POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH

WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA

kierunek: Zarządzanie i Inżynieria Produkcji

Model ekonometryczny

Wykonał: Hubert Skrzypulec

Grupa: ZIP 22

Kształtowanie się ceny litra benzyny bezołowiowej na przestrzeni 15 lat: od 1990 do 2004 roku

Wykonany przez mnie model ma na celu pokazanie jakie elementy miały wpływ na kształtowanie się ceny benzyny w latach 1990 - 2004.

Dane do modelu zebrałem na podstawie informacji źródłowych z Roczników Statystycznych Głównego Urzędu Statystycznego, a przy tworzeniu modelu korzystałem z programu Microsoft Excel.

Tabela 1 Dane do modelu

LATA	Y	X1	X2	X3	X4	X5
1990	0,37	8839	3766	5189	0,95	12,98
1991	0,51	9672	3812	5940	1,07	13,67
1992	0,80	10504	4301	6371	1,58	14,69
1993	1,01	11337	4788	6846	2,13	15,12
1994	1,18	12169	4983	7012	2,44	15,53
1995	1,30	13002	5426	7517	2,47	16,86
1996	1,51	13834	5323	8075	2,88	20,29
1997	1,80	14713	5531	8533	3,52	18,68
1998	1,87	15367	5032	8891	3,50	12,28
1999	2,82	16022	5905	9263	4,15	17,48
2000	3,09	18002	5174	9991	4,35	27,60
2001	3,03	17558	4746	10503	4,09	23,12
2002	3,24	17789	4314	11029	4,08	24,36
2003	3,37	18562	4211	11244	3,89	28,10
2004	3,72	17912	4198	11975	3,65	36,05

Y - Cena litra benzyny w Polsce w [zł]

X₁ - Import ropy do Polski [w tys. ton]

X₂ - Krajowe zużycie benzyn [w tys. ton]

X₃ - Ilość samochodów osobowych w Polsce

X₄ - Kurs dolara wyrażony w [zł]

X₅ - Cena baryłki ropy na rynku światowym w [$]

Współczynniki korelacji

Aby obliczyć współczynniki korelacji, korzystamy z następujących wzorów:

Otrzymujemy wektor R₀ oraz macierz współczynników korelacji:

Tabela 2 Wektor R₀

	Y
X1	0,958793123
X2	0,022259152
X3	0,98684332
X4	0,88132026
X5	0,816820628

Tabela 3 Macierz współczynników korelacji

	X1	X2	X3	X4	X5
X1	1,0000000	0,9287787	0,0955419	0,6601892	0,9114367
X2	0,9287787	1,0000000	0,2218621	0,5791618	0,9938523
X3	0,0955419	0,2218621	1,0000000	0,4012184	0,2699853
X4	0,6601892	0,5791618	0,4012184	1,0000000	0,5684319
X5	0,9114367	0,9938523	0,2699853	0,5684319	1,0000000

Metoda Hellwiga

W modelu ekonometrycznym powinny znaleźć się zmienne, które są odpowiednio silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą Y. W celu wyeliminowania z modelu zmiennych, które mają słaby wpływ na zmienną objaśnianą, stosuje się metodę Hellwiga.

Na początku obliczam ilość kombinacji zmiennych objaśniających x₁, x₂, x₃, x_4, x₅ według wzoru L=2ⁿ-1, gdzie k to ilość zmiennych objaśniających.

L = 2ⁿ-1 = 2⁵-1 = 31 kombinacji

Następnie obliczam indywidualne i integralne pojemności nośników informacji z następujących wzorów (korzystając z wcześniej obliczonych współczynników korelacji):

Liczymy do wartości i=5

0≤H_L≤1

Wypisuję wszystkie możliwe kombinacje, obliczam indywidualne pojemności nośników, wchodzących w skład kombinacji, następnie sumuję.

