Matematyka I

Algebra

19.03.2002

Proponowana literatura:

1. Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych; J. Piszczała, AE Poznań 1996;

2. Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych Ćwiczenia; J. Piszczała, AE Poznań 1996;

Definicja macierzy:

Macierzą nazywamy dowolną funkcję rzeczywistą przekształcającą pary uporządkowane

(i , j) gdzie i ∈ {1;2;...;n} oraz j ∈ {1;2;...;m}.

Tę funkcję (przyporządkowanie ) możemy też zapisać: (i,j) → a_ij. Liczby a_ij nazywamy elementami macierzy.

Graficznie można macierz wyobrazić sobie w formie tablicy o n wierszach i m kolumnach, gdzie ciągi wyrazów na jednym poziomie nazywamy wierszami, a ciągi pionowe wyrazów nazywamy kolumnami macierzy. Zachowując kolejność numeracji mówimy, że wyraz a_ij należy do i-tego wiersz i j-tej kolumny macierzy.

Inny zapis macierzy to: A = [a_ij] ; B = [b_ij] .

Przykłady macierzy:

Macierz nazywamy kwadratową, gdy liczba jej wierszy jest równa liczbie kolumn, czyli wtedy, gdy m = n. Taką macierz nazywamy macierzą stopnia n, co zapisujemy: stA = n .

Macierze możemy traktować jako pewne obiekty matematyczne o dość prostej strukturze, stanowiące pewne uogólnienie liczb. Stąd wprowadzamy niektóre działania na macierzach - charakteryzujące się wieloma własnościami podobnymi do własności działania na liczbach (np. rzeczywistych).

W szczególności na macierzach wykonujemy dodawanie, odbywa się to w stosunku do macierzy o tych samych wymiarach, czyli o równej liczbie wierszy i o równej liczbie kolumn. Działanie dodawania jest wykonywane „wyraz macierzy A do odpowiedniego wyrazu macierzy B, czyli w wyniku tej operacji powstaje macierz C o postaci: C = [c_ij] = [a_ij + b_ij] .

Przykład dodawania:

Macierzą zerową wymiaru nxm nazywamy macierz złożoną z samych wyrazów zerowych (samych zer).

Własności dodawania macierzy:

• Przemienność : A + B = B + A

• Łączność: (A + B) + C = A + (B + C)

• Dodawanie zera: A + 0_mn = A = 0_mn+ A

Macierz przeciwna (-A) to jest taka macierz, że A + (-A) = 0_mn.

Mnożenie macierzy przez liczbę (rzeczywistą) wykonujemy mnożąc każdy jej wyraz przez te liczbę, co można zapisać: α A = [α a_ij].

Przykład:

Własności mnożenia macierzy przez liczbę:

• łączność (αβ)A = α(βA)

• rozdzielność względem dodawania liczb

(α+β)A = αA+βA

• rozdzielność względem dodawania macierzy

α(A + B) = αA + αB

Twierdzenie 1.

Zbiór M(n, m) macierzy wymiaru n x m tworzy grupę przemienną względem dodawania macierzy.

Definicja macierzy transponowanej

Macierzą transponowaną A^T nazywamy macierz, w której zamieniono wiersze z kolumnami zachowując porządek ich wyrazów. Zapisujemy taką macierz [a_ji]

Przykład:

Macierz nazywamy symetryczną, jeżeli A^T=A.

Przykład:

Definicja:

Mnożenie macierzy. Tę operację możemy wykonywać tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy z lewej strony jest równa liczbie wierszy macierzy z prawej strony. Zapisujemy to następująco:

Liczbę C zapisać w i-tym wierszy i j-tej kolumnie

Przykład 1.

; AB = [30]

Przykład 2.

2*1+ (-1)*3

Własność łączności iloczynu macierzy mnożonego przez liczbę: (αA)B=α(AB)=A(αB)=(ABα)

Uwaga!

Dwie macierze tego samego stopnia można mnożyć w różnej kolejności: AB lub BA (iloczyny mogą dać różne wyniki).

