Analizowanie i programowanie ruchu wód

Zadanie 1A

Obliczyć jednostkowe natężenia przepływu (równe w obu częściach próbki)

Dane:

ΔH = 0,7m

L1= 0,4m

L2 = 0,2m

K1=1*10^-5m/s

K2=5*10^-6m/s

Równanie ciągłości :

q1 = q2

Dodając zależność wynikającą z prawa Darcy’ego+

1. 

Suma strat wynosi

2. 

Po rozwiązaniu układu równań (1) i (2) otrzymujemy:

Jednostkowe natężenie przepływu wynosi:

Zadanie 1 B

Rurka Kamieńskiego

Dane:

h₀=1m

L=0,5m

h_k=0,9m

t_k = 85 min

Znamy warunek początkowy

t=0, h=h₀

oraz współczynnik filtracji K

Po scałkowaniu równaniu różniczkowego otrzymujemy równanie

Po rozwiązaniu równaniu różniczkowego otrzymujemy:

Zadania 2A

Dane:

H_g=2,5m

H_D=0,5m

S=2m

D=4m

k=1*10^-5m/s

Założenia:

- ośrodek gruntowy jest jednorodny, izotropowy

_{- współczynnik filtracji jest stały:}

_{Główna zasada metody różnic skończonych}

_{Polega ona na przybliżonym spełnieniu równania różniczkowego (Laplace’a) w skończonej liczbie punktów ( w węzłach siatki różnicowej) przez zastąpienie pochodnych ilorazami różnicowymi a znanych funkcji ich wartościami w tych węzłach.}

Równanie Laplace’a (charakteryzuje różne zjawiska np. transport ciepła, transport masy):

Z powyższego równania wynika, że rozkład wysokości piezometrycznych nie zależy od współczynnika filtracji .

Poszukiwana funkcja w punktach wewnątrz obszaru opisująca rozkład wysokości piezometrycznych ma następującą zależność: .

Warunki początkowe:

- określamy wówczas kiedy dane zjawisko i jego parametry zmieniają się w czasie

- w zadaniu przyjmujemy, że dane zjawisko i jego parametry są stałe w czasie

Warunek brzegowy I rodzaju ( warunek Dirichleta)

h₁ = =8,5m, h_{2 =} 6,5m

Warunek brzegowy II rodzaju

Z ałożenia:

- - pochodna normalna poszukiwanej funkcji w punktach należących do brzegu obszaru jest równa zero brzeg od strony dolnej, prawej, lewej wyciętego obszaru jest nieprzepuszczalny

- model obliczeniowy (fragment wyciętego obszaru) obarczony jest błędem, należy o tym pamiętać

Tworzymy siatkę do metody różnic skończonych

Pochodne drugiego rzędu:

-4h0+h1+h2+h3+h4=0 – wartości obarczone błędem

Grupa węzłów występująca w danym wyrażeniu tworzy odpowiednio gwiazdę pięcio- i czteropunktową:

Dla węzłów wewnętrznych siatki:

Dla węzłów leżących na brzegach (w węźle 3 wartość wysokości piezometrycznej mnożona jest przez dwa- to wynika z warunków brzegowych i konieczności wstawienia węzła fikcyjnego):

W₁=8,5-4w1+w4+2w2

W2=8,5-4w2+w5+w3+w1

W3=8,5+8,5-4w3+w6+w2

W4=w1-4w4+7,5+2w5

W5=w2-4w5+w1+w6+7,5

W6=w3-4w6+8,5+w5+7,5

Po uporządkowaniu powstał następujący układ równań:

-4w1+2w2+w4=-8,5

W1-4w2+w3+w5=-8,5

W2-4w3+w6=-17

W1-4w4+2w5=-7,5

W2+w4-4w5+w6=-7,5

W3+w5-4w6=-16

-4	2	0	1	0	0		w1		-8,5
1	-4	1	0	1	0		w2		-8,5
0	1	-4	0	0	1	*	w3	=	-17
1	0	0	-4	2	0		w4		-7,5
0	1	0	1	-4	1		w5		-7,5
0	0	1	0	1	-4		w6		-16

Przybliżone wartości wysokości piezometrycznej w węzłach wynoszą:

W1=8,21

W2=8,24

W3=8,32

W4=7,89

W5=7,92

W6=8,06