Nr ćwiczenia 221	Data: 03.11.2003	Wiktor Waszkowiak	Wydział Fizyki Technicznej	Semestr III	Grupa II
mgr inż. Robert Hertmanowski			Przygotowanie:	Wykonanie:	Ocena:

Analiza harmoniczna przebiegów impulsów podstawowych.

Funkcje ψ(t) opisująca kształt impulsu napięcia możemy przedstawić w postaci szeregu Fouriera:

,(4.56)

gdzie : τ-czas trwania impulsu;

T- okres powtarzania;

a_n ,b_n - współczynniki Fouriera.

Współczynniki Fouriera określone są wzorami:

Uwzględniając, że impuls napięcia jest różny od zera w czasie τ mamy:

(4.57)

Oznaczając: ν =n/T jako częstotliwość n-tej składowej harmonicznej, natomiast a_ν i b_ν- amplitudy tych składowych otrzymujemy:

zwanych funkcjami widmowymi impulsu o kształcie ψ(t), mamy:

( 4.58)

gdzie: n= 1/T jest częstotliwością powtarzania impulsu.

Częstotliwość n-tej harmonicznej wyraża się teraz jako ν=nN.

Zależność amplitud składowych a_ν i b_ν od częstotliwości ν przedstawia na wykresie dyskretny zbiór prążków, nazywany widmem impulsu lub widmem funkcji ψ(t). Jeżeli na przykład składowe b_ν =0, to widmo impulsu zawiera tylko składowe a_ν .

Gdy zmienia się częstość powtarzania N przy nie zmienionym krztalcie impulsu, wówczas stosunek między amplitudami a_ν pozostaje niezmieniony, chociaż ich bezwzględne wartości zmieniają się wprost proporcjonalnie do N.

Funkcje A_ν i B_ν nie zależą od T, ani od N. Więc wygodnie jest wyrazić widmo jako zależność funkcji widmowych od częstotliwości kolejnych harmonicznych.

Rozważmy trzy szczególne przypadki znanych impulsów podstawowych:

1.Impuls prostokątny(A-amplituda, τ-czas trwania, T- okres powtarzania).

Gdy w środku impulsu przypada początek osi czasu, wówczas kształt impulsu będzie określać funkcja parzysta. Wówczas w szeregu 4.56 nie mogą wystąpić sinusy jako harmoniczne funkcje nieparzyste, czyli wszystkie współczynniki b_n będą równe zeru. Natomiast współczynniki przy harmonicznych funkcjach parzystych cosinus będą, zgodnie z formułą 4.57, określone wzorem:

Gdzie: N= 1/T i jest częstotliwością powtarzania impulsów, a ν=n/T =nN i jest częstością danej harmonicznej. Wobec tego wartości amplitud kolejnych składowych harmonicznych mają postać:

(4.59)

tak więc w warunkach tych szereg Fouriera (4.56) można zapisać:

(4.60)

Pierwszą zerowa harmoniczną nazywamy pierwszy współczynnik o wartości takiej przy której argument sinusa jest równy π, w tedy amplituda tej harmonicznej staje się równa zeru. Harmoniczna ta przyjmuje postać:

W miarę zmniejszania okresu powtarzania impulsów, prążki widma będą rozmieszczane coraz rzadziej. Maksymalna wartość, do której celowe jest zmniejszanie okresu, wynosi 2τ. Dalsze zmniejszanie okresu prowadzi do przypadku, w którym przerwa między impulsami napięcia staje się mniejsza od ich szerokości. Wystarczy w tedy zmienić znak przy składowych harmonicznych, tzn. odwrócić wykres, aby dojść do wcześniej rozważanego kształtu napięcia.

Dla granicznego przypadku T= 2τ częstotliwość podstawowa,a także różnica częstotliwości sąsiednich składowych N=1/T=1/( 2τ). Szereg Fouriera (4.60) w tych warunkach przyjmuje postac:

(4.61)

Gdy oś y= ψ(t) zostanie przesunięta o połowę szerokości impulsu, (o τ/2), wówczas (4.61) będzie zawierał tylko funkcje sinus. Wynika to z następującego rozumowania. Przy nowym początku osi czasu

lub

Przyjmując dla uproszczenia, że t'=x oraz T=L, otrzymujemy:

( 4.62)

2.Impuls trójkątny symetryczny (A-amplituda, 2L- okres powtarzania).

