#"a#"
Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej a jest liczba spełniająca równości:
#"a#"=a gdy ae"0
#"a#"=-a gdy a"Ä…0
Przykłady:
gdy aÄ…b , gdy a"Ä…b
52=5 śą-5źą2=-śą-5źą=5
ćą ćą
gdy aÄ…b , gdy a"Ä…b
śą a-bźą2=#"a-b#"=a-b śą a-bźą2=#"a-b#"=-śąa-bźą=b-a
ćą ćą
Logarytm o podstawie a liczby dodatniej b to wykładnik c potęgi, do której należy podnieść a, aby
otrzymać liczbę b:
loga b=cÔ! ac=b
Liczbę b nazywa się liczbą logarytmowaną. Zakłada się, że a i b są liczbami dodatnimi oraz
a`"1 . Z określenia logarytmu natychmiast wynika, że potęga o podstawie a i wykładniku
loga b
jest równa b:
a
alog b=b
Zapis bez indeksu log a nie jest jednoznaczny. W różnych dziedzinach może oznaczać logarytm
naturalny, dziesiętny lub binarny. Dlatego, gdy podstawa nie wynika z kontekstu użycia, należy
używać zapisu jednoznacznego:
log10 x=log x
logarytm dziesiętny -
loge x=ln x
logarytm naturalny -
log2 x=lg x
logarytm binarny -
loga x
logarytm o podstawie a -
Prawa działań na logarytmach wynikają z praw dotyczących wyrażeń potęgowych:
logarytm jedności równa się zero:
loga 1=0
logarytm podstawy logarytmu równa się jedności:
loga a=1
logarytm iloczynu dwóch lub kilku czynników równa się sumie logarytmów
poszczególnych czynników:
loga śąbÅ"cźą=loga bƒÄ…loga c
logarytm ilorazu dwóch liczb równa się różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika:
loga b =loga b-loga c
c
logarytm liczby w danej potędze równa się iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu tej
liczby:
loga bc=cÅ"loga b
cÅ"log
loga n bc= b
ćą
a
n
logarytm o podstawie w formie potęgowej równa się iloczynowi odwrotności potęgi c i
ac
logarytmowi o podstawie a:
1Å"log
loga b= b
c
a
c
Zależności między logarytmami o różnych podstawach:
iloraz logarytmów dwóch liczb b, a przy jednakowej podstawie c równa się logarytmowi
pierwszej liczby b przy podstawie równej drugiej liczbie a:
logc b
=loga b
logc a
jeśli jedna liczba logarytmowana jest równa podstawie logarytmu drugiej liczby
logarytmowanej i odwrotnie, to iloczyn tych liczb równa się jedności:
loga bÅ"logb a=1
log eÅ"ln 10=1
Ćwiczenia:
1. Oblicz:
Ćą
10
ćą ćą
log3ćą3 27 log9 tan
a) log2 2 2 log3 9 27 log5 5 d) log 10 e) f)
ćą b) ćą c)
śą źą
6
25 1000
1
1
2ƒÄ… lg 16 3 3
5 log5 3
log3 5 log2527 3
g) h) i) j) -5log 2
k)
2 2log 5
log 2 6 15
ćą ćą ćą
śą źą
10 9
ćą ćą
15 3 5
ćą ćą
l) log
25 3
ćą ćą
ćą
logc b
=loga b
2. Wykazać prawdziwość wzoru na zmianę podstaw logarytmów:
logc a
loga xƒÄ…log1 x=0
3. Udowodnij, że
a
4. Liczba osobników Digitalis purpurea przeżywających w czasie t (przeżywalność mierzona
liczbą osobników, każdego miesiąca, poczynając od pojawienia się siewek) określona jest
równaniem :
y=100 e-0,231 t
a) jaki jest początkowa liczba roślin,
b) jaki jest czas po którym połowa siewek przeżyje
Digitalis purpurea jest rośliną monokarpiczną, kiełkującą na wiosnę i kwitnącą w lato
następnego roku. Zakładając, że 15 miesięcy jest potrzebne, aby uzyskać dojrzałość
płciową, jak wiele osobników najprawdopodobniej przeżyje do tego czasu.
5. Znając równanie na zmianę frekwencji alleli przy założeniu kodominacji (tzn. homozygoty
mają różne wartości dostosowania, zaś heterozygota posiada dostosowanie o wartości, która
jest średnią dwóch homozygotycznych genotypów) znalez
ć czas (liczony w liczbie
A2 q0=0,2 qt=0,6
generacji) po jakim frekwencja allelu zmieni siÄ™ z do (przy
1
qt=
1-q0 .
s=0,001 :
1ƒÄ… e-st
śą źą
q0