4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

4.1 STOPIEC
STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOÅšCI
ędziemy rozpatrywali płaskie układy prętowe. W celu określenia stopnia statycznej
niewyznaczalności wprowadz
my pojęcie tarczy. Każdy płaski ustrój prętowy można podzielić
na oddzielne tarcze i łączące je więzi. Za tarczę będziemy uważać wydzielony pręt (rys. 4.1a),
wydzielony węzeł (rys. 4.1b), zbiór prętów połączonych węzłami sztywnymi i tworzące graf
B
otwarty (4.1c).
pret wezel
zbiór
pretów
a) b) c)
rys. 4.1
W przypadku gdy zbiór prętów tworzy graf zamknięty, wówczas aby określić stopień statycznej
niewyznaczalności należy taki graf rozciąć (rys. 4.2).



rys. 4.2
Przypomnijmy, że każda tarcza sztywna ma trzy stopnie swobody, a więc aby taką tarczę unieruchomić
należy przyłożyć trzy więzi elementarne nie przecinające się w jednym punkcie, łączące daną tarcze z
częścią nieruchomą konstrukcji lub z ostoją. Przez więz
elementarną rozumiemy nieściśliwy pręt
przegubowo-przegubowy. Odbiera ona tarczy jeden stopień swobody (rys. 4.3).
tarcza
ostoja
rys. 4.3
29
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

Na rys. 4.3 pokazano tarczę, której elementarna więz
odebrała jeden stopień swobody. Literą t
oznaczać będziemy dalej liczbę tarcz. Z trzema stopniami swobody dla tarczy płaskiej związany jest
fakt, że można dla niej ułożyć trzy niezależne równania równowagi. Przejdz
my do określenia liczby więzi
elementarnych łączących tarcze między sobą i z ostoją (fundamentem). Literą e oznaczać będziemy
liczbę więzi elementarnych. Na rysunku 4.4 przedstawiono podstawowe podpory i odpowiadające im
liczby więzi elementarnych.
odebrane
ILOŚĆ
TYP PODPARCIA SCHEMAT MODEL stopnie
WI
ZI
swobody
jedna więz

Podpora przesuw na
=
e=1 prostopadła
przegubowo-przesuwna kierunku więzi
do przesuwu
Podpora
dwie więzi przesuwy
=
przegubowo- e=2
przecinajÄ…ce siÄ™ w obu kierunkach
nieprzesuwna
dwie więzi równoległe, przesuw na
Utwierdzenie
=
e=2 prostopadłe do kierunku więzi i
sztywne z przesuwem
przesuwu obrót
trzy więzi niezbieżne, oba przesuwy
Utwierdzenie sztywne e=3
=
nierównoległe i obrót
rys. 4.4
Na rys. 4.5 przedstawiono połączenia prętów (węzły) i odpowiadające im liczby więzi elementarnych.
Zwróćmy uwagę na fakt, że każdy punkt na pręcie można traktować jako węzeł sztywny, a przecięcie
pręta powoduje usunięcie trzech więzi elementarnych.
a) b) c)
e=2(k-1)
e=2 e=3
k - prętów
rys. 4.5
Gdy dwa pręty są połączone przegubem (rys. 4.5a) wówczas unieruchamiając jeden z nich stwierdzamy,
że drugi traci dwa stopnie swobody, gdyż możliwy jest tylko jego obrót względem unieruchomionego
przegubu. Stąd e=2. Podobnie gdy w przegubie połączonych jest k prętów to unieruchomienie jednego z
nich powoduje odebranie każdemu z pozostałych 2 stopni swobody, stąd e=2(k-1). Oznaczamy - jak
wspomniano wcześniej - literą t liczbę tarcz oraz literą e liczbę więzi elementarnych dla danego
płaskiego układu prętowego. Dla każdej tarczy możemy ułożyć trzy równania równowagi. Stąd wynika,
że można ułożyć 3t niezależnych równań. Wielkościami nieznanymi są siły w więziach elementarnych, a
więc liczba niewiadomych wynosi e. Stąd warunkiem koniecznym, aby ustrój był statycznie wyznaczalny
(czyli można go rozwiązać korzystając tylko z warunków równowagi) jest spełnienie równości mającej
charakter ilościowy:
e = 3 t (4.1)
Powyższy warunek (4.1) jest konieczny, ale nie wystarczający. Dodatkowym wymaganiem jest aby
ustrój był geometrycznie niezmienny. Dla ustroju geometrycznie niezmiennego warunek (4.1) jest
koniecznym i wystarczającym. Gdy spełniona jest nierówność
e > 3 t (4.2)
i zachowany jest warunek geometrycznej niezmienności wówczas ustrój jest przesztywniony i jest
więcej niewiadomych wielkości niż równań równowagi. Mówimy wówczas, że jest to ustrój (układ)
statycznie niewyznaczalny lub ustrój hiperstatyczny. Liczbę więzi nadliczbowych równą liczbie
brakujących równań równowagi, a więc równą
nh = e - 3 t > 0 (4.3)
30
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

