MATEMATYKA – ĆWICZENIA
Ćwiczenia z 7.01 i 8.01.2011 r.
Zastosowanie pochodnej funkcji.
Zad.1
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne poniższych funkcji.
D = R / {1}
f ‘(x) = D ‘ = D
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji badamy znak pierwszej pochodnej .
f ‘(x) > 0
Dla każdego x ϵ D ‘
(x-1)2 > 0
x2 – 2x > 0
x (x – 2) > 0
Widać, że f ‘(x) > 0 dla x ϵ (- ∞ ; 0) (2 ; +∞).
Zatem funkcja rosnąca dla x ϵ (- ∞ ; 0) (2 ; +∞) , ponieważ f ‘(x) < 0 dla x ϵ (0 ; 2) – {1} , stąd f(x) jest malejąca dla x ϵ ( 0; 2) – {1} .
f ‘(x) = , f ‘ (x) = 0
/ ∙ (x – 1)2
x2 – 2x = 0
x (x – 2) = 0
x = 0 x = 2
Są to punkty podejrzane o istnienie ekstremum funkcji .
f max = f (0) =
f min = f(2) =
f ‘’ (x1)
f ‘’ (x1) > 0
f ‘’ (x1) < 0
f(x) = x4 – 2x2 + 3
D = R
f ‘(x) = 4x3 – 4x
D ‘ = D
f ‘(x) = 0
4x3 – 4x = 0 / : 4
x3 – x = 0
x(x2 – 1) = 0
x=0 x=1 x = -1
Są to punkty podejrzane o istnienie ekstremum.
Widać ,że f ‘(x) > 0 dla x ϵ (-1 ; 0) (1 ;+ ∞)
f ‘(x) < 0 dla x ϵ (- ∞ ; -1) (0 ; 1)
stąd
f (x) rosnąca dla x ϵ (-1 ; 0) (1 ; +∞)
f(x) malejąca dla x ϵ (- ∞ ; -1) (0 ; 1)
f max = f(0) = 3
f min = f(-1) = f(1) = 2
Zad. 2
Znajdź wartość najmniejszą I wartość największą funkcji f w podanym przedziale.
f(x) = , x ϵ < 0 ; 3>
f ‘(x) =
f ‘(x) = 0
-2x2 + 2 = 0 / ∙ (-2)
x2 – 1 = 0
(x -1)(x+1) = 0
x = 1 x = -1 < 0; 3>
f(0) = 0
f(3) = 0,6
f(1) = 1
f(x) = f(0) = 0
f(x) = f(1) = 1
Rachunek całkowy.
Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w pewnym przedziale D .
Funkcję F(x) określoną i różniczkowalną w przedziale D oraz spełniającą warunek:
F ‘(x) = f(x) dla x ϵ D
Nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) .
Uwaga !
Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to rodzina funkcji:
F (x) + C , gdzie C ϵ R
Jest rodziną funkcji pierwotnych funkcji f(x).
Istotnie:
( F(x) + C ) ‘ = F ‘(x) + C ‘ = F ‘(x) + 0 = F ‘(x) = f(x)
Rodzinę funkcji pierwotnych funkcji f(x) nazywamy całką nieoznaczoną (całką) i zapisujemy ją następująco:
∫ f(x) dx = F (x) + C
f(x) – funkcja podcałkowa
dx – zmienna całkowania
F(x) – funkcja pierwotna
C – stała całkowania (dowolna stała)
Zad. 1
Oblicz całki nieoznaczone.
∫(x2 – 3x + 4) dx=
=∫x2dx - ∫3xdx + ∫4dx = ∫x2dx - 3∫xdx + 4∫dx =
Sprawdzenie:
∫(3sinx + ) dx =
= 3∫sinxdx + ∫ - 7∫exdx = 3 ∙ (-cosx) + ln IxI – 7ex= -3cosx + ln IxI – 7ex + C
∫=
= 2∫dx = 2 ∙ = 2 ∙ =
∫(2 – 6x +3x2 – x3) dx =
= 2∫ dx - 6∫ xdx + 3∫ x2dx - ∫x3dx =
∫(3
= 3 ∫ dx – tgxdx =
Wybrane metody obliczania całek nieoznaczonych .
I metoda: całkowanie oraz podstawianie.
Stosujemy tę metodę gdy nowa postać funkcji podcałkowej jest łatwiejsza do wyznaczenia całki nieoznaczonej.
∫sin7xdx = ∫sint ∙ dt = ∫sintdt = (- cost) = -cos7x + C
7x = t
7dx = dt / : 7
dx = dt
∫x (x2 – 3)5dx = ∫t5 dt = ∫t5 dt = =
x2 – 3 = t
2xdx = dt / : 2
xdx =
∫∫et 2dt = 2∫et dt = 2et = 2
∫
1 + sinx = t
cosxdx = dt
∫(7x + 2)4 dx = ∫t4 ∙ =
7x + 2 = t
7dx = dt / : 7
dx =
II metoda : całkowanie przez części .
Korzystamy ze wzoru :
∫ f ‘(x) g(x) dx = f(x) ∙ g(x) - ∫ f(x) ∙ g’(x)dx
lub po przekształceniu:
∫ f(x) g’(x)dx = f(x) ∙ g(x) - ∫ f’(x) g(x)dx
∫xex dx = x ∙ ex - ∫ 1 ∙ ex dx = xex - ∫ex dx = xe – ex + C
f(x) = x g ‘(x) = ex
f ‘(x) = 1 g (x) = ∫ex dx = ex
∫xcosxdx = xsinx - ∫ 1 ∙ sinxdx = xsinx - ∫ sinxdx = xsinx + cosx + C
f(x) = x g ‘(x) = cosx
f ‘(x) = 1 g (x) = ∫cosxdx = sinx
∫xe2x dx =
f (x) = x g ‘(x) = e2x
f ‘(x) = 1 g (x) = ∫e2x dx =
2x = t
2dx = dt / : 2
dx =
et
∫xsin3xdx = ∫sint dt = ∫sintdt= - cos t = - cos 3x = - xcos3x - ∫ 1 ∙ (- cos3x)dx =
= - xcos3x + ∫cos 3x dx = - cos 3x + sin3x + C
f (x) = x g ‘ (x) = sin3x
f(x) = 1 g (x) = ∫sin3xdx
3x = t
3dx = dt / : 3
dx = dt
∫cos3xdx = ∫cost = ∫costdt =
∫lnxdx = xlnx - ∫
f(x) = lnx g ‘(x) = 1
f ‘(x) = g (x) = ∫1dx = ∫dx =
Całka oznaczona
Całką oznaczoną od a do b f(x)dx nazywamy różnicę wartości funkcji pierwotnej w górnej i dolnej granicy całkowania.
a – dolna granica całkowania
b – górna granica całkowania
Zad. 1
Oblicz.
∫ (4x + 3) dx = 2x2 + 3x + C
d)
Całka oznaczona jako pole figury
PF =
Jeżeli f(x) < 0 , to PF = -
Jeżeli mamy f(x) ≤ g(x) , to pole figury ograniczonej wykresami tych funkcji oraz prostymi x = a i x = b
Zad. 1
Wyznacz pole obszaru zawartego między y = f(x) a osią OX dla funkcji :
f(x) = ex , x ϵ <0 ; 1>
f(x) = x2 – 4 , x ϵ <-2; 2>
Zad. 2
Znajdź pole figury ograniczonej krzywymi y = x2 oraz y = x