ZADANIE 1

Dla jakich parametrów regulatora regulatora PD układ regulacji nadążnej pokazany na rysunku jest stabilny? Narysować obszar stabilności.

Dane: K_x(s) = k_x, K_s(s) = k_s/(1+s⋅T), K_p(s) = 1/s przy k_x, k_s, T=const.

Rozwiązanie:

K_r(s) = k_r⋅(1+s⋅T_d)

Równanie charakterystyczne M(s)=0. Na podstawie tw. Hurwitza warunki stabilności mają postać:

1° T>0

2° 1+k_x k_s k_r T_d > 0

3° k_x k_s k_r > 0

Stąd: k_r>-k_x k_s i T_d > -1/(k_x k_s k_r) obszar stabilności = wykres na płaszczyźnie (k_r, T_d)ZADANIE 2

W układzie jak na rysunku zastosowano regulator PI o parametrach: k=5, Ti=10.

1. naszkicować ch-ki częstotliwościowe układu w układzie Bodego

2. naszkicować odpowiedzi obiektu i układu na skok jednostkowy

3. 
   porównać czas odpowiedzi układu na skok jednostkowy z czasem odpowiedzi obiektu

Dane: K (s) = 1/[(1+10s)(1+2s)]

Rozwiązanie:

ZADANIE 3

Zarejestrowano trzy punkty odpowiedzi obiektu na skok jednostkowy:

t	5	10	100	[s]
h(t)	0,3935	0,6321	0,9933	[-]

W układzie jak na rysunku zastosowano regulator PI o parametrach: k=5, Ti=10.

Naszkicować:

1. ch-ki Bodego dla układu

2. odpowiedź układu na sygnał skoku jednostkowego

Rozwiązanie:

ZADANIE 4

Zarejestrowano trzy punkty odpowiedzi skokowej obiektu:

t	5	10	100	[s]
h(t)	0,3935	0,6321	0,9933	[-]

Dobrać transmitancję regulatora tak, aby czas odpowiedzi układu był pięciokrotnie mniejszy niż czas odpowiedzi obiektu, a wzmocnienie nie uległo zmianie. Jaki typ regulatora należy zastosować?

Naszkicować:

1. przebieg odpowiedzi układu i obiektu na skok jednostkowy

2. ch-ki Bodego obiektu i układu

Rozwiązanie:

ZADANIE 5

Wyznaczyć i naszkicować przebieg odpowiedzi skokowej w układzie jak na rysunku

Rozwiązanie:

ZADANIE 6

Jaki jest przebieg odpowiedzi ustalonej y(t) układu jak na rysunku na sygnał harmoniczny x(t)=2⋅sin(t), jeżeli obiekt opisany jest równaniem 3y'(t)+y(t)=2x(t), a regulator jest proporcjonalny o wzmocnieniu równym 2.

Rozwiązanie:

ZADANIE 7

Dana jest transmitancja operatorowa obiektu impulsowego K(z)=0.2/(1-0.8⋅z^-1).

1. wyznaczyć postać operatorową odpowiedzi impulsowej układu zamkniętego z pełnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym na skok jednostkowy x(k)=1(k),

2. Obliczyć trzy początkowe wartości tej odpowiedzi

Rozwiązanie:

ZADANIE 8

Przyjmując czas próbkowania Tp=2 wyznaczono transmitancję dyskretną obiektu inercyjnego 1-go rzędu w postaci K(z)=2,5/(1-0,5⋅z^-1). Jaka będzie postać transmitancji, jeżeli czas próbkowania będzie mniejszy dwukrotnie.

Rozwiązanie:

ZADANIE 9

Stosując kryteria Hurwitza i Nyquista sprawdzić stabilność układu jak na rysunku.

Rozwiązanie

ZDANIE 10

Wyznaczyć odpowiedź y(t) obiektów na skok prędkości x(t)=t⋅1(t)

a)

3. 
   

