Pierwszy wyraz w tym wyrażeniu przedstawia potencjał Ziemi kulistej, natomiast główny
efekt pochodzący od spłaszczenia Ziemi wyraża tzw. druga harmoniczna tj. drugi wyraz
powyższego rozwinięcia (dla ). Współczynnik drugiej harmonicznej jest związany
ze spłaszczeniem Ziemi zależnością

Biorąc wzór na potencjał grawitacyjny











































2

sin

1

n

n

n

e

n

P

r

a

J

r

V





gdzie:







sin

n

P

- wielomiany Legendre’a stopnia n

e

a

- promień równikowy Ziemi



- szerokość geocentryczna

0

n

n

C

J





2



n

2

J

- współczynniki w rozwinięciu potencjału w szereg funkcji sferycznych













 



q

J

2

1

3

2

2



gdzie:















1

3

2

e

a

q



- prędkość kątowa obrotu Ziemi

Jeśli w rozwinięciu potencjału uwzględnimy jedynie wyrazy do , a potencjał Ziemi
kulistej oznaczymy przez , to potencjał zakłócający ruch satelity w naszym przypadku
wyniesie

V

2



n

0

V









sin

2

3

2

2

0

P

r

a

J

V

V

V

e

II









Ponieważ









1

sin

3

2

1

sin

2

2









P

oraz

u

i sin

sin

sin





więc:





1

sin

sin

3

2

2

2

3

2

2









u

i

r

a

J

V

e



Do obliczenia perturbacji elementów orbity spowodowanych potencjałem zakłócającym
wykorzystamy wzory:

V



W

i

p

u

G

r

du

d

sin

sin

3







W

p

u

G

r

du

di



cos

3



S

G

r

du

dp



3

2







































S

p

er

S

p

r

R

e

G

r

du

de







cos

1

sin

2





































uW

i

p

er

S

p

r

e

R

e

G

r

du

d

sin

cot

sin

1

cos

2





























NS

r

p

R

N

e

p

e

G

r

du

dt

p







cos

sin

3

4

gdzie:

































0

3

2

cos

1

cos

2

e

d

r

p

N

Najpierw jednak musimy wyznaczyć występujące w tych wzorach rzuty siły perturbacyjnej

W

S

R

,

,





1

sin

sin

3

2

3

2

2

4

2

2

















i

u

r

a

J

r

V

R

e



i

u

r

a

J

u

V

S

e

2

4

2

2

sin

2

sin

2

3

2

1

















i

u

r

a

J

i

V

u

r

W

e

2

sin

sin

2

3

sin

1

4

2

2

















oznaczając:

2

2

2

3

e

a

J

s





mamy:





1

sin

sin

3

2

2

4







i

u

r

s

R

i

u

r

s

S

2

4

sin

2

sin







i

u

r

s

W

2

sin

sin

4







Analizując przytoczone wzory zauważamy, że niekulistość Ziemi powoduje głównie dwa
rodzaje istotnych perturbacji o charakterze wiekowym, a mianowicie perturbację wiekową
długości węzła wstępującego (linii węzłów) i perturbację wiekową argumentu perigeum
(linii apsyd). Występują również pewne perturbacje wiekowe obiegu satelity. Spłaszczenie
Ziemi wywołuje więc znaczne zmiany położenia płaszczyzny orbity w przestrzeni i
położenia orbity w jej płaszczyźnie, natomiast kształt i rozmiary orbity pozostają
praktycznie nie zmienione.
Perturbacja węzła wstępującego orbity uwidacznia się w precesji płaszczyzny orbity, czyli
obrocie płaszczyzny orbity względem osi Ziemi w kierunku przeciwnym do ruchu satelity.
Wynikiem tego zjawiska jest ustawiczne przesuwanie się po równiku węzła wstępującego
orbity w kierunku przeciwnym do ruchu satelity. Prędkość zmiany można obliczyć ze
wzoru







0

2

cos

2











u

u

u

p

i

s

dt

d





czyli

obrót

i

p

a

J

dt

d

e

1

/

cos

180

3

2

2

2









lub





średnią

dobę

e

i

a

a

a

J

dt

d

e

e

1

/

1

cos

3

4

86400

180

2

2

2

7

3

2

































gdzie:

e

a

- promień równikowy Ziemi

a - duża półoś orbity satelity

i

- kąt nachylenia orbity do równika

Występująca we wzorze wielkość jest stałą, zależną od spłaszczenia, rozmiaru,
masy i prędkości kątowej obrotu Ziemi i wynosi