nazywamy stopniem statycznej niewyznaczalności. Stąd przy rozwiązywaniu układów hiperstatycznych
koniecznym będzie zbudowanie dodatkowych nh równań, wynikających z warunku ciągłości konstrukcji
(zgodności odkształceń)
PRZYKA
ADY
1. Dla belki jak na rysunku (4.6) określić stopień statycznej niewyznaczalności.
t=2
e=3 e=1 e=1 e=1
e=2
rys. 4.6
Stopień statycznej niewyznaczalności:
nh = e - 3t = 8 - 3 Å"2 = 2
2. Na rysunkach (4.7a-c) przedstawiono różne podziały ramy na tarcze i określono stopień statycznej
niewyznaczalności.
a)
(2)
e=7 t=1
nh = 7 - 3Å"1 = 4
(3)
(2)
b)
(2)
e=10 t=2
nh = 10 - 3 Å"2 = 4
(3)
(3)
(2)
c)
(2) (3)
e=31 t=9
(3)
nh = 31 - 3 Å" 9 = 4
(3) (3)
(3)
(3) (3)
(3)
(2)
(3)
rys. 4.7
KRATOWNICE
Chcąc określić stopień statycznej niewyznaczalności kratownicy płaskiej należy określić liczbę węzłów,
liczbę prętów i liczbę więzi podporowych. Przyjmijmy następujące oznaczenia:
p - liczba prętów kratownicy,
w - liczba węzłów,
r - liczba więzi elementarnych.
Wówczas liczba tarcz t jest równa liczbie prętów:
t = p (4.4)
31
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

Liczba więzi elementarnych jest równa:
(4.5)
e = r + -1) = r + 2 - 2 = r + 2 Å"2p - 2 Å"w = r + 4p - 2w.
"2(k "k "1
w w w
Stąd stopień statycznej niewyznaczalności wynikający z kryterium ilościowego wynosi:
(4.6)
nh = e - 3t = r + 4p - 2w - 3p = p + r - 2w.
Wzór (4.6) ma prostą interpretację. Suma p+r określa liczbę wielkości niewiadomych, gdyż nieznane są
siły w prętach i reakcje podporowe. Ponieważ w każdym węz
le mamy zbieżny układ sił stąd dla każdego
węzła możemy ułożyć dwa równania równowagi (trzecie spełnione jest tożsamościowo)
PRZYKA
AD
Określić stopień statycznej niewyznaczalności kratownicy przedstawionej na rysunku 4.8
p = 11, r = 4, w = 6
nh = p + r - 2w = 11 + 4 - 2 Å" 6 = 3
przy zachowaniu geometrycznej
niezmienności ustroju
rys. 4.8
4.2 SFORMUA
OWANIE METODY SIA
. RÓWNANIA KANONICZNE
Rozpatrzmy układ prętowy n-krotnie statycznie niewyznaczalny. Oznacza to, że mamy do wyznaczenia
n-sił w więziach nadliczbowych, których nie uzyskuje się bezpośrednio z warunków równowagi. Dlatego
obok równań równowagi należy dodatkowo ułożyć n-równań. W tym celu w rzeczywistym układzie
przecinamy n-więzi nadliczbowych i w miejscu tych więzi przykładamy dodatkowe nieznane siły
hiperstatyczne jako zewnętrzne X1,...,Xn. Taki układ z przeciętymi więziami nadliczbowymi i
przyłożonymi siłami dodatkowymi X1,...,Xn i obciążeniem zewnętrznym nazywamy schematem
(układem) podstawowym.
Schemat podstawowy najlepiej przyjąć jako statycznie wyznaczalny i koniecznie geometrycznie
niezmienny. Ponieważ w rzeczywistym układzie więzi nadliczbowe nie są przecięte wynika stąd, że w
tych miejscach przemieszczenia w schemacie podstawowym wywołane obciążeniem zewnętrznym i
wielkościami hiperstatycznymi X1,...,Xn są równe zeru, a więc "i=0 (i=1,2,...,n). Rozpatrzmy więz

