NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
LOGARYTMY
Definicje
Najważniejsze w całej zabawie z logarytmami to zrozumieć, co to jest logarytm.
Wyrażenie loga b jest równe odpowiedzi na pytanie:
do jakiej potęgi należy podnieść a, żeby otrzymać b?
To zdanie należy traktować jako definicję logarytmów i koniecznie trzeba je zapamiętać 
jest to klucz do wszystkich ich własności. Przy pomocy wzorków zapisuje się to w postaci
loga b = x Ð!Ò! b = ax
Od ręki możemy policzyć kilka prostych przykładów  w każdym z nich spróbujcie samo-
dzielnie zgadnąć odpowiedz
 i nie potrzebujemy do tego żadnych wzorów!
log2 23 = 3
log3 81 = 4
log4 4 = 1
log3 1 = 0
1
log5 = -1
5
"
1
log2 2 =
2
log 9 = -2
1
3
2log2 19 = 19.
Jeżeli ktoś nie rozumie powyższych równości to ma małe szanse na sprawne posługiwanie
się logarytmami, dlatego radzę się poprzyglądać do skutku.
Jeżeli rozumiemy już te wzorki, to powinny być jasne odrobinę ogólniejsze równości:
loga a = 1
loga 1 = 0
aloga b = b
1
loga = - loga b
b
log b = - loga b.
1
a
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Tego typu wzory bywają bardzo użyteczne, ale jeżeli pamiętamy (i rozumiemy) definicję
logarytmu, to nie trzeba ich się uczyć na pamięć, są one wtedy dość oczywiste.
Dla przykładu popatrzmy na trzeci wzorek: loga b to jest taka liczba, że jak podniesiemy
do niej a to wyjdzie b. I co robimy?  podnosimy do niej a, więc wychodzi b.
Dla treningu przeczytajmy jeszcze czwarty wzorek. Wiemy, że jak podniesiemy a do po-
1
tęgi loga b to wyjdzie b. Jeżeli więc podniesiemy a do potęgi - loga b to wyjdzie b-1 = .
b
1
Obliczmy a3b6 jeżeli log2 a = -1 i log3 b = .
3
1
Z definicji logarytmu wiemy, że 2-1 = a i 33 = b. Zatem
3 6
1 32 9
a3b6 = 2-1 · 33 = = .
23 8
Wzorki
W przypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń, np. log2 3 nie jesteśmy w stanie obliczyć
tej liczby dokładnie  jest to po prostu potęga do jakiej trzeba podnieść 2, żeby wyszło 3. Jest
to pewna liczba niewymierna, mniej więcej równa 1,58496... (powinno być jasne, że musi
być między 1 a 2, bo 21 = 2 i 22 = 4). Symbol log2 3 należy traktować jako oznacznie tej
liczby. Pomimo, że nie znamy jej dokładnej wartości, możemy jednak o niej coś powiedzieć,
np. bezpośrednio z definicji wiemy, że 2log2 3 = 3. Są też ciekawsze własności.
Sprawdz
my że log2 6 = 1 + log2 3.
Myślimy o tym następująco: do jakiej potęgi trzeba podnieść 2, żeby wyszło 6? Po-
nieważ 6 = 2 · 3, musimy podnieść 2 do potÄ™gi 1 (dwójka w rozkÅ‚adzie) i jeszcze do
log2 3 (trójka w rozkładzie).
Sytuacja jest podobna jak z pierwiastkami: mało kto potrafi podać nawet przybliżoną war-
" " " "
tość 213, ale jest jasne, że ( 213)2 = 213 czy 2 213 = 852.