K₁={X1}, K₂={X2}, K₃={X3}, K₄={X4}, K₅={X5}, K₆={X1,X2}, K₇={X1,X3}, K₈={X1,X4}, K₉={X1,X5}, K₁₀={X2,X3}, K₁₁={X2,X4}, K₁₂={X2,X5}, K₁₃={X3,X4}, K₁₄={X3,X5}, K₁₅={X4,X5}, K₁₆={X1,X2,X3}, K₁₇={X1,X2,X4}, K₁₈={X1,X2,X5}, K₁₉={X1,X3,X4}, K₂₀={X1,X3,X5}, K₂₁={X1,X4,X5}, K₂₂={X2,X3,X4}, K₂₃={X2,X4,X5}, K₂₄={X3,X4,X5}, K₂₅={X2,X3,X5}, K₂₆={X1,X2,X3,X4}, K₂₇={X1,X2,X3,X5}, K₂₈={X1,X3,X4,X5}, K₂₉={X2,X3,X4,X5}, K₃₀={X1,X2,X4,X5}, K₃₁={X1,X2,X3,X4,X5}

Po zsumowaniu indywidualnych pojemności nośników otrzymałem integralne pojemności nośników informacji:

H1	0,919284254
H2	0,00049547
H3	0,973859739
H4	0,776725401
H5	0,667195939
H6	0,773182879
H7	0,967030599
H8	0,865575427
H9	0,949092694
H10	0,971442
H11	0,546613314
H12	0,17738145
H13	0,938377744
H14	0,898944761
H15	0,951326315
H16	0,925222445
H17	0,961342009
H18	0,838672173
H19	0,935034869
H20	0,966726325
H21	0,967700563
H22	0,861097116
H23	0,774834645
H24	0,972502744
H25	0,852030262
H26	0,880016296
H27	0,861921216
H28	0,976724795
H29	0,894388562
H30	0,865871457
H31	0,71657578

Wybieram kombinację, która ma najwyższą wartość; jest to tzw. kombinacja optymalna

H MAX =

0,976724795

Z metody Hellwiga wynika, że do modelu wchodzą zmienne x₁, x₃, x₄, x₅, ponieważ H osiągnęło wartość maksymalną dla K₂₈={x₁, x₃, x₄, x₅}. Oznacza to, że zmienne x₁, x₃, x₄, x₅ mają duży wpływ na zmienną objaśnianą.

Równanie modelu ma postać:

y_i=α₀+α₁x_1i+α₂x_3i+α₃x_4i+α₄x_5i +ε_i

Metoda grafów

Wykorzystując wektor R₀ oraz macierz współczynników korelacji dokonuję wyboru zmiennych za pomocą metody grafów.

n	15
α	0,05
n-2=15-2	13

Liczę krytyczną wartość współczynnika korelacji, korzystając przy tym z tablic rozkładu t-Studenta.

tα- odczytujemy z tablic tα=2,160

tα²= 4,6656

r*= 0,513912942

W macierzy współczynników korelacji należy zastąpić zerami wszystkie współczynniki korelacji, które są mniejsze od r*. W ten sposób otrzymuję macierz R*

	X1	X2	X3	X4	X5
X1	1	0	0,9576878	0,9594013	0,6715756
X2	0	1	0	0	0
X3	0,9576878	0	1	0,8655442	0,8255356
X4	0,9594013	0	0,8655442	1	0,5177982
X5	0,6715756	0	0,8255356	0,5177982	1

Na podstawie danych z powyższej macierzy buduję graf:

Zgodnie z założeniami metody grafów do modelu wchodzi zmienna x₂ jako wektor zerowy oraz zmienna x₃, gdyż jest najsilniej skorelowana ze zmienną objaśnianą.

Klasyczna Metoda Najmniejszych Kwadratów (KMNK)

Aby oszacować parametry strukturalne, korzystam ze wzoru:

Następnie tworzę macierze X i Y

		X1	X3	X4	X5	1			Yt
	1	8839	5189	0,95	12,98	1		1	0,37
	2	9672	5940	1,07	13,67	1		2	0,51
	3	10504	6371	1,58	14,69	1		3	0,8
	4	11337	6846	2,13	15,12	1		4	1,01
	5	12169	7012	2,44	15,53	1		5	1,18
X=	6	13002	7517	2,47	16,86	1	Y=	6	1,3
	7	13834	8075	2,88	20,29	1		7	1,51
	8	14713	8533	3,52	18,68	1		8	1,8
	9	15367	8891	3,5	12,28	1		9	1,87
	10	16022	9263	4,15	17,48	1		10	2,82
	11	18002	9991	4,35	27,6	1		11	3,09
	12	17558	10503	4,09	23,12	1		12	3,03
	13	17789	11029	4,08	24,36	1		13	3,24
	14	18562	11244	3,89	28,1	1		14	3,37
	15	17912	11975	3,65	36,05	1		15	3,72

