• Modelowanie Matematyczne, zadanie domowe

WAT, Maj 2009

Tomasz Wyszomirski, I7X6S1

Firma A ma oferować bezprzewodowy dostęp do internetu na osiedlach domków i bloków. Do budowy infrastruktury może przeznaczyć maksymalnie kapitał Ksmax. Sposób dostarczania internetu przez firmę A polega na ustawieniu anten satelitarnych oraz punktów dostępowych, dzięki którym mieszkańcy osiedli mogą łączyć się z siecią www w sposób bezprzewodowy. Teoretycznie firma A może dokonać instalacji na dowolnym osiedlu. W praktyce im większa odległość sieci od centrali, tym większe koszty konserwacji i utrzymania, dlatego odległość ma znaczenie. Ze względu na duże opóźnienia występujące w rozwiązaniach satelitarnego dostępu internetowego (oraz problemy z korzystaniem z tego typu rozwiązań podczas deszczu) preferowane są osiedla, na których nie ma innej, alternatywnej metody dostępu do internetu lub oferty konkurencyjnych ISP są nieatrakcyjne (drogie, wolne łącza). Różne osiedla charakteryzowane są przez powierzchnię oraz liczbę mieszkańców. Dąży się do maksymalizacji ilości potencjalnych klientów, jednak większe osiedla wymagają droższych access pointów o większym zasięgu, więc koszt instalacji jest większy (załóżmy że proporcjonalny do wielkości osiedla). Wiadomo również, że nie opłaca się zakładać instalacji dla osiedla o ilości mieszkańców poniżej E oraz że największa dozwolona powierzchnia osiedla jest porównywalna do maksymalnego zasięgu access pointa - firma nie chce stawiać więcej niż jednej instalacji na pojedynczym osiedlu). Anteny satelitarne są udostępniane firmie A przez firmę B za stały procent od zysków z osiedli, na których są zamontowane. Warunkiem umowy jest jednak wykorzystanie co najmniej T anten. Zakłada się ponadto, że cena montażu potrzebnej infrastruktury jest stała i wynosi tyle samo dla każdego punktu dostępowego. Jednak miesięczny koszt utrzymania anteny w danym punkcie jest dyktowany przez właściciela budynku/spółdzielnię mieszkaniową - w ramach jednego osiedla jest stały, jednak może różnić się pomiędzy poszczególnymi osiedlami. Dąży się do minimalizacji kosztów eksploatacji systemu. Celem jest wybór takich osiedli (wybrany osprzęt jest zależny od warunków danego osiedla), aby liczba klientów była możliwie największa, przy minimalnym wkładzie finansowym (instalacja, osprzęt, miesięczne opłaty) przy jednoczesnym spełnieniu wszystkich wymienionych wcześniej warunków.

L - liczba osiedli, na których można postawić instalację

H - zbiór numerów dostępnych osiedli

X - zbiór numerów osiedli, na których firma A powinna postawić swoje instalacje

Pi - powierzchnia i-tego osiedla

Mi - liczba mieszkańców i-tego osiedla

G - łączna ilość mieszkańców na wybranych osiedlach

Ki - subiektywny współczynnik jakości konkurencyjnych rozwiązań oferowanych przez innych ISP na danym osiedlu (im mniejszy tym lepiej)

S - średni subiektywny współczynnik jakości konkurencyjnych rozwiązań na wybranych osiedlach

Ci - miesięczny koszt utrzymania instalacji na i-tym osiedlu

C - całkowity koszt miesięcznego utrzymania wszystkich instalacji na osiedlach

E - minimalna liczba mieszkańców osiedla, żeby opłacało się zakładać instalację

D - współczynnik kosztu wymaganego osprzętu jednej instalacji (proporcjonalny do wielkości osiedla)

Fi - koszt wymaganego osprzętu na i-tym osiedlu

Ks - koszt przygotowania infrastruktury całej sieci

Ksmax - maksymalny koszt przygotowania całej infrastruktury

W - koszt instalacji jednego punktu dostępowego

Oi - odległość i-tego osiedla od centrali

O - średnia odległość wybranych osiedli od centrali

T - minimalna liczba anten satelitarnych do wykorzystania

Analiza poziomu informacyjnego

Niestety podczas podejmowania decyzji decydent prawdopodobnie nie będzie posiadał dokładnych, a jedynie przybliżone dane. O ile informacje takie jak: minimalna ilość anten, czy współczynnik kosztu wymaganego osprzętu jednej instalacji są łatwe do zdobycia, o tyle na przykład współczynnik jakości konkurencyjnych rozwiązań oferowanych przez innych providerów internetowych na terenie poszczególnych osiedli już niemal z definicji jest wartością subiektywną, która tylko w przybliżeniu będzie oddawała rzeczywistość. Ponadto w przypadku rozpatrywania dużej liczby osiedli prawdopodobnie „wywiad środowiskowy”, zrobiony przez firmę w celu uzyskania wartości potrzebnych danych zadania, nie będzie bardzo dokładny - mogą się pojawić nieścisłości związane z niedoborem informacji - na przykład brak lub niedostateczne dane dotyczące ofert innych providerów internetowych na danym osiedlu, bardzo przybliżona powierzchnia, czy liczba mieszkańców. Dodatkowo dane dotyczące instalacji wymaganego osprzętu mogą być szacunkowe. Wszystkie te czynniki wpływają na jakość otrzymanego rozwiązania. Dla danych zbyt ogólnych może ono nawet okazać się bezużyteczne.

Zadanie optymalizacji

Ponieważ jest to zadanie optymalizacji wielokryterialnej, więc można ułożyć różne jego wersje w zależności od metody poszukiwania rozwiązania. Dla przykładu przedstawiam sformułowanie zadania przy użyciu metody punktu idealnego.

Dla danych wyznaczyć takie że

gdzie:

punkt idealny (szukamy punktu najbliższego do niego w przestrzeni rozwiązań dopuszczalnych):

Aby móc policzyć odległość w przedstawionej przestrzeni 5-cio wymiarowej, należy najpierw wybrać normę i zgodnie z nią dokonywać obliczeń. Proponuję modyfikację normy z parametrem p=5 w taki sposób, aby do definicji tej normy dołączyć ustalone współczynniki istotności, pozwalające dostosować wagę każdego kryterium według potrzeb.

Niech - nieujemne współczynniki odpowiadające istotności każdego z kryteriów. Ich wartości powinny być dobierane w zależności od używanych jednostek miary oraz wartości danych zadania.

Wówczas:

Funkcja celu łączy wymagania maksymalizacji ilości osób objętych zasięgiem nadajników oraz minimalizacji wszelkich kosztów i w postaci „zwiniętej” wygląda następująco:

---