MATEMATYKA – ĆWICZENIA

Ćwiczenia z 7.01 i 8.01.2011 r.

Zastosowanie pochodnej funkcji.

Zad.1

Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne poniższych funkcji.

D = R / {1}

f ‘(x) = D ‘ = D

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji badamy znak pierwszej pochodnej .

f ‘(x) > 0

Dla każdego x ϵ D ‘

(x-1)² > 0

x² – 2x > 0

x (x – 2) > 0

Widać, że f ‘(x) > 0 dla x ϵ (- ∞ ; 0) (2 ; +∞).

Zatem funkcja rosnąca dla x ϵ (- ∞ ; 0) (2 ; +∞) , ponieważ f ‘(x) < 0 dla x ϵ (0 ; 2) – {1} , stąd f(x) jest malejąca dla x ϵ ( 0; 2) – {1} .

f ‘(x) = , f ‘ (x) = 0

/ ∙ (x – 1)²

x² – 2x = 0

x (x – 2) = 0

x = 0 x = 2

Są to punkty podejrzane o istnienie ekstremum funkcji .

f _max = f (0) =

f _min = f(2) =

f ‘’ (x₁)

f ‘’ (x₁) > 0

f ‘’ (x₁) < 0

1. f(x) = x⁴ – 2x² + 3

D = R

f ‘(x) = 4x³ – 4x

D ‘ = D

f ‘(x) = 0

4x³ – 4x = 0 / : 4

x³ – x = 0

x(x² – 1) = 0

x=0 x=1 x = -1

Są to punkty podejrzane o istnienie ekstremum.

Widać ,że f ‘(x) > 0 dla x ϵ (-1 ; 0) (1 ;+ ∞)

f ‘(x) < 0 dla x ϵ (- ∞ ; -1) (0 ; 1)

stąd

f (x) rosnąca dla x ϵ (-1 ; 0) (1 ; +∞)

f(x) malejąca dla x ϵ (- ∞ ; -1) (0 ; 1)

f _max = f(0) = 3

f _min = f(-1) = f(1) = 2

Zad. 2

Znajdź wartość najmniejszą I wartość największą funkcji f w podanym przedziale.

1. f(x) = , x ϵ < 0 ; 3>

f ‘(x) =

f ‘(x) = 0

-2x² + 2 = 0 / ∙ (-2)

x² – 1 = 0

(x -1)(x+1) = 0

x = 1 x = -1 < 0; 3>

f(0) = 0

f(3) = 0,6

f(1) = 1

f(x) = f(0) = 0

f(x) = f(1) = 1

Rachunek całkowy.

Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w pewnym przedziale D .

Funkcję F(x) określoną i różniczkowalną w przedziale D oraz spełniającą warunek:

F ‘(x) = f(x) dla x ϵ D

Nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) .

Uwaga !

Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to rodzina funkcji:

F (x) + C , gdzie C ϵ R

Jest rodziną funkcji pierwotnych funkcji f(x).

Istotnie:

( F(x) + C ) ‘ = F ‘(x) + C ‘ = F ‘(x) + 0 = F ‘(x) = f(x)

Rodzinę funkcji pierwotnych funkcji f(x) nazywamy całką nieoznaczoną (całką) i zapisujemy ją następująco:

∫ f(x) dx = F (x) + C

f(x) – funkcja podcałkowa

dx – zmienna całkowania

F(x) – funkcja pierwotna

C – stała całkowania (dowolna stała)

Zad. 1

Oblicz całki nieoznaczone.