Obliczam kolejno:

	3242566230,00	1936883626,00	693490,02	4508621,97	215282,00
X^TX=	1936883626,00	1159810967,00	413326,24	2710526,97	128379,00
	693490,02	413326,24	152,04	956,52	44,75
	4508621,97	2710526,97	956,52	6521,09	296,81
	215282,00	128379,00	44,75	296,81	15,00

(X^TX)^-1=	0,0000007	-0,0000006	-0,0009293	-0,0000151	-0,0020204
	-0,0000006	0,0000007	0,0004673	-0,0000267	0,0009840
	-0,0009293	0,0004673	1,6569085	0,0523268	3,3592053
	-0,0000151	-0,0000267	0,0523268	0,0086021	0,1183065
	-0,0020204	0,0009840	3,3592053	0,1183065	8,2799153

	476259,670
X^TY=	286176,850
	105,076
	678,627
	29,620

Podstawiając do wzoru, otrzymuję wektor parametrów strukturalnych:

	-0,0000130
	0,0003469
a=	0,2633600
	0,0277677
	-2,1427346

Równanie modelu ma zatem postać:

Ŷ_t=-0,0000130+0,0003469X_1t+0,2633600X_3t+0,0277677X_4t-2,1427346x_5t

Następnie obliczam:

- wariancję S_u²

- odchylenie standardowe reszt S_u

- współczynnik zmienności resztowej W_u

- współczynnik determinacji R²

- współczynnik zbieżności φ²

Obliczam wariancję S_u² oraz odchylenie standardowe S_u ze wzorów:

Su^2=	0,040302145
Su =	0,200753943

Współczynnik zmienności resztowej V_s.

V_s= 10,16647244%

Uzyskana wartość informuje nas, że 10,16% ogólnej zmienności została wyjaśniona przez model.

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych ma na celu sprawdzenie, czy model w wystarczającym stopniu wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej. Dopasowanie można obliczyć za pomocą następujących współczynników, które przyjmują wartości z przedziału <0,1>:

Współczynnik determinacji R² informuje, jaka część zmiennej objaśnianej Y została objaśniona przez zbudowany model teoretyczny. Dopasowanie modelu do danych empirycznych jest tym lepsze, im współczynnik determinacji bliższy jest wartości 1. Obliczam go korzystając ze wzoru:

R² = 0,9776. Model jest dopasowany do danych empirycznych w ok. 97,76%

Współczynnik zbieżności φ² informuje, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej Y nie została wyjaśniona przez zbudowany model teoretyczny (jest spowodowana przez czynnik losowy). Dopasowanie modelu do danych empirycznych jest tym lepsze, im współczynnik zbieżności jest bliższy 0. Obliczam go, korzystając ze wzoru:

φ ² = 0,022338982

Model jest niedopasowany do danych empirycznych w ok. 2,23%

MACIERZ WARIANCJI I KOWARIANCJI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH

Z macierzy wariancji i kowariancji, wyrażonej poniższym wzorem, szacuję średnie błędy szacunku parametrów:

	0,0000001	0,0000000	-0,0000805	-0,0000013	-0,0001749
D^2(a)=	0,0000000	0,0000001	0,0000405	-0,0000023	0,0000852
	-0,0000805	0,0000405	0,1434602	0,0045306	0,2908502
	-0,0000013	-0,0000023	0,0045306	0,0007448	0,0102433
	-0,0001749	0,0000852	0,2908502	0,0102433	0,7169002

Następnie obliczam błędy szacunku parametrów strukturalnych

Sα₁₌

0,0001672

Sα₂₌

0,0001725

Sα₃₌

0,2584124

Sα₄₌

0,0186194

γ=

0,5776663

-12,8479212

0,4971758

0,9812137

0,6705410

-0,2695930

Postać modelu przy uwzględnieniu błędów strukturalnych:

Ŷ_t=-0,0000130+0,0003469X_1t+0,2633600X_3t+0,0277677X_4t-2,1427346x_5t

(-12,84792119) (0,497175799) (0,981213654) ( 0,67054104) (-0,269593017)

TEST ISTOTNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI WIELORAKIEJ (próba Fishera)

Stawiam hipotezy:

H₀ : R² = 0

H1 : R² ≠ 0

Obliczam F ze wzoru:

F = 125,3164843

Dla α=0,05, k=4 i n-k-1=10 odczytuję F* z tablic Fishera

F* = 3,48

F > F* - odrzucamy hipotezę H₀

WERYFIKACJA MODELU

Po oszacowaniu modelu należy zbadać, czy zbudowany model dobrze opisuje badane zależności, a dzieje się to za sprawą weryfikacji modelu.

