LABORATORIUM FIZYCZNE GRUPA LAB. 10
Kolejny nr ćwiczenia: 7	Nazwisko i imię: Bartosz Gatz	Wydział: ETI
Symbol ćwiczenia: 12	Data odrobienia ćwiczenia: 1996.04.18	Semestr: drugi
Temat: Badanie drgań własnych	Data oddania sprawozdania: 1996.04.25	Grupa st. I2
i rezonansowych ciał stałych	Podpis asystenta:	Ocena:

Jeżeli zadziałamy na ciało stałe jednorazowym pobudzeniem, to jeżeli pozbawione ono (ciało) będzie możliwości oddziaływania z otoczeniem, będzie wykonywać tak zwane drgania własne. Drgania własne zachodzą tylko z częstotliwościami określonymi dla fal stojących. Drgania własne ciał bez tłumienia opisać można równaniem różniczkowym:

gdzie: x określa wychylenie z położenia równowagi

_ to częstość drgań

Rozwiązaniem tego równania jest zależność:

gdzie A₀ to stała amplituda drgań

 to faza początkowa drgań

Jeżeli drgające ciało ma możliwość oddziaływania z otoczeniem, to mamy do czynienia z drganiami tłumionymi. Opisuje je następujące równanie różniczkowe:

gdzie  to tak zwany współczynnik tłumienia

Rozwiązaniem tego równania jest zależność:

gdzie

A jest zmienną amplitudą, malejącą w czasie od wartości początkowej A₀ aż do zera zgodnie z ekspotencjałem, natomiast

to częstość drgań tłumionych.

Tłumienie drgań charakteryzuje się przy pomocy wielkości zwanej logarytmicznym dekrementem tłumienia. Definiuje się go następująco:

gdzie T_t to okres drgań tłumionych

Powyższą zależność można też zapisać inaczej. W tym celu należy dokonać pewnych podstawień:

W ten sposób dostajemy:

Do opisu układu drgającego - inaczej oscylatora - wprowadzono pojęcie dobroci. Dobroć określa stosunek energii zgromadzonej na oscylatorze do energii traconej w wyniku zmiany amplitudy drgań podczas jednego okresu T_t. Oczywiście energia drgań jest uzależniona od amplitudy. Zależność określającą dobroć układu można przedstawić w następujący sposób:

Wstawiając do tego wzoru wyrażenia na energię oscylatora otrzymamy:

W przypadku, gdy mamy do czynienia z niewielkimi tłumieniami, czyli gdy 1/T_t wzór powyższy ma postać:

Trzecim typem drgań są drgania wymuszone. Opisuje się je następującym równaniem różniczkowym:

gdzie F_m to siła wymuszająca postaci:

Rozwiązaniem tego równania jest zależność:

gdzie:

Dla pewnych częstości _r zwanych rezonansowymi amplituda osiąga swoje maksimum. Częstość ta spełnia następujące równanie:

Zjawisko osiągania maksimum przez amplitudę nazwane zostało rezonansem. Występuje on jeżeli spełnione zostaną następujące warunki:

1⁰ częstość siły wymuszającej jest równa częstości rezonansowej

2⁰ współczynnik tłumienia nie przekracza wartości krytycznej, czyli

Jeżeli układ drga z częstością rezonansową, czyli wtedy gdy amplituda jest największa, układ przekazuje do otoczenia największą ilość energii. Zależność amplitud drgań wymuszonych od częstości w pobliżu częstości rezonansowej _r można przedstawić na wykresie. Uzyskane w ten sposób krzywe noszą nazwę krzywych rezonansowych. Ich kształt zależy od wartości współczynnika tłumienia.

Zjawisko rezonansu występuje nie tylko przy częstości rezonansowej _r, ale także dla częstości harmonicznych n⋅ω_r i podharmonicznych _r/n.