Pomimo, że takie kombinowanie nie jest bardzo trudne, można to zrobić szybciej korzy-
stając z następujących wzorów:
loga(bc) = loga b + loga c
1
loga = - loga b
b
b
loga = loga b - loga c
c
loga bn = n loga b
logc b
loga b =
logc a
1
loga b = .
logb a
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Nie będziemy tych wzorków uzasadniać, zamiast tego krótko je omówimy. Pierwszy wzór,
który jest natychmiastową konsekwencją wzoru xm+n = xmxn, jest zdecydowanie najważ-
niejszą własnością logarytmów. Można go czytać tak: suma logarytmów to logarytm ilo-
czynu. Wzór ten pojawia się w większości zadań z logarytmami  zapamiętać należy, że
logarytmy dobrze zachowujÄ… siÄ™ przy dodawaniu.
log6 2 + log6 3 = log6 6 = 1.
Drugi wzór to prosta konsekwencja definicji (można też go traktować jako przypadek szcze-
gólny 4 wzoru).
1
log16 0, 25 = - log16 4 = - .
2
Trzeci wynika natychmiast z pierwszych dwóch i z grubsza mówi, że logarytmy dobrze się
zachowujÄ… przy odejmowaniu.
63
63 9
log7 - log7 = log7 5 = log7 7 = 1.
9
5 5
5
Czwarty wzór, wynikający z równości (xm)n = xmn, bywa bardzo użyteczny w rachunkach,
bo pozwala wyciągać potęgi przed logarytm.
log7 32 log7 25 5 log7 2 5
= = =
log7 8 log7 23 3 log7 2 3
1
log2 3 · log9 2 = log9 2log2 3 = log9 3 =
2
Przedostatni wzór to tzw. wzór na zmianę podstawy logarytmu. Jak nazwa wskazuje po-
zwala dowolnie zmieniać podstawę logarytmu.
log3 27
3
log9 27 = = .
log3 9 2
Jeszcze jeden przykład na ostatni wzór.
1 1
+ = log6 2 + log6 3 = log6 6 = 1.
log2 6 log3 6
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Logarytm dziesiętny i naturalny
Jak zrobić tablice logarytmów?  w zasadzie się nie da, bo loga b ma dwa argumenty i ta-
kie tablice byłyby ogromne. Z drugiej strony, mamy wzór na zmianę podstawy logarytmu i
wystarczy znać logarytmy przy jednej ustalonej podstawie. Dlatego wyróżnia się dwie pod-
stawy: 10 i e = 2, 718 . . .. Logarytm przy podstawie 10 nazywa się dzięsiętnym i oznacza
log b = log10 b, a przy podstawie e naturalnym i oznacza ln b = loge b.
O ile nie trzeba specjalnie tłumaczyć dlaczego logarytm przy podstawie 10 jest wyróż-
niony, to aby dobrze zrozumieć fenomen logarytmu naturalnego trzeba znać pochodne 
ponieważ pochodne zniknęły ze szkoły, logrytm naturalny też w zasadzie jest w niej margi-
nalizowany, warto jednak wiedzieć, że taki jest.
Podoba Ci siÄ™ ten poradnik?
Zadania.info
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
TIPS & TRICKS
1
Pamiętajmy, że wzory na sumę i różnicę logarytmów wymagają, aby logarytmy miały tę
samą podstawę. Jeżeli nie mają, to możemy spróbować ją zmienić ze wzoru na zamianę
podstawy logarytmu.
log2 5 1
log2 5 + log4 5 = log2 5 + = log2 5 + log2 5 =
log2 4 2
"
1
= log2 5 + log2 52 = log2 5 5.
2
Czasem może spotkać się z potrzebą uproszczenia wyrażenia, w którym mamy iloczyny
logarytmów, np.
log2 4 + log12 3 · log12 48.
12
Ponieważ nie ma wzoru na iloczyn logarytmów w takiej sytuacji staramy się wyłączyć
wspólny czynnik przed nawias i skorzystać ze wzoru na sumę logarytmów.
log2 4 + log12 3 · log12 48 = log2 4 + log12 3 · log12(4 · 12) =
12 12
= log2 4 + log12 3 · (log12 4 + log12 12) =
12
= log2 4 + log12 3 log12 4 + log12 3 =
12
= log12 4 (log12 4 + log12 3) + log12 3 =
= log12 4 log12 12 + log12 3 =
= log12 4 + log12 3 = log12 12 = 1.
