7.7. Regulator proporcjonalno-całkowo-różniczkowy

(typu PID)

Regulator typu PID jest najbardziej uniwersalnym typem regulatora, dającym przy odpowiednim zakresie zmian nastaw możliwości dostosowania się do wymagań różnych obiektów.

Regulator typu PID powstaje przez dołączenie do regulatora typu PI elementu różniczkującego (elementu typu D).

Rys.7.34. Schemat ideowy regulatora proporcjonalno-całkowo-różniczkującoego (PID).

W idealnym regulatorze PID sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sumy sygnału wejściowego jego całki oraz pochodnej:

(7.54)

gdzie: K_p - współczynnik proporcjonalności, T_i - czas zdwojenia (jak w regulatorze),

T_d - czas wyprzedzenia (jak w regulatorze PD)

Transmitancja regulatora i jego odpowiedź jednostkowa są następujące:

(7.55)

(7.56)

Rys.7.35. Odpowiedź jednostkowa idealnego regulatora PID.

Transmitancja widmowa:

(7.57)

stąd

(7.58)

(7.59)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa idealnego regulatora PID jest prostą pionową przechodzącą w odległości K_p od osi urojonej.

Charakterystyki amplitudowa i fazowa są następujące:

(7.60)

(7.61)

Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa:

(7.62)

Można je w przybliżeniu zastąpić linią łamaną z trzech części (zakładamy T_i>T_d).

a)

b)

c)

d)

e)

Rys.7.36. Charakterystyki idealnego regulatora PID: a)amplitudowo-fazowa; b)amplitudowa; c)fazowa; d)logarytmiczna amplitudowa; e)logarytmiczna fazowa.

Regulatory PID realizuje się różnymi sposobami. Jednym z nich jest równoległe połączenie zespołów o działaniu proporcjonalnym (o wzmocnieniu równym jedności) całkującym i różniczkującym - poprzedzonych przez element proporcjonalny o współczynniku wzmocnienia K_p. Wtedy wobec niemożności praktycznej realizacji elementu różniczkującego idealnego o transmitancji T_dS trzeba stosować element różniczkujący z inercją. Taki regulator PID ma transmitancję:

(7.63)

Rys.7.37. Schemat blokowy regulatora PID utworzonego przez równoległe połączenie zespołów o działaniu takim, jak członu proporcjonalnego, całkującego idealnego i różniczkującego z inercją.

Odpowiedź jednostkowa:

(7.64)

Rys.7.38. Odpowiedź jednostkowa regulatora PID.

W chwili

(7.65)

potem maleje do

(7.66)

przy
, a następnie rośnie dążąc asymptotycznie do prostej

Charakterystykę amplitudową otrzymuje się wykreślając zależność:

(7.67)

czyli

(7.68)

stąd

(7.69)

(7.70)

a)

b)

c)

Rys.7.39. Charakterystyki regulatora: a)amplitudowo-fazowa; b)amplitudowa; c)fazowa.

Ze wzorów wynika, że przy
składowa rzeczywista P_r dąży do K_p, a składowa urojona do
. Wykres G_r(j) przecina oś rzeczywistą w punkcie o współrzędnych:

,
przy
(7.71)

a następnie dąży do punktu na osi rzeczywistej o współrzędnych

,
przy
(7.72)

Moduł transmitancji widmowej oraz kąt fazowy są następujące:

(7.73)

(7.74)

Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa

(7.75)

Rys.7.40. Charakterystyki logarytmiczne: a)logarytmiczna amplitudowa; b)logarytmiczna fazowa

W przybliżeniu można ją zastąpić linią łamaną złożoną z czterech części prostych (zakłada się T_i>T_d>T_r).

Następną strukturą, spotykaną przy tworzeniu regulatorów PID jest połączenie równoległe regulatora PI z regulatorem PD.

a)

b)

c)

d)

Rys.7.41. Schematy blokowe regulatora PID utworzonego przez: a)równoległe połączenie regulatora PI i regulatora PD; b)szeregowe połączenie regulatora PI i regulatora PD; c)objęcie wzmacniacza pętlą sprzężenia zwrotnego z szeregowo połączonym elementem inercyjnym pierwszego rzędu i elementem różniczkującym z inercją; d)objęcie wzmacniacza pętlą sprzężenia zwrotnego z dwoma przeciwsobnie połączonymi elementami inercyjnymi pierwszego rzędu.