2

J

6

3

2

2

10

8

,

1082

2

3

1































e

a

J



- spłaszczenie Ziemi

- prędkość kątowa obrotu Ziemi



Podstawiając

2

3

5

/

10

986

,

3

sek

km









km

a

e

6378



6

2

10

8

,

1082







J

otrzymamy:





średnią

dobę

i

e

a

a

e

1

/

cos

1

97

,

9

2

2

2

7



























Ze wzoru tego wynika, że obrót linii węzłów następuje tym szybciej, im kąt nachylenia
orbity do równika jest mniejszy. Dla satelitów biegunowych zjawisko precesji
płaszczyzny orbity praktycznie nie występuje. Dla satelitów o małym kącie nachylenia
orbity (prawie równikowych) przemieszczenie się węzła wstępującego odbywa się
bardzo szybko i dla satelitów poruszających się na wysokości około 300 km prędkość
obrotu linii węzłów może wynosić blisko .

)

90

(





i

dobę

1

/

5

,

8



Wykres zależności prędkości obrotu linii węzła od kąta nachylenia orbity

i

dla

różnych średnich odległości satelity.

Drugim rodzajem perturbacji orbit SSZ, wywołanym przez niekulistość Ziemi, jest
obrót orbity SSZ w jej płaszczyźnie. Duża oś orbity obraca się w płaszczyźnie orbity,
czego faktem jest ciągłe przemieszczanie się punktu perigeum.
Prędkość obrotu linii apsyd, tzn. prędkość wzrastania argumentu perigeum, można
wyznaczyć ze wzoru:





0

2

1

cos

5

2

1

2

2









u

u

u

p

s

i

dt

d











obrót

i

p

a

J

dt

d

e

1

/

1

cos

5

180

2

3

2

2

2

2









lub





średnią

dobę

e

i

a

a

a

J

dt

d

e

e

1

/

1

1

cos

5

4

3

86400

180

2

2

2

2

7

3

2

































Po wstawieniu znanych wartości otrzymujemy:



 



średnią

dobę

i

e

a

a

e

1

/

1

cos

5

1

98

,

4

2

2

2

2

7



























Ze wzoru tego wynika:

0







dla

'

34

116

'

26

63

5

1

cos

2

1















i

i

i

dla

2

1





i

i

i

będzie

0







co oznacza, że przemieszczenie
satelity odbywa się w kierunku
ruchu satelity

dla

2

1

i

i

i





0







będzie

ruch perigeum jest przeciwny
do ruchu satelity

dla

'

34

116

'

26

63









i

i

„wartości krytyczne” – ruch perigeum nie występuje

Maksymalna wartość prędkości obrotu linii apsyd przypada dla i wynosi np. dla
średniej wysokości satelity 300 km około . Dla przypada maksimum
ujemnej wartości prędkości linii apsyd, wynoszące dla wysokości satelity 300 km około



0



i

dobę

1

/

17





90



i

dobę

1

/

5

,

4





Zależność między prędkością obrotu linii apsyd i katem nachylenia orbity do

równika dla różnych średnich wysokości satelity.

Z analizy wzorów wynika, że kąt nachylenia orbity

i

, parametr

p

oraz mimośród orbity

e

nie doznają w pierwszym przybliżeniu perturbacji wiekowych. Podczas jednego obiegu
satelity nachylenie orbity

i

doznaje dwóch pełnych wahań w amplitudzie

i

p

s

A

i

2

sin

4

2





Perturbacje spowodowane oporem atmosfery.

Opór atmosfery jest jednym z najsilniej działających zakłóceń ruchu niskich satelitów i
objawia się tym silniej im satelita porusza się niżej.