Mnożenie macierzy nie jest działaniem przemiennym.

Definicja.

Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową (stopnia n), której wyrazami na głównej przekątnej (tj. od lewego górnego do dolnego prawego rogu) są same jedynki. Resztę wyrazów stanowią zera.

Przykład macierzy jednostkowej:

Własności mnożenia przez macierz jednostkową:

AI_n =I_nA = A

Definicja:

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, która poza główną przekątną posiada wszystkie wyrazy równe zero.

Przykład:

Wyznacznik

(macierzy kwadratowej)

Wyznacznik zapisujemy: det A lub det [a_ij]

czy też:

Indukcja matematyczna:

1) Spr F(1) ((f(3) n2 +4 >9 n>=3

kroki 2) Z F(n)

indukcyjne 3) T F(n+1)

Spr 2/1*2

T 2/n(n+1)

Z 2/(n+1)(n+2)=(n+1)n +2(n+2)

Stopniem wyznacznika nazywamy stopień macierzy A, czyli st A = st det A = n

Sformułujemy indukcyjną definicję wyznacznika. Wyznacznik jest funkcją, która macierzom kwadratowym przyporządkowuje pewną liczbę. Konstrukcja definicji jest indukcyjna. Wpierw określamy wyznacznik macierzy stopnia 1: det [a]:= a

Wyznacznik macierzy stopnia n zdefiniujemy przy pomocy wyznaczników stopnia n-1, czyli znając wyznacznik macierzy stopnia 1 możemy wyznaczyć wyznacznik macierzy stopnia 2, znając wzór na wyznaczniki macierzy stopnia 2 możemy wyliczyć wyznacznik macierzy stopnia 3, itd., czyli znając wzór na wyznacznik stopnia n-1 (indukcja) możemy wyznaczyć wyznacznik macierzy stopnia n.

Definicja minora

Skreślamy (usuwamy z) macierzy prostokątnej A pewną ilość wierszy i kolumn tak, by nie skreślone elementy tworzyły macierz kwadratową M. Wyznacznik detM nazywamy minorem macierzy A. Przykład:

minory A to np.:

Minor stopnia n-1 powstający z macierzy kwadratowej stopnia n w wyniku skreślenia i -tego wiersza oraz j-tej kolumny oznaczamy M_ij. Dla przykładu:

(usuwamy pierwszy wiersz i drugą kolumnę)

Definicja

Dopełnieniem algebraicznym wyrazu a_ij macierzy A nazywamy liczbę:

A_ij = (-1)^i+j M_ij Stąd dopełnieniem algebraicznym wyrazu a₁₂=3 jest

(-1)¹⁺² M₁₂ czyli - M₁₂.

Możemy teraz zdefiniować wyznacznik stopnia n >1 stosując np. tzw. metodę rozwinięcia względem pierwszego wiersza:

detA=det[a_ij]_nxn=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+...+a_1nA_1n

Możemy to formalnie zapisać:

Końcowa równość obrazuje fakt, że wyznacznik obliczymy także stosując rozwinięcie względem pierwszej kolumny macierzy A. Zachodzi także fakt ogólniejszy: wyznacznik otrzymamy stosując rozwinięcie względem dowolnej kolumny albo dowolnego wiersza tej macierzy. Przykłady:

Przykład 1

Wyznacznik macierzy stopnia 2. (wzór LAPLACE'A)

Wzór ten wynika z naszej indukcyjnej definicji: M₁₁ = a₂₂ ; M₁₂=a₂₁. Stąd A₁₁=a₂₂ oraz A₁₂= -a₂₁ i w konsekwencji rozwinięcie względem pierwszego wiersza daje żądaną zależność.

Przykład 2

Wyznacznik macierzy stopnia 3 (wzór Starrusa)

Rozwijając względem pierwszego wiersza możemy go obliczyć wyznaczając 3 wyznaczniki stopnia 2.

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

---