hiperstatyczną  i którą przecinamy.
Xi
Xi
"i
"i=0
rys. 4.9
Otrzymujemy n-warunków "i=0 (i=1,2,...,n), które prowadzą do liczby n dodatkowych równań.
Idea metody sił przedstawiona jest na rys. 4.10.
32
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

P
q
"2=0
X1
"1=0
X2
rys. 4.10
Przemieszczenia "i (i=1,2,...,n) w miejscu przeciętych więzi nadliczbowych, gdzie występuja wielkości
hiperstatyczne Xi (i=1,2,...,n) obliczamy w układzie podstawowym od wszystkich wpływów, a więc od
obciążenia zewnÄ™trznego "iP oraz wielkoÅ›ci hiperstatycznych ´ijXj. StÄ…d mamy:
dla (4.7)
"i = ´i1X1 + K + ´inXn + "iP = 0
i = 1,K,n.
A więc po rozpisaniu kanoniczny układ równań metody sił ma postać:
´11X1 + ´12X2 + K + ´1nXn + "1P = 0
(4.8)
´21X1 + ´22X2 + K + ´2nXn + "2P = 0
M M M M
M
´n1X1 + ´n2X2 + K + ´nnXn + "nP = 0
Przypomnijmy sens fizyczny poszczególnych wyrażeń:
´ij - przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkoÅ›ci hiperstatycznej Xi wywoÅ‚ane wielkoÅ›ciÄ…
hiperstatyczną Xj=1 w układzie podstawowym;
´ijXj - przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkoÅ›ci hiperstatycznej Xi wywoÅ‚ane wielkoÅ›ciÄ…
hiperstatyczną Xj w układzie podstawowym;
"iP - przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkości hiperstatycznej Xi wywołane obciążeniem
zewnętrznym w układzie podstawowym.
Jak wynika ze wzorów na wyznaczanie przemieszczeń (wykład nr 3 i 4) współczynniki w kanonicznym
układzie równań (4.8) określone są wzorami:
MiMj NiNj ºTiTj SsiSsj
(4.9)
´ij = ds + ds + ds +
"
+" +" +"
EI EA GA ks
s
(u) (u) (u)
MiMP NiNP ºTiTP SsiSsP
(4.10)
"iP = ds + ds + ds +
"
+" +" +"
EI EA GA ks
s
(u) (u) (u)
Kreseczka nad wielkościami Mi, Ni, Ti, Ssi podkreśla fakt, że wielkości te są wyznaczone w układzie
podstawowym, a więc statycznie wyznaczalnym. Z reguły w ramach wpływ sił osiowych i tnących, a w
belkach sił tnących jest na tyle mały, że przyjmujemy EA=" oraz GA=", co powoduje pominięcie całek,
w których występują siły osiowe i tnące.
Gdy obciążeniem jest zmiana temperatury wówczas w miejsce "ip w układzie równań (4.8) podstawiamy
"it określony wzorem:
Ä…t Å" (td - tg )ds + NiÄ…tt0ds + Ssi Å" "st
(4.11)
"it = Mi
"
+" +"
h
s
(u) (u)
33
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