- siła oporu atmosfery

m

D

v

v

m

D











D

Na podstawie tego wzoru można stwierdzić, że prędkość obiegu satelity poruszającego
się po prawie kołowej orbicie na skutek oporu atmosfery zwiększa się, zaś przyspieszenie
satelity jest równe sile oporu powietrza przypadającemu na jednostkę masy satelity. Z
wzoru tego wypływa jeszcze jeden wniosek, a mianowicie, że z dwóch satelitów
poruszających się na tej samej wysokości ten będzie poruszał się szybciej, na który działa
działa większa siła oporu powietrza. Jest to tzw. „paradoks” ruchu satelity.

v

Na satelitę poruszającego się po orbicie eliptycznej opór powietrza działa głównie na
odcinku orbity położonej najbliżej Ziemi, tj. w okolicy perigeum. Pod działaniem oporu
atmosfery następuje tu niewielkie wyhamowanie prędkości ruchu satelity i zmniejszenie
wysokości perigeum. Jednak niewielkie nawet zmniejszenie wysokości perigeum
powoduje znacznie większe zmniejszenie wysokości apogeum.

Pod wpływem działania oporu atmosfery wysokość apogeum satelity zmniejsza się więc
znacznie szybciej wysokość perigeum. Zmieniają się zatem ustawicznie kształt i rozmiar
orbity eliptycznej. Następują ciągłe zmiany półosi

a

i mimośrodu

e

, w wyniku których

orbita eliptyczna co do formy zbliża się ustawicznie do orbity kołowej.
Okres obiegu satelity wokół Ziemi ulega tez zmianie zmniejszając się stopniowo do
wartości 87 minut, co odpowiada krytycznej wysokości około 150 km, przy której następuje
spalenie satelity.

Zmiana kształtu orbity

eliptycznej pod wpływem oporu

powietrza

Wykres zmian okresu obiegu satelity w
czasie, spowodowanych działaniem oporu
atmosfery

Wykres zmian mimośrodu orbity w czasie,
spowodowany działaniem oporu atmosfery.

Z powyższych wykresów widać, że zmiany okresu obiegu i zmiany mimośrodu są na
początku „życia” satelity niewielkie, jednak prędkość tych zmian stopniowo wzrasta w
miarę wchodzenia satelity w gęstsze warstwy atmosfery.

Okres życia satelity

N

można określić w przybliżeniu (z dokładnością 10%) na podstawie

jednego z poniższych wzorów

x

T

e

N

0

0

4

3



x

T

h

h

h

h

x

T

a

h

h

N

p

a

p

a

p

a

0

0

4

3

8

3















lub

gdzie

0

0

, e

T

- oznaczają odpowiednio początkowy okres obiegu SSZ i początkowy
mimośród jego orbity

x - zmiana okresu

T

na dobę

Perturbacje spowodowane ciśnieniem światła słonecznego

Wpływ ciśnienia światła słonecznego staje się zauważalny dla satelitów poruszających
się na znacznych wysokościach i to dla takich satelitów, dla których stosunek
powierzchni przekroju poprzecznego

S

do masy

m

jest większy od

25

cm

2

/g

Ciśnienie światła słonecznego powoduje wiekowe i długookresowe zmiany kształtu
orbity, tzn. zmianę mimośrodu

e

oraz w związku z tym zmianę (zmniejszenie) wysokości

perigeum, a także niewielkie zmiany w elementach określających położenie orbity w
przestrzeni. Nie doznaje perturbacji duża półoś orbity

a

.

Pod wpływem działania światła słonecznego satelita doznaje przyspieszenia, okreslanego
zwykle wzorem.









cos

1

2

0

k

c

S

q

f







gdzie

m

S

q



- stosunek powierzchni satelity

S

do jego masy

m

- stała słoneczna charakteryzująca intensywność
promieniowania słonecznego w rejonie orbity ziemskiej

- prędkość światła

- współczynnik charakteryzujący sposób odbicia i pochłaniania światła
przez powierzchnię satelity (np. pełne pochłanianie światła k=0, pełne
odbicie lustrzane k=1, odbicie dyfuzyjne k≈1,44)

- stosunek odległości

r

Ziemi od Słońca do odległości



satelity od Słońca

- kąt padania promieni słonecznych na powierzchnię satelity





1

2

0

min

04

,

0

94

,

1









cm

cal

S

c

k





r





Perturbacje spowodowane wpływami Księżyca i Słońca

Wpływy perturbacji Księżyca i Słońca na orbity niskich satelitów są bardzo małe i
wzrastają wraz ze wzrostem odległości orbity od powierzchni Ziemi. Nieuwzględnianie
tych wpływów powoduje błąd położenia satelity poruszającego się na wysokości
tysięcy km, wynoszący kilkaset metrów, zaś dla orbit o wysokości około 40 000 km błąd
ten wynosi już kilkadziesiąt kilometrów.

