Twierdzenie Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu macierzy)

Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wtedy

.

Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A jest macierzą nieosobliwą.

Tw. 4.2.2 (wzór Cramera)

Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwiąznie. Rozwiązanie to jest określone wzorem

,

gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast A_j, dla 1 ≤ j ≤ n, oznacza macierz A, w której j-tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B, tzn.

.

Uwaga. Równość określającą rozwiązanie układu równań liniowych nazywamy wzorem Cramera. Równość ta po rozpisaniu przyjmuje postać:

,
, …,
,

zwaną wzorami Cramera.

Fakt 4.2.3 (metoda macierzy odwrotnej)

Rozwiązanie układu Cramera AX = B jest określone wzorem:
.

Ortogonalizacja Grama-Schmidta to metoda za pomocą której można przekształcić zbiór liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w zbiór wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe, rozpinane przez zbiory przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.

Operator rzutowania ortogonalnego wektora v na wektor u definiujemy jako:

Wówczas dla układu k wektorów{v1, …, vk} proces przebiega następująco:

Fakt 5.2.3 (własności iloczynu skalarnego)

Niech
będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy

,

,

,

,

,

wektory
i
są prostopadłe ⇔
.

Uwaga. Równość podana w punkcie 3 jest prawdziwa także dla dowolnej liczby wektorów składników. Równość w nierówno­ści 5 jest możliwa tylko wtedy, gdy wektory
i
są równoległe.

Dwa pierwsze kroki procesu ortogonalizacji

Otrzymany zbiór {u1, …, uk} jest zbiorem wektorów ortogonalnych.

Aby zbudować w ten sposób zbiór ortonormalny, każdy wektor należy podzielić przez jego normę:

Dowód ortogonalności tak otrzymanego układu opiera się na indukcji.

Proces ortogonalizacji pozwala na wskazanie bazy ortogonalnej w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni unitarnej. Jej istnienie można wykazać na bazie lematu Kuratowskiego-Zorna.

(iloczyn skalarny)

Niech
będą dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów
i
określamy wzorem:

,

gdzie ϕ jest miarą kąta między wektorami
i

Uwaga. Miara kąta między wektorami niezerowymi
i
wyraża się wzorem:

.

Rzut prostopadły wektora
na wektor
wyraża się wzorem:

.

Fakt 5.2.2 (wzór do obliczania iloczynu skalarnego)

Niech
oraz
będą wektorami w R3. Wtedy

.

---