Wszystkie współczynniki b_n przyjmuja wartość zero ponieważ funkcja ta jest funkcją parzystą.

Współczynnik Fouriera obliczamy w tym przypadku następująco: (4.63)

:

3.Impulsy piłokształtne (A-amplituda, 2L- okres powtarzania).

Rozwinięcie funkcji opisującej kształt impulsu piłokształtnego piłokształtnego szereg Fouriera ma postać: (6.64)

Zasada pomiaru:

Do przeprowadzenia tej analizy zastosowano interfejs pomiarowy połączony z komputerem. Program Scence Workshop obsługuje interfejs i symuluje na ekranie oscyloskop i analizator Fouriera. Oscyloskop umożliwia obserwację kształtów analizowanych impulsów, natomiast analizator Fouriera, dokonując analizy, wyświetla widmo tych impulsów. Impulsy są bezpośrednio podawane z generatora funkcyjnego na wejście analogowe interfejsu.

Parametry doprowadzonych impulsów odczytujemy z ekranu oscyloskopu. Analizator Fouriera umożliwia odczytanie amplitudy i częstotliwości kolejnych harmonicznych analizowanych impulsów.

Pomiary i obliczenia:

1.Dla impulsów prostokątnych:

τ=12,73 [ms], A=4,924 [V], T=13,19 [ms], Widmo częstotliwości Lp. n Kolejne piki xn [ms] Amplituda pików [V] 1 86,08 6,36 2 242,11 2,11 3 396,34 1,183 4 554,16 0,774 5 711,98 0,545 6 848,28 0,387 7 1004,3 0,391 8 1160,3 0,383

Wykres zależności amplitudy od częstotliwości dla impulsów prostokątnych w załączeniu.

Teoretyczne amplitudy pików w widmie częstotliwości obliczamy ze wzoru:

Amplituda wyznaczona doświadczalnie	Amplituda teoretyczna
6,36	4,0509554
2,11	4,0318471
1,183	3,7675159
0,774	3,4509554
0,545	3,1242038
0,387	2,711465
0,391	3,2375796
0,383	3,6592357

2) Dla impulsów trójkątnych:

τ=12,50 [ms], A=4,773 [V], T=12,73 [ms] Widmo częstotliwości Lp. Kolejne piki [ms] Amplituda pików [V] 1 0 0,431 2 18,66 0,99 3 37,31 2,183 4 58,3 2,817 5 76,96 0,802 6 95,62 0,457 7 116,6 0,345 8 137,59 0,275

Wykres zależności amplitudy od częstotliwości dla impulsów trójkątnych w załączeniu.

Teoretyczne amplitudy pików w widmie częstotliwości obliczamy ze wzoru:

Amplituda wyznaczona doświadczal-nie	Amplituda teoretyczna
0,431	0,175
0,990	1,205
2,183	4,428
2,817	8,000
0,802	2,928
0,457	2,039
0,345	1,820
0,275	1,673

3) Dla impulsów sinusoidalnych:

Dla częstotliwości: 68-88 Hz

τ=12,27 [ms], A=4.697 [V], T=12.73 [ms], Widmo częstotliwości Lp. Kolejne piki [ms] Amplituda pików [V] 1 86,08 4,809

Wykres zależności amplitudy od częstotliwości dla impulsów piłokształtnych w załączeniu.

Teoretyczne amplitudy pików w widmie częstotliwości obliczamy ze wzoru:

Amplituda wyznaczona doświadczalnie	Amplituda teoretyczna
4,809	1,5315287

Wnioski:

Niedokładność pomiarów w tym ćwiczeniu widać przy obliczaniu amplitud teoretycznych. Amplitudy te różnią się znacznie od tych uzyskanych doświadczalnie.

Niestety nie są znane przyczyny takich odchyleń.

---