Przy połączeniu równoległym regulatora PI z regulatorem PD wypadkowa transmitancji będzie następująca:

(7.76)

czyli

(7.77)

Otrzymuje się regulator PID, w którym zastępczy współczynnik wzmocnienia K_pZ oraz zastępcze stałe czasowe T_iZ i T_dZ są:

(7.78)

Przy połączeniu szeregowym regulatorów PI i PD transmitancja wypadkowa będzie następująca:

(7.79)

stąd

(7.80)

albo

(7.81)

Zastępczy współczynnik wzmocnienia K_pz i stałe czasowe T_iz oraz T_dz są następujące:

(7.82)

Gdy regulatory PID tworzy się przez objęcie wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego, wtedy do obwodu tego sprzężenia należy włączyć element o transmitancji:

(7.83)

czyli

(7.84)

Taką transmitancję otrzymuje się w wyniku szeregowego połączenia (rysunek c) członu inercyjnego pierwszego rzędu i członu różniczkującego z inercją o transmitancjach odpowiednio:

,
(7.85)

Wtedy:

(7.86)

Zastępczy współczynnik K_pz i stałe czasowe T_iz oraz T_dz są następujące:

(7.87)

(7.88)

(7.89)

Po objęciu wzmacniacza o współczynniku wzmocnienia K_w pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego otrzymuje się:

(7.90)

Przy odpowiednio dużym współczynniku K_w można przyjmować, że otrzymamy w ten sposób regulator jest typu PID o transmitancji:

(7.91)

Sposób realizacji regulatora PID polegający na objęciu wzmacniacza pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego z dwoma członami inercyjnymi pierwszego rzędu o transmitancjach:

,
(7.92)

Sygnały wyjściowe tych członów odejmują się.

Transmitancja obwodu sprzężenia zwrotnego:

(7.93)

czyli

(7.94)

Transmitancja wypadkowa układu przedstawionego na rysunku d jest następująca:

(7.95)

Jeżeli k₁=k₂=k₃ i wzmocnienie K_w dobrano odpowiednio duże, to można przyjmować, że układ z rysunku d jest regulatorem PID o transmitancji:

(7.96)

Zastępczy współczynnik K_pZ i stałe czasowe T_iZ oraz T_dZ są:

(7.97)

Regulatory PID stosuje się wtedy, gdy potrzebna jest reakcja na zmianę warunków pracy skuteczniejszą niż w regulatorze P lub PI oraz likwidacja uchybu ustalonego.

7.7.1. Analiza regulatora PID.

Rys.7.42. Regulator PID

Tok postępowania:

1. Obliczamy :

przyjmujemy: U_d=U_d'=0

Stosując I prawo Kirchhoffa mamy:

(7.98)

(7.99)

(7.100)

czyli

(7.101)

oraz

(7.102)

przy

(7.103)

mamy

(7.104)

(7.105)

(7.106)

po podstawieniu mamy

(7.107)

to

(7.108)

(7.109)

(7.110)

czyli

(7.111)

2. Obliczamy napięcia wyjściowe członów regulatora:

1. układ proporcjonalny:

z I prawa Kirchhoffa mamy:

(7.112)

czyli:

(7.113)

to

(7.114)

przyjmując:

(7.115)

otrzymamy:

(7.116)

2. układ różniczkujący

dla kondensatora mamy:

(7.117)

to

(7.118)

z I prawa Kirchhoffa mamy:

(7.119)

czyli

(7.120)

to

(7.121)

przyjmując

otrzymujemy

(7.122)

3. charakterystyki

Rys.7.43. Charakterystyki dla układu proporcjonalnego.

Rys.7.44. Charakterystyka dla układu całkującego.

Rys.7.45. Charakterystyka dla układu różniczkującego.

3. Wielkość wyjściowa regulatora PID:

z I prawa Kirchhoffa mamy:

dla
(7.123)

czyli mamy:

(7.124)

to:

(7.125)

a przyjmując:
(7.126)

mamy:
(7.127)

można jeszcze:

(7.128)

Zasada działania:

1. Układ proporcjonalny P

Charakteryzuje się tym, że w każdej chwili jego sygnał wyjściowy y jest proporcjonalny do sygnału wejściowego x według zależności:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia

Rys.7.46 Schemat blokowy regulatora P.

Po transformacji Laplace'a równanie ma postać:

(7.129)

A transmitancja operatorowa ma postać:

(7.130)

gdzie: X(s) - transmitancja wielkości wejściowej x(t), w rozpatrywanym przykładzie - U_(t);

Y(s) - transmitancja wielkości wyjściowej y(t), w rozpatrywanym przykładzie - U_p(t);

k - współczynnik wzmocnienia, w rozpatrywanym przykładzie -

Przy bardzo dużym wzmocnieniu można doprowadzić do U_=0 . W praktyce nie jest to możliwe, ponieważ:

Przy U_=0 , U_p=0

tym samym U_wyj = 0 i układ nie działa, a układ zadający generuje sygnał.