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
3
Wprawdzie wzór na logarytm iloczynu zwykle podaje się tylko dla dwóch liczb, ale jest on
prawdziwy dla dowolnej liczby czynników.
loga(x1x2 · · · xn) = loga x1 + loga x2 + · · · + loga xn.
Obliczmy sumÄ™
1 2 3 99 100
log + log + log + . . . + log + log .
100 99 98 2 1
Ze wzoru na logarytm iloczynu, suma ta jest równa:
1 2 3 98 99 100
log · · · . . . · · · = log 1 = 0.
100 99 98 3 2 1
4
Duża liczba wzorków z logarytmami sprawia, że mamy podobną sytuację jak z funkcjami
trygonometrycznymi: ta sama liczba może być zapisana na wiele różnych sposobów.
W poprzednim podpunkcie sprawdziliśmy, że
"
log2 5 + log4 5 = log2 5 5,
ale mogliśmy też liczyć tak
1 1 1 1 3
log2 5 + log4 5 = + = + = .
log5 2 log5 4 log5 2 2 log5 2 2 log5 2
5
Większość szkolnych kalkulatorów/tablic pozwala znalez
ć tylko wartości logarytmów dzie-
siętnych. Jak w takim razie wyliczyć inny logarytm?  korzystamy ze wzoru na zamianę
podstawy logarytmu
log b
loga b = .
log a
log 3 0, 48
log2 3 = H" H" 1, 6.
log 2 0, 3
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Tu zaczynamy dotykać delikatnego problemu szacowania błędu obliczeń: jeżeli dzielimy
dwie liczby, które znamy z dokładnością do 0,01 to trudno jest przewidzieć z jaką dokład-
nością znamy wynik (zależy to od wartości liczby, przez którą dzielimy). Aby to zrozumieć,
wystarczy wziąć przybliżenie Ą H" 3, 14 i podzielić przez 10. Wtedy wynik znamy z dokład-
1
nością do 0,001. Ale jak podzielimy przez (czyli pomnożymy przez 10), to wynik znamy
10
tylko z dokładnością do 0,1. W naszym przykładzie dzieliliśmy przez 0,3, więc wyniku na
pewno nie znamy z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
6
Jest sporo zadań typu  uprość wyrażenie , w których występują logarytmy o różnych pod-
stawach  zwykle pierwszą rzeczą do zrobienia jest sprowadzenie wszystkich logarytmów
do wspólnej podstawy  im mniejszej tym lepiej. Np. jeżeli w zadaniu są logarytmy o pod-
stawie 2,3,6,9 to za wspólną podstawę najlepiej wziąć 2 lub 3. Jeżeli nie widać jaką wziąć
wspólną podstawę, to zawsze możemy pozamieniać wszystko na logarytmy dziesiętne lub
naturalne.
Obliczmy wartość wyrażenia log27 0, 8 jeżeli log4 3 = a i log5 3 = b.
Liczba która się wyróżnia w podanej treści to 3 (jest w każdym składniku, bo 27 =
33), więc zamieniamy podstawę wszystkich logarytmów na 3.
1 1
a = log4 3 = Ò! log3 4 =
log3 4 a
1 1
b = log5 3 = Ò! log3 5 =
log3 5 b
1 1
log3 4 log3 4 - log3 5 - b - a
4
5 a b
log27 = = = = .
5 log3 27 3 3 3ab
Sprawdz
my, kiedy liczby log0,64 5, logx 45 i log0,8 3 sÄ… kolejnymi wyrazami ciÄ…gu
arytmetycznego.
Interesujący nas warunek będzie spełniony jeżeli środkowa liczba będzie średnią
arytmetyczną pozostałych dwóch. Liczmy (zamieniamy wszystkie logarytmy na
dziesiętne).