POMIARY i OBLICZENIA

W trakcie doświadczenia ciałem, które pobudzano do drgań był kamerton. Układ pomiarowy przedstawia rysunek:

GENERATOR

AKUSTYCZNY

WZMACNIACZ OSCYLOSKOP

MOCY

W części pierwszej doświadczenia kamerton pobudzano uderzeniami młotka i obserwowano na oscyloskopie zmianę amplitudy w czasie. Dla amplitudy skalą były umowne „jednostki oscyloskopu”. Dokonano trzech serii pomiarów: dla kamertonu bez żadnego dodatkowego tłumienia, dla kamertonu z tłumieniem poprzez pudło rezonansowe i dla kamertonu zanurzonego w kuwetce z olejem. Pobudzając kamerton uderzeniami młotka otrzymano zależności amplitudy od czasu zawarte w tabelach:

bez tłumienia			z pudłem rezonansowym			z olejem
czas [s]	amplituda		czas [s]	amplituda		czas [s]	amplituda
0	3		0	4		0	30
2	2,5		2	3		1,2	20
4	2,25		4	2,5		2,7	10
6	2		5	2		7	5
7,5	1,75		6	1,75		7,5	2
9	1,5		6,5	1,5		8,5	1
12	1,25		9	1
15,5	1		9,5	0,75
18	0,75		11,7	0,5
22	0,5

Dane z powyższych tabeli można zilustrować wykresami:

bez tłumień:

z pudłem rezonansowym:

z olejem:

Zgodnie z podanymi w części wstępnej wzorami amplituda maleje wykładniczo z czasem:

Jeżeli zależność tę zlogartumujemy obustronnie i podstawimy:

to otrzymamy równanie y=a⋅x + b, gdzie a = -β. Poniższe tabele zawierają obliczone dane:

bez tłumienia			z pudłem rezonansowym			z olejem
x	y		x	y		x	y
0	0		0	0		0	0
2	-0,18232		2	-0,28768		1,2	-0,40546
4	-0,28768		4	-0,47		2,7	-1,09861
6	-0,40547		5	-0,69315		7	-1,79176
7,5	-0,53899		6	-0,82668		7,5	-2,70805
9	-0,69315		6,5	-0,98083		8,5	-3,4012
12	-0,87547		9	-1,38629
15,5	-1,09861		9,5	-1,67398
18	-1,38629		11,7	-2,07944
22	-1,79176

Odpowiednie wykresy będą miały następującą postać:

bez tłumienia:

z pudłem rezonansowym:

z olejem:

Wartość współczynników tłumienia można określić teraz na podstawie obliczeń metodą regresji liniowej. W ten sposób otrzymujemy:

 _{BEZ TŁUMIEŃ} = 0,0731043 Hz

 _{Z PUDŁEM} = 0,17758 Hz

 _{Z OLEJEM} = 0,351143 Hz

W drugiej części doświadczenia, kamerton pobudzano generatorem akustycznym. W ten sposób starano się określić częstotliwość własną i rezonansową. Zauważono, że kamerton drga z częstotliwością dwa razy większą niż częstotliwość siły wymuszającej - generatora akustycznego. Oto tabele i wykresy przedstawiające narastanie i opadanie amplitudy rezonansowej dla kamertonu bez tłumienia oraz z tłumieniem w oleju, gdzie częstotliwość w tabeli to częstotliwość wyjściowa na generatorze.

bez tłumienia			z olejem
częstotliwość [Hz]	amplituda		częstotliwość [Hz]	amplituda
62	0,3		60	1,5
62,9	0,4		61	1,5
63,4	0,5		62,3	1,7
63,5	0,6		62,5	1,8
63,6	1		62,7	2
63,7	3,6		62,8	2,2
63,8	1,6		62,9	2,4
63,9	0,9		63	2,5
64	0,8		63,1	2,8
64,1	0,5		63,2	2,7
64,2	0,4		63,3	2,5
65	0,3		63,4	2,3
			63,5	2,2
			63,6	2
			63,7	1,9
			63,9	1,8
			64,2	1,7
			64,7	1,6

Częstotliwości rezonansowe zaznaczono w podwójnej ramce. Na podstawie tabel utworzyć można wykresy:

bez tłumień:

z tłumieniem w oleju:

Należy jeszcze wyznaczyć współczynnik dobroci układu. Do tego celu zastosowano wzór podany wcześniej. Obliczeń dokonano dla kamertonu drgającego w powietrzu, czyli bez dodatkowych tłumień. Z ekranu oscyloskopu odczytano okres trwania drgań, który wyniósł T=77 ms. Ponieważ częstotliwość drgań jest odwrotnością okresu, więc wyniesie ona f=127,4 Hz. Korzystając z wyznaczonego wcześniej współczynnika tłumienia można zapisać:

DYSKUSJA BŁĘDÓW

Błąd wyznaczenia wartości współczynnika tłumienia wynika z zastosowanej metody najmniejszych kwadratów. W ten sposób możemy obliczyć:

---