Logarytm
1
Logarytm
Logarytm przy podstawie z liczby , zapisywany to taka liczba , której podstawa podniesiona do
potęgi daje logarytmowaną liczbę .
Symbolicznie:
,
gdzie , oraz .
Na przykład , ponieważ .
Logarytm dla liczb rzeczywistych
Logarytm naturalny
Logarytm naturalny (często nazywany logarytmem Nepera)[1] , to logarytm przy podstawie eH"2,718281828.
Logarytm o tej podstawie ma pewne szczególne własności i często pojawia się w problemach analizy
matematycznej, na przykład we wzorze na pochodną funkcji logarytmicznej:
W przypadku pochodnej logarytmu naturalnego z powyższego wzoru znika wyrażenie , ponieważ
. W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście najbardziej "naturalny"
wśród logarytmów, gdyż upraszczają się dla niego niektóre wzory.
Podstawa logarytmu naturalnego e jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.
Logarytm dziesiętny
Zapis bez indeksu albo oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy
liczbę 10:
Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności
oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w arkuszach polskiego Excela
ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny. Dla dowolnej liczby jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w dół
i zwiększony o jeden jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym , np.
Po zaokrągleniu w dół uzyskujemy 6, 6+1=7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych
przed przecinkiem.
Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie , należy użyć logarytmu o podstawie .
Logarytm
2
Własności
Wprost z definicji:
,
,
.
Z własności potęgi wynika również:
,
stąd też
,
oraz
,
,
i wreszcie
,
,
a więc
,
w szczególności
.
Wnioskiem z powyższych jest następująca równość:
albo:
Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ( i powyżej) są do siebie proporcjonalne,
więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest
na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie
asymptotycznym.
Zachodzi również:
[2]
Każda liczba dodatnia ma logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ .
Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w
zerze określony.
Jeżeli podstawa , to:
dla zachodzi natomiast:
Logarytm
3
Można również zastosować logarytm wraz z funkcją wykładniczą, do obliczania dowolnych potęg (x i y dodatnie):
jest to przydatne szczególnie na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu
gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.
Logarytm dla liczb zespolonych
Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych.
Niech będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:
(1)
gdzie:
" jest dowolną liczbą całkowitą,
" jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby (moduł liczby zespolonej jest liczbą
rzeczywistą),
" to argument liczby zespolonej
" to argument główny
W szczególności dla liczb zespolonych:
Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych . Przyjmując
otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: .
Inni[3] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie
wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.
Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb
rzeczywistych:
dla
gdzie:
" i są liczbami zespolonymi.
" i są dane wzorem (1)
Związane pojęcia
Funkcja logarytmiczna
Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem przy ustalonej
podstawie .
Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej.
Kologarytm
Liczbę przeciwną do logarytmu z nazywało się niegdyś kologarytmem i oznaczało lub .
Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu . Wyrażenie to używane jest do tej pory
m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.
Logarytm
4
Logarytm dyskretny
Logarytm dyskretny elementu (przy podstawie ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita , że
w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):
.
Zastosowania - tablice logarytmiczne
Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych (zamieniano je na
łatwe dodawanie ich logarytmów). Tablice logarytmiczne były podstawową pomocą do obliczeń naukowych,
geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich. Dzisiaj, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery,
wyszły one właściwie z użytku podobnie jak suwak logarytmiczny.
Zobacz też
" logarytm całkowy
" logarytm binarny
" logarytm dyskretny
" neper
" lista symboli matematycznych
" przegląd zagadnień z zakresu matematyki
Przypisy
[1] Nazwisko autora pisane Neper
John Napier w opublikowanym przez siebie dziele Logarithmorum canonis descriptio użył pisowni nazwiska Neper,
co tłumaczy przyjętą póz
niej i stosowaną powszechnie do dzisiaj nazwę.
[2] więcej w artykule o wzorze Eulera
[3] Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN
978-83-204-3364-7.
y
ródła i autorzy artykułu
5
y
ródła i autorzy artykułu
Logarytm y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=24114356 Autorzy: Awmarcz, Beno, Citmichal, D.M. from Ukraine, Danielm, Feler404, Gang65, Googl, Iks89, JRS, Jedyooo,
Jozef-k, Konradek, Kpjas, Krismagick, Ksyks, Kuszi, Li-on, Loxley, M gol, M-i, Marcin Otorowski, Marcin n, Markotek, Milek80, OFFset32, Oczykota, Ogrodnik, Olaf, Palladinus, PawełMM,
Petryk, Pitazboras, Ptj, Qoqosz, Raq0, Rosomak, Slaweks, Stefs, Stok, Stotr, Strug, Superborsuk, TOR, Taw, Topory, Tsca, Wazow, Wiggles007, Wiktoryn, WojciechSwiderski, Xpicto, Zahn,
Zimbardo, Zolv, Żangle, 52 anonimowych edycji
Licencja
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/