Cel ćwiczenia:

- obserwacja wzajemnego oddziaływania ciał poruszających się w gazie, wywołanego

lepkością gazu,

• wyznaczenie współczynnika lepkości gazu

Część teoretyczna:

Współczynnik lepkości jest wielkością charakterystyczną dla gazów i cieczy, przy czym zmienia się on w zależności od temperatury - dla cieczy maleje wraz z jej wzrostem a dla gazów rośnie. Zjawisko lepkości w gazach nazywa się czasami zjawiskiem transportu pędu a wynika to z tego, że cząsteczki gazu przechodząc z warstwy poruszającej się szybciej do warstwy poruszającej się wolniej przenosi swój pęd związany z ruchem uporządkowanym zwiększając pęd warstwy, do której przeniknęła. Określając ile cząsteczek przenika średnio, w jednostce czasu, z jednej warstwy do drugiej, można obliczyć zmianę pędu warstwy - zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona siłę działającą na daną warstwę:

A ponieważ ogólnie wartość siły stycznej F_t , zwaną siłą tarcia wewnętrznego można zapisać wzorem:

gdzie: dv - różnica prędkości warstw

dx - odległość, na której ta różnica występuje

η - współczynnik lepkości

Dokonując obliczeń dochodzimy do wyrażenia na siłę wzajemnego oddziaływania warstw, który porównujemy z poprzednim otrzymując w ten sposób wzór określający współczynnik lepkości:

gdzie: λ - średnia droga swobodna cząsteczek

u - średnia prędkość ruchu chaotycznego

ρ - gęstość gazu

W praktyce wyznaczanie współczynnika lepkości gazu może być wyznaczone np. metodą wirujących tarczy - w metodzie tej ruch obrotowy dolnej tarczy wywoływany przez silnik elektryczny przenoszony jest poprzez gaz na górną tarczę wywołując jej odchylenie o pewien kąt ϕ. Pomiar kąta skręcenia tarczy wykonuje się odczytując go ze skali z podziałką, na którą pada wiązka laserowa odbita od zwierciadła umieszczonego na górnej tarczy. Kąt skręcenia tarczy odczytujemy ze wzoru:

gdzie: a - przesunięcie plamki na skali

l - odległość skali od zwierciadła

Pomiar częstości obrotów tarczy jest wykonywany w następujący sposób:

Na osi silnika jest osadzona tarcza z otworami, fotodioda jest oświetlana żarówką, liczba impulsów zarejestrowanych przez licznik częstości jest miarą prędkości kątowej obrotów tarczy. Ostatecznie częstotliwość f obrotów tarczy jest równa częstotliwości f_n odczytanej z miernika podzielonej przez liczbę n - otworów w tarczy:

Niepożądane wibracje tarczy są eliminowane przez wzbudzenie w niej prądów wirowych za pomocą elektromagnesów.

Przestrzeń między tarczą wirującą a tarczą nieruchomą wypełniona jest gazem, który podzielić można na nieskończenie cienkie warstwy równoległe do tarcz. Warstwy te wirują a prędkość kątowa ruchu wirowego zawarta jest w granicach od 0 (dla warstwy przylegającej do warstwy nieruchomej) do prędkości równej prędkości ω=2πf tarczy ruchomej (f - częstość obrotów).

W przypadku ruchu laminarnego warstw zależności prędkości kątowej od współrzędnej x poprowadzonej prostopadle do tarcz jest liniowa. Aby określić moment sił z jaką tarcza wirująca dzięki siłom lepkości gazu, oddziałuje na tarczę nieruchomą wybiera się dwie sąsiednie warstwy gazu. W warstwach tych wybieramy nieskończenie cienkie pierścienie o promieniach r i szerokości dr. Pierścienie te oddziałują wzajemnie na siebie z siłą:

gdzie: η jest poszukiwanym współczynnikiem lepkości gazu, a wielkości dv i ds. możemy w tym przypadku napisać następująco:

Moment sił oddziaływania:

zatem:

Całkując obustronnie ostatnie wyrażenie (w granicach od 0 do R po prawej stronie, gdzie R - promień tarczy), otrzymujemy całkowity moment sił oddziaływania wybranych nieskończenie cienkich warstw o powierzchni równej powierzchni tarczy:

Przy założeniu liniowego rozkładu prędkości kątowych warstw gazu, lokalny gradient prędkości kątowej dϖ/dx równy jest gradientowi średniemu na całej odległości d między tarczami. Na tej podstawie otrzymujemy ostateczne wyrażenie na moment sił oddziaływania tarczy wirującej na tarczę nieruchomą:

Moment sił reakcji sprężystej nici, na której zawieszona jest tarcza nieruchoma, dla małych kątów skręcenia, jest proporcjonalny do tego kąta:

M = - Dϕ

gdzie D jest momentem kierującym zależnym od geometrii i rodzaju materiału nici. Wartość tego momentu można wyznaczyć pośrednio, mierząc okres drgań swobodnych (słabo tłumionych) tarczy zawieszonej na nici. Okres ten, zgodnie z teorią wahadła torsyjnego, dany jest wzorem:

gdzie: I - moment bezwładności tarczy.

Podstawiając ten wzór do poprzedniego otrzymujemy:

Współczynnik lepkości gazu można wyznaczyć porównując powyższe wzory:

Część pomiarowa:

1. Pomiar odległości między tarczami.

Jedna podziałka równa jest 25 μm; odległość między tarczami d = 3,8 podziałki ± 0,1 tj.

d = 95 μm ± 0,25 μm.

2.Wyniki pomiarów dla kilku częstotliwości f obrotów tarczy przedstawia poniższa tabela:

Napięcie U	Częstotliwość fm	Wychylenie a	Kąt skręcenia tarczy ϕ	Δfm	Δa
[V]	[Hz]			[Hz]
2,3	45	2,5	1,25
3,7	240	11,5	5,75
5,3	478	22,5	11,25
5,6	537	25	12,5	1,2	0,5
5,6	538	25	12,5	0,2	0,5
5,6	537	25	12,5	1,2	0,5
5,6	543	25	12,5	4,8	0,5
5,6	537	25	12,5	1,2	0,5
5,6	538	25	12,5	0,2	0,5
5,6	538	25	12,5	0,2	0,5
5,6	539	25	12,5	0,8	0,5
5,6	538	25	12,5	0,2	0,5
5,6	537	25	12,5	1,2	0,5

m = (41,7 ± 0,1) [g] - masa tarczy

R = (2,48 ± 0,01) [cm] - promień tarczy

U_c= (10 ± 0,1) [V] - napięcie na cewkach

L = (1 ± 0,05) [m] - odległość podziałki od tarczy

Wartość średnia częstotliwości odczytanej z miernika przy ustalonym już napięciu na ok. 5,6 [V] wynosi: f_m = (538,2 ± 1,1) Hz.

Ostatecznie częstotliwość f obrotów tarczy jest równa średniej częstotliwości f_m odczytanej z miernika podzielonej przez liczbę otworów n = 24 w tarczy:

f = 538,2/24 = (22,425 ± 0,045) Hz

Kąt skręcenia tarczy obliczyć można ze wzoru (j.w.)

φ = 25/2 ^. 1 = 12,5° ± 0,25°

Aby zmierzyć okres T drgań swobodnych tarczy należało ustawić odbite światło lasera na środku oddalonej o ok. 1 m podziałki, następnie włączając silnik spowodować odchylenie punktu świetlnego nieco więcej niż połowa podziałki, wyłączyć jednocześnie silnik i cewki oraz zmierzyć czas dziesięciu wahnięć punktu i dzieląc przez dziesięć otrzymać okres T.

Podstawiając ostatecznie do wzoru na współczynnik lepkości otrzymujemy:

η = (2 ^. 41,7 ^. 10^{-3 .} 95 ^. 10^{-6 .} 12,5)/((5,277)^{2 .} (0,0248)^{2 .} 22,425) = 0,00025788 [Ns/m²]

Błąd tego pomiaru obliczamy za pomocą różniczki logarytmicznej:

Δη = ( Δm /m + Δd /d + Δφ /φ + ΔT /T + ΔR/R + Δf/f)^. η

czyli:

Δη = (0,1/41,7 + 0,25/95 + 0,25/12,5 + 0,1/5,277 + 0,01/2,48 + 0,045/22,425) ^.

^. 0,00025788 = 0,000008 [Ns/m²]

Wnioski:

Podczas pomiaru współczynnika lepkości gazu metodą wirujących tarczy podstawowymi czynnikami wpływającymi na różnicę uzyskanych wyników z wynikami tablicowymi mogły być np.: czynniki ludzkie (błąd odczytu, drgania przenoszone na przyrząd pomiarowy lub niedokładne ustawienia układów pomiarowych), czynniki zewnętrzne (zmiany temperatury, zanieczyszczenie powietrza) itp.

1

---