2 logx 45 = log0,64 5 + log0,8 3
2 log 45 log 5 log 3 log 5 log 3
= + = +
log x log 0, 82 log 0, 8 2 log 0, 8 log 0, 8
2 log 45 log 5 + 2 log 3 log (5 · 9)
= =
log x 2 log 0, 8 2 log 0, 8
2 log 45 log 45
=
log x 2 log 0, 8
log x = 4 log 0, 8 = log(0, 8)4 Ò! x = 0, 4096.
7
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Jedno z popularnych zastosowań logarytmów, to  zdejmowanie na dół wykładników , czyli
logarytmowanie stronami.
Rozwiążmy równanie 2x = 81.
Logarytmujemy równanie stronami logarytmem przy podstawie 2.
log2 2x = log2 34
x = 4 log2 3.
Uzasadnijmy, że liczby 7log11 5 i 5log11 7 są równe.
7log11 5 = 5log11 7 / log11()
log11 7log11 5 = log11 5log11 7
log11 5 · log11 7 = log11 7 · log11 5.
Otrzymana równość jest oczywiście prawdziwa.
Ile cyfr ma liczba 21000?
Pytanie można przeformułować tak: dla jakiej liczby całkowitej k, mamy nierów-
ność
10k-1 21000 < 10k
(np. liczby trzycyfrowe to te, które są nie mniejsze od 100 i mniejsze od 1000). Jeżeli
zlogarytmujemy tę równość stronami (logarytmem dziesiętnym) to mamy
log 10k-1 21000 < 10k
k - 1 1000 log 2 < k.
Pytanie zatem brzmi jak jest część całkowita liczby 1000 log 2. Ponieważ mnożymy
przez 1000 potrzebujemy do tego wartość log 2 z dokładnością do 0,001. Oczywiście
to żaden problem dla kalkulatora i mamy
1000 log 2 H" 1000 · 0, 301 = 301.
Zatem liczba 21000 ma 302 cyfry (bo w nierówności ma być 1000 log 2 < k).
8
Żeby nie zaciemniać obrazka nie przejmowaliśmy się na razie dziedziną logarytmu, ale war-
to pamiętać, że w wyrażeniu loga b musi być a, b > 0 i a = 1. Takie rzeczy zaczynają być
bardzo ważne, gdy mamy parametry i nie wiemy dokładnie jaki mają znak.
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
1
Rozwiążmy równanie xx = , gdzie x > 0. Logarytmujemy stronami logarytmem
x
przy podstawie x.
1
xx =
x
1
logx xx = logx
x
x = -1.
Mieliśmy szukać tylko dodatnich rozwiązań, więc równanie jest sprzeczne.
Na pewno? Logarytmować przy podstawie x mogliśmy tylko dla x = 1, więc x = 1
musimy sprawdzić osobno. I tak się składa, że to akurat jest rozwiązanie.
Spróbujmy rozwiązać równanie log[x(x + 3)] - log[x(x + 2)] = log 2.
Liczymy
x(x + 3)
log = log 2
x(x + 2)
x + 3
= 2
x + 2
x + 3 = 2x + 4
0 = x + 1 Ò! x = -1.
Rachunek wygląda niewinnie, ale x = -1 wcale nie jest rozwiązaniem równania!
(Bo argumenty logarytmów wychodzą ujemne.) Z drugiej strony, x = -1 jest roz-
x(x+3)
wiązaniem równania log = log 2. Po prostu lewa i prawa strona równości
x(x+2)
x(x + 3)
log[x(x + 3)] - log[x(x + 2)] = log
x(x + 2)
mają różne dziedziny.
9
Widzieliśmy przed chwilą, że trzeba bardzo ostrożnie używać wzorów z logarytmami, gdyż
na ogół zmieniają one dziedzinę przekształcanego wyrażenia. W niektórych sytuacjach wy-
godne jest połączenie wzorów z logarytmami razem z wartością bezwzględną, co znacznie
zwiększa możliwości ich zastosowania.