4

3



h

km

f



max

f



max

f



max

g

f



max

g

f



max

G

f



g max

g

10

-6

m sek

-2

0

2 000

10 000

20 000
50 000

100 000

0,50
0,66
1,3
2,1
4,4
8,3

1,1
1,4
2,8
4,5
9,8
18,0

5,1· 10

-8

1,2· 10

-7

8,6· 10

-7

3,6· 10

-6

3,5· 10

-5

2,4· 10

-4

1,1 · 10

-7

2,5 · 10

-7

1,9 · 10

-6

7,9 · 10

-6

7,7 · 10

-5

5,2 · 10

-4

3,4 · 10

-3

1,9 · 10

-3

5,1 · 10

-4

2,0 · 10

-4

4,3 · 10

-5

1,2 · 10

-5

6,0 · 10

-5

3,5 · 10

-5

9,1 · 10

-6

3,5 · 10

-6

7,8 · 10

-7

2,2 · 10

-7

Przyjmijmy układ współrzędnych, którego początek umieścimy w środku mas
Ziemi

Z

. Masę Ziemi oznaczmy przez

M

. Współrzędne Księżyca

K

i satelity

S

w tym

układzie niech będą odpowiednio

x



, y



, z



oraz

x, y, z.

Masa Księzyca niech

będzie równa

m



,

natomiast masę satelity

jako znikomo mała w porównaniu z

masami Ziemi i Księżyca zaniedbamy. Odległość satelity i Księżyca od Ziemi niech
wynosi

r

i

r’

, odległośc zaś satelity od Księżyca oznaczmy przez

.



r’

r

S(x,y,z)

K(x



,y



,z



,m 

)

Z(M)

Ruch satelity w takim przypadku można przedstawić za pomocą następującego układu
równań różniczkowych

























3

3

3

'

r

x

x

x

Gm

r

x

x





































3

3

3

'

r

y

y

y

Gm

r

y

y





































3

3

3

'

r

z

z

z

Gm

r

z

z













Jeśli przez R



oznaczymy funkcję perturbacyjna określoną wyrażeniem:























3

'

1

r

zz

yy

xx

Gm

R











Czyli gdy:

z

R

y

R

x

R

R

grad























to ruch satelity możemy przedstawić w postaci:

x

R

r

x

x











3









y

R

r

y

y











3









z

R

r

z

z











3









Wstawiając do równań Lagrange’a i całkując otrzymamy:

0













2

sin

sin

1

4

15

2

2

1

2

i

e

fe

e

















2

2

2

2

1

2

sin

5

1

cos

1

2

3

e

e

i

e

f





















2

sin

2

sin

1

8

15

2

1

2

2

i

e

fe

i































2

2

2

2

2

1

2

sin

5

2

1

sin

cos

5

1

2

3















e

i

e

f







2

sin

sin

1

4

15

2

2

1

2

i

e

fae

h

p









gdzie:

3

0

1

















a

f







,

GM





0



1





- odnosi się do Ziemi
- odnosi się do ciała wywołującego zakłócenie
- odległość satelity od ciała zakłócającego

Duża półoś orbity

a

nie doznaje żadnych wiekowych ani długotrwałych zakłóceń,

zmiany zaś wszystkich pozostałych elementów są proporcjonalne do a

3

. Największe

wiekowe zakłócenia występują dla elementów



i



, pozostałe elementy doznają zmian

długookresowych. Należy jeszcze zaznaczyć, że wpływy Księżyca i Słońca na niektóre
elementy orbity wzrastają wraz ze wzrostem mimośrodu orbity.

Zestawienie wpływu Księżyca i Słońca na elementy orbity, dla której a = 7350 i e = 0,1

Element

Zmiana na 1 obieg satelity

Zmiana na 1 obieg ciała zakłócającego

Wpływ 

Wpływ 

Wpływ 

Wpływ 





i

e

h

p

< 0,17”
< 0,29”
< 0,17”
< 2· 10

-7

< 1,5m

< 0,08”
< 0,14”
< 0,08”
< 0,93· 10

-7

< 0,06 m

< 34”
< 2’
< 0,43”
< 0,41· 10

-4

< 0,3 m

< 3,2’
< 11,3’
< 2,4”
< 2,31· 10

-4

< 1,7 km

łączny wpływ < 2,1 m

łączny wpływ na 1 rok < 5,1 km