Rozwiązanie:

ZADANIE 11

1. Naszkicować ch-ki Bodego układu jak na rysunku

2. Podać czas odpowiedzi układu na sygnał skoku jednostkowego

;

Rozwiązanie:

ZADANIE 12

Wyznaczyć 10 kolejnych wartości sygnału wyjściowego układu impulsowego o transmitancji

jeżeli sygnał wyjściowy przyjmuje kolejne wartości {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}

Rozwiązanie

a zatem: y_k-y_k-1 = 0,8 x_k-1 - 0,4 x_k-2

stąd: y_k = y_k-1 + 0,8 x_k-1 - 0,4 x_k-2

{y}=[0, 0,8, 2, 3,6, 5,6, 8, 10,8, 14, 17,6, 21,6}

ZADANIE 13

Naszkicować charakterystyki Bodego obiektu i układu przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie:

Obiekt inercyjny drugiego rzędu o parametrach: k=2, T₁=1 i T₂=2 ch-ki Bodego obiektu

Transmitancja zastępcza układu:

ponieważ zachodzi s₁, s₂ ∈ Z , to układ ma charakter oscylacyjny o parametrach spełniających warunki:
, z których można wyznaczyć:

oraz
ch-ki Bodego układu.

ZADANIE 14

Zarejestrowano cztery punkty odpowiedzi skokowej (x(t) = 1(t)) obiektu:

t	5	10	50	100	[s]
h(t)	0,0686	0,196	0,831	0,977	[-]

Zaprojektować regulator pracujący w zamkniętym układzie regulacji, tak, aby czas odpowiedzi układu był pięciokrotnie mniejszy niż czas odpowiedzi obiektu, a wzmocnienie nie uległo zmianie. Jaki typ regulatora należy zastosować?

Rozwiązanie:

1. Identyfikacja obiektu:

Na podstawie wykresu:

a) h_ust = 1 k=1

b) obiekt inercyjny 2-go rzędu; (w uproszcz. 1-go rzędu z opóźnieniem)

przekształcenie nieliniowe: z(t) = ln(1- h(t)/h_ust) ≈ a t + b

parametry: a ≈ z/ t =(0.218-1,778) / (50-10) ≈-0,039; b=z(50)-a⋅50≈0,172

T₁ = -1/a ≈ 25,6; T₂ = T₁ (e^b-1)/e^b ≈4,05

lub w uproszcz. T₁ = -1/a ≈ 25,6;  = - b/a ≈

zatem

czas odpowiedzi można oszacować jako t_o≈3T₁+T₂=81 [s] (w uproszcz. t_o≈3T₁ +   , σ )

2. Wyznaczenie transmitancji regulatora:

zakładając
można przyjąć T_z=1/5 ⋅ 1/3 ⋅ t_o = 5,4 [s]

ponieważ dla zamkniętego układu regulacji zachodzi:

to
, a po podstawieniu danych i przekształceniach otrzymamy:

- reg.PID

ZADANIE 15

1. Zbadać stabilność układu regulacji pokazanego na rysunku, ze względu na zakłócenia działające na wejście układu pomiaru wielkości regulowanej.

2. Zakładając , że układ był w stanie spoczynku, wyznaczyć 7 kolejnych wartości odpowiedzi skokowej x_k=1_k.

Rozwiązanie:

1) Transmitancja zakłóceniowa jest równa:

Równanie charakterystyczne M(z)=0 ma dwa pierwiastki zespolone
.

Ponieważ |z_1,2|>1, to układ jest niestabilny.

2) Odpowiedź skokową układu w dziedzinie operatorowej wyraża zależność:

co w dziedzinie czasu wyraża równanie rekurencyjne:

.

Kolejne wartości odpowiedzi skokowej: y₀=y₁=y₂=0; y₃=0,2; y₄=0,8; y₅=1,98; y₆=3,88.

ZADANIE 16

Porównać stabilność zamkniętego ciągłego układu regulacji pokazanego na rysunku, ze stabilnością analogicznego układu nieciągłego, przy założeniu okresu impulsowania 0.2 [s].

---