TEST SERII

Test serii ma na celu zbadanie trafności doboru zmiennych do modelu.

Stawiam hipotezę:

H₀ : rozkład jest liniowy

H₁ : rozkład jest nieliniowy

Następnie tworzę serie, czyli przyporządkowuję każdej reszcie dodatniej literę a, zaś każdej reszcie ujemnej literę b.

0,10	a	I
-0,07	b	II
-0,09	b
-0,20	b
-0,18	b
-0,28	b
-0,47	b
-0,46	b
-0,33	b
0,17	a	III
-0,15	b	IV
-0,19	b
-0,19	b
-0,19	b
-0,25	b

Otrzymałem 4 serie, czyli k = 4

Następnie obliczam ilość dodatnich i ujemnych reszt:

a = 2 = n₁ b = 13 = n₂

Z tablic testu liczby serii odczytuję wartości krytyczne K_l (0,025) i K_p (0,975) dla:

α=0,05, n₁ i n₂

K_l = 2

K_p = 5

K_l ≤ K ≤ K_p Rozkład reszt jest liniowy. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

Postać modelu została poprawnie dobrana.

TEST NA NORMALNOŚĆ ROZKŁADU SKŁADNIKA LOSOWEGO ZA POMOCĄ TESTU SHAPIRO-WILKA

Stawiam hipotezę:

H0: składnik losowy ma rozkład normalny

H1: składnik losowy nie ma rozkładu normalnego

n	et	et uporządkowane rosnąco	et^2	en-t+1-et	an-t+1	an-t+1(en-t+1-et)
1	0,1019991	-0,4704586	0,2213313	0,6414276	0,5150000	0,3303352
2	-0,0692955	-0,4631891	0,2145441	0,5651882	0,3306000	0,1868512
3	-0,0914516	-0,3344032	0,1118255	0,2651077	0,2495000	0,0661444
4	-0,2030234	-0,2836603	0,0804631	0,1922086	0,1878000	0,0360968
5	-0,1836373	-0,2538259	0,0644276	0,1085607	0,1353000	0,0146883
6	-0,2836603	-0,2030234	0,0412185	0,0193861	0,0880000	0,0017060
7	-0,4704586	-0,1942862	0,0377471	0,0042746	0,0433000	0,0001851
8	-0,4631891	-0,1926854	0,0371277		0,0000000	0,0000000
9	-0,3344032	-0,1900116	0,0361044
10	0,1709690	-0,1836373	0,0337227
11	-0,1452652	-0,1452652	0,0211020
12	-0,1900116	-0,0914516	0,0083634
13	-0,1942862	-0,0692955	0,0048019
14	-0,1926854	0,1019991	0,0104038
15	-0,2538259	0,1709690	0,0292304
∑	-2,8022251	-2,8022251	0,9524134			0,6360069

korzystam ze wzoru:

W=	0,424715541

Z tablic wartości krytycznych dla testu Shapiro - Wilka odczytuję wartość krytyczną dla a=0,05 i n=15:

Wa,n=	0,881
W < Wa,n - odrzucam H0

Składnik losowy nie ma rozkładu normalnego

BADAM HOMOSCEDASTYCZNOŚĆ SKŁADNIKA LOSOWEGO ZA POMOCĄ TESTU HARRISONA-MC CABE`A

H0: σ_t² = const

H1: σ_t² ≠ const

b < b_L => H₀ odrzucamy

b_L ≤ b ≤ b_U => brak decyzji

b > b_U => brak podstaw do odrzucenia H0

n	et	et uporządkowane rosnąco	et^2
1	0,1019991	-0,4704586	0,2213313
2	-0,0692955	-0,4631891	0,2145441
3	-0,0914516	-0,3344032	0,1118255
4	-0,2030234	-0,2836603	0,0804631
5	-0,1836373	-0,2538259	0,0644276
6	-0,2836603	-0,2030234	0,0412185
7	-0,4704586	-0,1942862	0,0377471
8	-0,4631891	-0,1926854	0,0371277
9	-0,3344032	-0,1900116	0,0361044
10	0,1709690	-0,1836373	0,0337227
11	-0,1452652	-0,1452652	0,0211020
12	-0,1900116	-0,0914516	0,0083634
13	-0,1942862	-0,0692955	0,0048019
14	-0,1926854	0,1019991	0,0104038
15	-0,2538259	0,1709690	0,0292304
∑			0,9231830