2. Układ całkujący I

Wielkość wyjściowa związana jest z wielkością wejściową zależnością:

Rys.7.47. Schemat blokowy regulatora I.

gdzie: T - stała czasowa całkowania

Zależność tę można przedstawić w postaci:

(7.131)

gdzie:
- współczynnik wzmocnienia układu całkującego

W rozpatrywanym przykładzie mamy:

(7.132)

Przekształcając zależność
otrzymujemy:

(7.133)

W rozpatrywanym przykładzie mamy:

(7.134)

Transmitancja operatorowa jest:

lub
(7.135)

W przykładzie mamy:

(7.136)

Przyjmując:

Dla x zmieniającego się skokowo mamy:

(7.137)

rozdzielając zmienne otrzymujemy:

lub
(7.138)

a całkując otrzymamy:

lub
(7.139)

lub
(7.140)

w rozpatrywanym przykładzie mam

lub
(7.141)

jeżeli dla czasu t=0 wartość wyjściowa y=0, to wówczas C=0 i ostatecznie otrzymujemy:

lub
(7.142)

a w przykładzie:

lub
(7.143)

Graficznie zależności te można przedstawić:

Rys.7.48. Odpowiedź skokowa (jednostkowa) Rys.7.49. Odpowiedź skokowa (jednostkowa) ogólnie dla rozpatrywanego przykładu

Skala czasowa układu całkującego T jest to czas, po którym wielkość wyjściowa osiągnie wartość zakłócenia skokowego X_sk (czyli sygnału wejściowego).

Wielkość wejściowa układu jest wprost proporcjonalna do całki wielkości wejściowej, a odwrotnie proporcjonalna do stałej całkowania T.

a)

b)

Rys.7.50. Charakterystyki: a) amplitudowa; b) fazowa.

Wnioski:

1. Regulator typu P nie zapewnia utrzymania zgodności wartości wielkości regulowanej z wartością zadaną, jeżeli na układ działają zakłócenia.

2. Regulator typu I w porównaniu z P powoduje znaczne wydłużenie czasu regulacji i łatwo prowadzi do niestabilności układu w którym pracuje. Wydłużenie czasu regulacji wynika stąd, że w chwili zmiany wartości uchybu sygnału wejściowego, sygnał ten nie zmienia się. Dopiero po czasie równym stałej czasowej całkowania zmiana wartości sygnału wejściowego regulatora będzie taka, jaką na wyjściu regulatora proporcjonalnego otrzymujemy w chwili zmiany wartości uchybu.

3. Układ proporcjonalno-całkujący P-I

Rys.7.51. Schemat blokady regulatora proporcjonalno-całkującego PI.

z układu otrzymujemy:

(7.144)

transmitancja operatorowa:

(7.145)

Uchyb ustalony w układach regulatora PI może być sprowadzony do zera. Czas zdwojenia T_i to czas, po którym sygnał wyjściowy regulatora typu PI osiąga po wymuszeniu skokowym dwukrotnie większą wartość niż w regulatorze typu P.

Rys.7.52. Charakterystyka modułu regulatora proporcjonalnego.

Rys.7.53. Odpowiedź skokowa regulatora PI.

Z charakterystyki amplitudowej wdać, że moduł częstotliwości dążącej do zera (czyli w stanie ustalonym) dąży do nieskończoności.

Rys.7.54. Charakterystyka modułu regulatora PI.

4. Układ różniczkujący D

Wielkość wejściowa i wyjściowa związane są równaniem różniczkowym:

(7.146)

gdzie: k=T - współczynnik wzmocnienia (dla układu różniczkowego równy stosunkowi sygnału wyjściowego do pochodnej sygnału wejściowego)

w rozpatrywanym przykładzie mamy:

(7.147)

lub

(7.148)

Po wykonaniu transformacji Laplace'a mamy:

(7.149)

a transmitancja operatorowa ma postać:

(7.150)

w rozpatrywanym przykładzie mamy:

(7.151)

a transmitancja operatorowa:

(7.152)

Odpowiedź skokowa (jednostkowa) układu nazywa się funkcją
lub funkcją Diraca, określoną:

dla t<0 (7.153)

dla t=0 (7.154)

dla t>0 (7.155)

5. Układ proporcjonalno-różniczkujący PD.

Rys.7.55. Schemat blokowy regulatora PD.

Ze schematu wynika:

(7.156)

Transmitancja operatorowa równa się:

(7.157)

gdzie: T_d - czas wyprzedzenia (różniczkowania)

Na wykresie charakterystyki skokowej regulatora PD nie można pokazać czasu różniczkowania.

Rys.7.56. charakterystyka skokowa - idealna PD Rys.5.57. charakterystyka skokowa -

- rzeczywista PD

Graficzne przedstawienie czasu T_d jest możliwe na wykresie odpowiedzi regulatora PD na zakłócenia liniowo narastające. Czas różniczkowania T_d należy rozumieć jako czas o jaki wyjście regulatora PD wyprzedzałoby wyjście regulatora P przy tym samym sygnale wejściowym narastającym liniowo i tych samych wartościach K_p.

Rys.7.58. Odpowiedź regulatora PD na zakłócenia liniowo narastające.

Układ różniczkujący reaguje na szybkie zmiany i jego zadaniem jest ich niwelacja (czyli zmniejszanie wpływu).

Na szybkie zmiany układ proporcjonalny działa od razu, całkujący odpowiada powoli, a zadaniem różniczkującego jest reagowanie na impuls i zmniejszenie jego wpływu.

Nowoczesne metody prezentacji wiedzy w dydaktyce automatyki

Str.257

Regulatory PID

K_p

---