Dziedzina prawej strony wzoru log(xy) = log x + log y jest znacznie mniejsza od
dziedziny lewej strony. Jeżeli jednak zapiszemy ten wzór w postaci
log |xy| = log |x| + log |y|
to dziedziny obu stron są dokładnie takie same.
Materiał pobrany z serwisu
8
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Podobnie jest z wzorem log xn = n log x. Jeżeli n = 2k jest liczba całkowitą parzystą,
to lewa strona ma sens dla dowolnych niezerowych liczb x, a prawa tylko dla liczb
dodatnich. Jeżeli jednak napiszemy ten wzór w postaci
log x2k = 2k log |x|,
to dziedziny obu stron są identyczne. O wzorze tym należy myśleć jak o odpowied-
niku wzoru
"
2k
x2k = |x|.
Rozwiążmy równanie log2(3x + 4)4 = 4.
Mamy
4 log2 |3x + 4| = 4
log2 |3x + 4| = 1
|3x + 4| = 2
3x + 4 = 2 (" 3x + 4 = -2
2
x = - (" x = -2.
3
10
Często wykorzystywany motyw w zadaniach szkolnych to fakt, że logarytm zamienia ciąg
geometryczny na arytmetyczny.
an+1
Jeżeli ciąg (an) jest geometryczny, to iloraz nie zależy od n. Jeżeli tę równość
an
zlogarytmujemy
an+1
log = log an+1 - log an,
an
to widzimy, że różnica ta nie zależy od n, czyli ciąg (log an) jest ciągiem arytme-
tycznym.
11
Niezwykła użyteczność logarytmu wynika z faktu, że zamienia on mnożenie na dodawa-
nie. Jeżeli popatrzymy na wzór log(ab) = log a + log b to widać, że jeżeli umiemy zamieniać
liczby na logarytmy i odwrotnie (np. mamy tablice logarytmów), to zamiast mnożyć liczby
a i b możemy dodać ich logarytmy. I co z tego? Żeby to zrozumieć trzeba się przenieść w cza-
sy przedkalkulatorowe: proponuję spróbować pisemnie wymnożyć 10 liczb 3 cyfrowych, a
wtedy będzie jasne dlaczego dodawanie jest o wiele prostsze od mnożenia. Nawet w cza-
sach współczesnych procesorów, mnożenie jest bardzo czasochłonną operacją i zamiana go
na dodawanie dramatycznie przyśpiesza obliczenia.
Materiał pobrany z serwisu
9
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Policzmy 45, 21 · 21, 43.
Sprawdzamy w tablicach (na kalkulatorze :)), że
log 45, 21 H" 1, 65523
log 21, 43 H" 1, 33102.
Dodajmy te liczby i mamy 2,98625. Teraz szukamy jakiej liczby to jest logarytm
(czyli liczymy 102,98625). Wychodzi 968,84. Osobny problem to szacowanie jaki po-
pełniamy błąd, ale nie będziemy się tym zajmować.
Tego typu rachunki miały fundamentalne znacznie w czasach rewolucji przemysłowej, a
suwak logarytmiczny jeszcze nie tak dawno temu był nieodłącznym atrybutem każdego
inżyniera.
12
Przed chwilą przekonywałem, że logarytmy pozwalają łatwo mnożyć liczby, ale to nie wszyst-
ko. Dzięki wzorowi
log an = n log a
pozwalają też szybko liczyć wartości funkcji wykładniczych oraz pierwiastków.
"
7
Policzmy 37.
Zamiast liczyć interesującą nas liczbę, liczymy jej logarytm.
"
1 1
7
log 37 = log 377 = log 37.
7
Teraz odszukujemy wartość log 37 w tablicach (na suwaku), dzielimy przez 7
1
log 37 H" 0, 224.
7
Na koniec szukamy liczby, której jest to logarytm. Wyjdzie
"
7
37 H" 1, 675.
Oczywiście takie rachunki są dość archaiczne w dzisiejszych czasach i pozostają ciekawost-
kÄ… historycznÄ….
Materiał pobrany z serwisu
10