Statystyka Harrisona - Mc Cabe'a ma postać:

b= 0,835757639

Dla a=0,05 z tablic Fishera - Snedecora odczytuję wartość dla F1 i F2:

F1= 8,85

F2= 4,12

Obliczam wartości krytyczne korzystając ze wzoru:

b_L=0,04065

b_U=0,298126

b>b_u brak podstaw do odrzucenia Ho

ZA POMOCĄ TESTU BOXA - LJUNGA BADAM AUTOKORELACJĘ SKŁADNIKA LOSOWEGO

Stawiam hipotezę:

H0: nie występuje autokorelacja określonego rzędu

H1: występuje autokorelacja, ale nie jest określone jakiego rzędu

n	et	et-1	et-2	et*et-1	et*et-2	et^2
1	0,1019991					0,0104038
2	-0,0692955	0,1019991		-0,0070681		0,0048019
3	-0,0914516	-0,0692955	0,1019991	0,0063372	-0,0093280	0,0083634
4	-0,2030234	-0,0914516	-0,0692955	0,0185668	0,0140686	0,0412185
5	-0,1836373	-0,2030234	-0,0914516	0,0372827	0,0167939	0,0337227
6	-0,2836603	-0,1836373	-0,2030234	0,0520906	0,0575897	0,0804631
7	-0,4704586	-0,2836603	-0,1836373	0,1334504	0,0863938	0,2213313
8	-0,4631891	-0,4704586	-0,2836603	0,2179113	0,1313883	0,2145441
9	-0,3344032	-0,4631891	-0,4704586	0,1548919	0,1573229	0,1118255
10	0,1709690	-0,3344032	-0,4631891	-0,0571726	-0,0791910	0,0292304
11	-0,1452652	0,1709690	-0,3344032	-0,0248358	0,0485771	0,0211020
12	-0,1900116	-0,1452652	0,1709690	0,0276021	-0,0324861	0,0361044
13	-0,1942862	-0,1900116	-0,1452652	0,0369166	0,0282230	0,0377471
14	-0,1926854	-0,1942862	-0,1900116	0,0374361	0,0366124	0,0371277
15	-0,2538259	-0,1926854	-0,1942862	0,0489085	0,0493149	0,0644276
				0,6823177	0,5052796	0,9524134

Statystyka Boxa - Ljunga ma postać:

λ=2

a=0,05

Z tablic rozkładu χ2 dla a=0,05 i λ=2 odczytuję wartość:

χ²_0,05;2= 5,991

r1=0,716409216

r2=0,530525506

Q=15,58833591

Q > χ²_0,05;2 Występuje autokorelacja, ale nie jest określone jakiego rzędu

Zmienne są zbyt silnie skorelowane ze sobą.

PODSUMOWANIE

Model postaci:

Ŷ_t=-0,0000130+0,0003469X_1t+0,2633600X_3t+0,0277677X_4t-2,1427346x_5t

(-12,84792119) (0,497175799) (0,981213654) ( 0,67054104) (-0,269593017)

Gdzie:

Y - Cena litra benzyny w Polsce w [zł]

X₁ - Import ropy do Polski [w tys. ton]

X₃ - Ilość samochodów osobowych w Polsce

X₄ - Kurs dolara wyrażony w [zł]

X₅ - Cena baryłki ropy na rynku światowym w [$]

Jest dopasowany do danych empirycznych w 97,76%.

Z szeregu przeprowadzonych testów wynika, że:

• Co najmniej jedna zmienna jest istotna

• Rozkład reszt modelu jest liniowy

• Składnik losowy nie ma rozkładu normalnego

• Pomiędzy zmiennymi występuje autokorelacja - należy przeanalizować proces doboru zmiennych

• Model jest homoskedastyczny - wszystkie zmienne losowe posiadają tę samą, skończoną wariancję

Strona 16 z 16

X1

X2

X3

X4

X5

---