1. Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości kątowej, jako parametru swobodnej powierzchni cieczy, dwoma sposobami i porównanie wyników oraz określenie rozkładu ciśnień na dnie i na ściankach naczynia w stanie równowagi względnej.

2. Wyprowadzenie formuł obliczeniowych.

a) wyprowadzenie równania opisującego rozkład ciśnienia:

Równanie różniczkowe powierzchni izobarycznej
²rdr-gdz =0, po scałkowaniu

² r² - gz =c

jest równaniem rodziny paraboli obrotowych. Pole sił masowych jest więc potencjalne

U(r,z) =-

² r²+gz +c₁

Powyższy wzór podstawiając do wzoru

daje wzór opisujący ciśnienie

Stałą c₂ wyznaczamy z warunku brzegowego : w wierzchołku lejka r = 0, z =z₀ mamy p = p_0, czyli

p₀ = -ρgz₀+c₂

Tak więc

Powierzchnia swobodna S₀ jest powierzchnią izobaryczną , na której ciśnienie p(r,z) = p₀, jej równaniem jest przeto

na S₀

Wzniesienie z_o wierzchołka lejka obliczamy z warunku jednakowej objętości cieczy w spoczynku przy napełnieniu naczynia do poziomu h )i w ruchu :

(R promień naczynia )

Ostatecznie
na S₀

b) wyprowadzenie równania opisującego prędkość kątową :

Ruch odbywa się ze stałą prędkością kątową , dlatego obraz ruchu jest jednakowy we wszystkich płaszczyznach przechodzących przez os obrotu z uwagi na to ,działanie sił masowych zostanie rozpatrzone w płaskim układzie współrzędnych (r,z). W dowolnym punkcie B działa jednostkowa siła masowa F_m, która jest sumą wektorową przyśpieszenia ziemskiego i odśrodkowego.

Składowe jednostkowej siły masowej maja następującą postać:

X = a =r
²,

y =0, z = -g

Po podstawieniu do równania równowagi płynu

dp = ρ (xdx +ydy +zdz)

dp =ρ (r
² dr - gdz) (1)

po scałkowaniu

stałą całkowania c można obliczyć z warunku , że dla r = 0 i z = jest p =p_B =p_o,

stąd

c = p_o +
g z₀

po podstawieniu otrzymuje się

wstawiając z₀=z_a i p_o=p_a otrzymuje się równanie

które pozwala obliczyć ciśnienie w dowolnym punkcie o współrzędnych (r,z).

Równanie to można wyrazić w następujący sposób:

gdzie z_b =z_a - z
- pionowa odległość punktu B od powierzchni swobodnej.

Wstawiając dp = 0 do równania (1) otrzymuję równanie

po scałkowaniu

stała całkowania c może być znaleziona z warunku ,że dla r =0 jest z =z_a ,stąd c= -g z_a

Po podstawieniu otrzymuje się równanie

do powyższego równania podstawiając r=R , z=z_R otrzymuje się

następnie przekształcamy równanie tak aby otrzymać

Ostatecznie równanie przyjmuje postać

3. Schemat stanowiska pomiarowego przedstawiony jest na poniższym rysunku. Naczynie (1) w kształcie walca wykonane z przezroczystego naczynia zawiera zabarwioną wodę, której wysokość w bezruchu wynosi z₁. Naczynie jest ułożyskowane w łożyskach tocznych (2) i napędzane silnikiem elektrycznym (3) przez przekładnię pasową (4) o stałym przełożeniu. Elementami pośredniczącymi w napędzie jest wałek (5) kółko (6) na wałku (5) wyłożone skórą i tarcza cierna (7) wyłożona turbaksem, przy czym kółko (6) może się przesuwać na wypuście, a tarcz cierna jest związana sztywno z naczyniem. Przez pokręcenie śruby (8) za pomocą korbki (9) można przesunąć uchwyt (10), a wraz z nim kółko (6), co prowadzi do zmiany częstości obrotów naczynia. Do pomiaru współrzędnych „z” służy wskaźnik (11) przemieszczający się po podziałce (12). Częstość obrotów naczynia jest mierzona obrotomierzem (13).

4.Metodyka pomiarów jest następująca. Jednorazowo przed wprowadzeniem naczynia w ruch mierzę poziom cieczy w naczyniu z₁. Włączam silnik elektryczny (3) nastawiam za pomocą korbki (9) kolejno 17 częstości obrotowych naczynia zmniejszając liczbę obrotów od 250 obr/min co 10 obr/min. Przy każdej częstości obrotów odczekuje 4 min. dla ustalenia się swobodnej powierzchni wody, a następnie mierzę dla każdej częstości obrotów wysokość z_a oraz wysokość z_r. Częstość obrotów mierzę multitachometrem (13). Wyniki pomiarów wstawiam do tabeli pomiarów.

Pomiary przeprowadzono na stanowisku PŁK IMK PN 7/1-879, pomiar częstości obrotów tachometrem DMT 21 firmy Polmatik cechowanym w obr/min, nr ew. PŁK IMK PN 7/1-829

5. Wyniki pomiarów i obliczeń.

Lp.	no obr/min	 rad/s	zr - za m.	 rad/s	p^*n (r,z*) Pa
										r = 0	r=1/4 R	r=1/2 R	r=3/4 R	r=R
1	250	26,17	0,16	20,5	736	800	993	1315	1765
2	240	25,12	0,15	20	775	836	1020	1325	1753
3	230	24,07	0,14	19	853	909	1074	1350	1737
4	220	23,03	0,13	18,3	903	954	1107	1364	1722
5	210	21,98	0,12	17,7	942	990	1134	1374	1710
6	200	20,93	0,11	16,7	1010	1053	1182	1396	1697
7	190	19,89	0,1	16,1	1040	1080	1199	1397	1675
8	180	18,84	0,09	14,9	1118	1152	1255	1426	1665
9	170	17,79	0,08	14,1	1158	1188	1280	1433	1647
10	160	16,75	0,07	13,6	1187	1215	1300	1441	1638
11	150	15,70	0,06	12,8	1216	1241	1316	1442	1617
12	140	14,65	0,06	11,9	1246	1268	1333	1442	1595
13	130	13,61	0,05	11,2	1275	1294	1351	1447	1580
14	120	12,56	0,04	10,2	1315	1330	1378	1457	1568
15	110	11,51	0,04	9,53	1354	1368	1409	1479	1576
16	100	10,47	0,03	8,67	1383	1395	1429	1487	1567
17	93	9,73	0,02	7,89	1413	1422	1451	1498	1565

7. Wnioski.

---