Na wykładach będziemy poznawać podstawy matematyki, na ćwiczeniach już będziemy się zajmować liczeniami.

Pojęcie funkcji liniowej, funkcja kwadratowa do przypomnienia sobie.

Telefon do księdza Porwolika - 605 963 601.

Zaliczenie :

1. Ćwiczenia - dwa kolokwia, ewentualnie pytania. Zadania do robienia. Można mieć dwie nieobecności, jeśli więcej, to trzeba być odpytanym z tego, na czym się nie było.

2. Wykłady - znajomość wykładów, oraz notatki z wykładów.

Lektury :

Rasiowa, „Wstęp do matematyki”.

Repetytorium z matematyki dla szkoły wyższej.

Pierwszy temat : „Pojęcie funkcji”

Co to jest funkcja?

Definicja pierwsza : Niech dane będą dwa zbiory, X i Y. Przez funkcję, której argumenty przebiegają zbiór X, wartości zaś należą do zbioru Y, rozumiemy każdy podzbiór F iloczynu kartezjańskiego (XxY) o tej własności, że dla każdego x∈X istnieje jeden, i tylko jeden, Y taki że <x, y> (para uporządkowana) należy do F.

Taki zapis : <x,y>∈F, jest taki sam, jak ten zapis : y = F(x). F:X→Y; itd., itp.

Y^X jest to zbiór wszystkich funkcji z (F:X→Y).

Dziedzina funkcji : D_f = {x : istnieje y taki, że : <x,y> ∈ f}.

Zbiór wartości : R_f = {y : istnieje x taki, że <x,y> ∈ f}.

N -

Z -

Q -

R - Liczby rzeczywiste.

Przykłady funkcji :

1. f = {<x, y> ∈ R x R : y = x²} - będzie to funkcja kwadratowa. Dziedzina funkcji - wszystkie x, czyli R; Zbiór wartości - od 0 do plus nieskończoności.

3. g = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 1>, <4, 2>, <5, 3>} - Dziedzina : 1, 2, 3, 4, 5; Zbiór wart : 1, 2, 3. g : {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3}.

4. h (x) = 1/x h = {<x, y> należących do R x R : x razy y = 1} - Dziedzina = R\{0}; Zbiór wartości = R\{0}.

5. c = {<x, y> : x należy do A} A - zbiór a należących do A. Dziedzina funkcji c = A; Zbiór wartości - {a}. Czyli będzie to funkcja liniowa, taka pozioma bardzo...

6. d = {<x, y> należących do RxR : y = x} Dziedzina = R; Zbiór wartości = R. To funkcja liniowa, przestrzał przez punkt (zero - zero).

Uwaga - jeśli X jest zbiorem liczb naturalnych, wówczas funkcję F nazywamy ciągiem nieskończonym. Wtedy zamiast f(n) piszemy f_n (a_n), a wartości funkcji nazywamy wyrazami ciągu. „Ciąg” w takim ujęciu jest rodzajem funkcji - przyporządkowuje liczbom naturalnym jakieś elementy.

Na funkcję możemy popatrzeć również z innej strony - dopatrując się w niej jakiegoś rodzaju relacji. Pojęcie funkcji jest szczególnym rodzajem relacji. Jeżeli relacja ϑ spełnia warunek (xϑy)∩(xϑy') (y = y').

Definicja druga : funkcję (f : X Y) nazywamy funkcją „ze zbioru X na zbiór Y” wtedy i tylko wtedy, gdy R_f = Y. Gdy zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie. Taki zbiór nazywamy „surjekcją”.

Przeciw dziedzina to będzie zbiór Y. Zbiorem wartości będą te wszystkie Y, które odpowiadają X-om. Dziedziną są wszystkie x, które używamy.

Kiedy coś nie jest funkcją? Wtedy, gdy następniki są różne przy takich samych poprzedników, oraz gdy jest taki poprzednik, który nie ma następnika.

Definicja trzecia - funkcja R z <x, y> nazywamy „różnowartościową” (f : X Y a nad strzałką jest [1 - 1]), jeśli różnym argumentom odpowiadają różne wartości. Czyli z tego, że x₁∈ X, x₂ ∈ X, x₁ ≠ x₂. Nazywa się to potocznie „iniekcją”.

Definicja czwarta : Funkcję f nazywamy funkcją „wzajemnie jednoznaczną ze zbioru X na zbiór Y”( f : X Y nad strzałką jest [1 - 1], pod strzałką napis „na”), jeśli jest ona różnowartościowa i na. To się nazywa „bijekcja”.

Uwaga : Funkcja, która idzie z X-a na X (a jednocześnie jest bijekcją), nazywamy „permutacją” zbioru.

Uwaga : Dla dowolnej funkcji różnowartościowej f mamy coś takiego, że jest bijekcją z dziedziny tej funkcji na zbiór wartości tej funkcji - pozwala nam to zrobić z dowolnej iniekcji bijekcję.

---