1. ∫(x² – 3x + 4) dx=

=∫x²dx - ∫3xdx + ∫4dx = ∫x²dx - 3∫xdx + 4∫dx =

Sprawdzenie:

1. ∫(3sinx + ) dx =

= 3∫sinxdx + ∫ - 7∫e^xdx = 3 ∙ (-cosx) + ln IxI – 7e^x= -3cosx + ln IxI – 7e^x + C

1. ∫=

= 2∫dx = 2 ∙ = 2 ∙ =

1. ∫(2 – 6x +3x² – x³) dx =

= 2∫ dx - 6∫ xdx + 3∫ x²dx - ∫x³dx =

1. ∫(3

= 3 ∫ dx – tgxdx =

Wybrane metody obliczania całek nieoznaczonych .

I metoda: całkowanie oraz podstawianie.

Stosujemy tę metodę gdy nowa postać funkcji podcałkowej jest łatwiejsza do wyznaczenia całki nieoznaczonej.

1. ∫sin7xdx = ∫sint ∙ dt = ∫sintdt = (- cost) = -cos7x + C

7x = t

7dx = dt / : 7

dx = dt

1. ∫x (x² – 3)⁵dx = ∫t⁵ dt = ∫t⁵ dt = =

x² – 3 = t

2xdx = dt / : 2

xdx =

1. ∫∫e^t 2dt = 2∫e^t dt = 2e^t = 2

2. ∫

1 + sinx = t

cosxdx = dt

1. ∫(7x + 2)⁴ dx = ∫t⁴ ∙ =

7x + 2 = t

7dx = dt / : 7

dx =

II metoda : całkowanie przez części .

Korzystamy ze wzoru :

∫ f ‘(x) g(x) dx = f(x) ∙ g(x) - ∫ f(x) ∙ g’(x)dx

lub po przekształceniu:

∫ f(x) g’(x)dx = f(x) ∙ g(x) - ∫ f’(x) g(x)dx

1. ∫xe^x dx = x ∙ e^x - ∫ 1 ∙ e^x dx = xe^x - ∫e^x dx = x^e – e^x + C

f(x) = x g ‘(x) = e^x

f ‘(x) = 1 g (x) = ∫e^x dx = e^x

1. ∫xcosxdx = xsinx - ∫ 1 ∙ sinxdx = xsinx - ∫ sinxdx = xsinx + cosx + C

f(x) = x g ‘(x) = cosx

f ‘(x) = 1 g (x) = ∫cosxdx = sinx

1. ∫xe^2x dx =

f (x) = x g ‘(x) = e^2x

f ‘(x) = 1 g (x) = ∫e^2x dx =

2x = t

2dx = dt / : 2

dx =

e^t

1. ∫xsin3xdx = ∫sint dt = ∫sintdt= - cos t = - cos 3x = - xcos3x - ∫ 1 ∙ (- cos3x)dx =

= - xcos3x + ∫cos 3x dx = - cos 3x + sin3x + C

f (x) = x g ‘ (x) = sin3x

f(x) = 1 g (x) = ∫sin3xdx

3x = t

3dx = dt / : 3

dx = dt

∫cos3xdx = ∫cost = ∫costdt =

1. ∫lnxdx = xlnx - ∫

f(x) = lnx g ‘(x) = 1

f ‘(x) = g (x) = ∫1dx = ∫dx =

Całka oznaczona

Całką oznaczoną od a do b f(x)dx nazywamy różnicę wartości funkcji pierwotnej w górnej i dolnej granicy całkowania.

a – dolna granica całkowania

b – górna granica całkowania

Zad. 1

Oblicz.

∫ (4x + 3) dx = 2x² + 3x + C

2. d)

Całka oznaczona jako pole figury

P_F =

Jeżeli f(x) < 0 , to P_F = -

Jeżeli mamy f(x) ≤ g(x) , to pole figury ograniczonej wykresami tych funkcji oraz prostymi x = a i x = b

Zad. 1

Wyznacz pole obszaru zawartego między y = f(x) a osią OX dla funkcji :

1. f(x) = e^x , x ϵ <0 ; 1>

2. f(x) = x² – 4 , x ϵ <-2; 2>

Zad. 2

Znajdź pole figury ograniczonej krzywymi y = x² oraz y = x