gdzie : "st oznacza odkształcenie sprężyny wywołane zmianą temperatury.
"it oznacza przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkości hiperstatycznej Xi wywołane
zmianą temperatury w układzie podstawowym.
Gdy obciążeniem sÄ… osiadania (przemieszczenia) podpór rk oraz imperfekcje "Õ, "l oraz "h wówczas w
miejsce "ip w układzie równań (4.8) podstawiamy "i" określone wzorem:
(4.12)
"i" = Mi"Ć + Ni"dl + "h - Rkirk - ri
i "
+" +" +"T
k
(u) (u) (u)
gdzie : "i" oznacza przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkości Xi w układzie podstawowym.
ri oznacza zadane przemieszczenia w układzie rzeczywistym w miejscu hiperstatycznej Xi.
KRATOWNICE
W przypadku kratownic wzory (4.9-4.12) ulegajÄ… modyfikacji. I tak mamy:
NkiNkjlk SsiSsj
(4.13)
´ij = +
" "
(EA) ks
k s
k
NkiNkPlk SsiSsP
(4.14)
"iP = +
" "
(EA) ks
k s
k
Od wpływu temperatury wolne wyrazy w równaniach (4.8) wynoszą :
(4.15)
"it = NkiÄ…Tolk + Ssi Å" "st
" "
k s
Od osiadania podpór oraz imperfekcji (wydłużenia lub skrócenia prętów) odpowiednio mamy:
(4.16)
"i" = "lk - rk - ri
"Nik "Rki
k k
gdzie : "lk oznacza wydłużenie (skrócenie) pręta "k" względem jego nominalnej długości.
UWAGA! - przecinając pręt nadliczbowy przyjmujemy, że zachowuje on swój pierwotny kształt
prostoliniowy mimo jego przecięcia.
Xi
Xi
Pręt "r-s" został przecięty
ale pozostał prosty
rys. 4.11
Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy nadliczbowe wielkości hiperstatyczne X1 ... Xn i
przystępujemy do wyznaczania rzeczywistych (w układzie hiperstatycznym) sił przekrojowych M, N, T
oraz reakcji. Można tego dokonać na dwa sposoby :
1. W układzie podstawowym, który jest statycznie wyznaczalny występuje znane obciążenie
zewnętrzne oraz obciążenie znanymi już siłami hiperstatycznymi X1 ... Xn. Stąd rozwiązując układ
statycznie wyznaczalny obciążony siłami zewnętrznymi i hiperstatycznymi otrzymujemy siły
przekrojowe M, N, T.
2. Drugi sposób wyznaczania sił przekrojowych polega na wykorzystaniu zasady superpozycji.
Wykorzystujemy już znane wykresy sił przekrojowych Mi, Ti, Ni (i=1,2,...,n) oraz Mp. Rzędne
rzeczywistych wykresów sił przekrojowych M=MRZ, T=TRZ, N=NRZ wyznaczamy z zależności:
34
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

P
M = MP = M1X1 + ... + MnXn + M
(4.17)
P
N = NP = N1X1 + ... + NnXn + N
P P
T = T = T1X1 + ... + TnXn + T
Jeżeli we wcześniejszych obliczeniach nie uwzględniono wpływu sił osiowych lub tnących, a więc nie
mamy wykresów Ni lub Ti wówczas wielkości te należy obliczyć z wykorzystaniem sposobu pierwszego.
4.3 SPRAWDZENIE POPRAWNOÅšCI ROZWI
ZANIA
W czasie wykonywania obliczeń istnieje zawsze możliwość popełnienie błędu. Stąd zachodzi potrzeba
sprawdzenia czy otrzymane wyniki sÄ… poprawne. Sprawdzenie takie obejmuje :
" sprawdzenie czy wszystkie obciążenia (wraz z reakcjami) spełniają warunki równowagi
" sprawdzenie ciągłości konstrukcji w wybranych jej punktach - przeważnie w miejscu wielkości
hiperstatycznych
O ile sprawdzenie warunków równowagi nie wymaga wyjaśnienia to wyjaśnimy na czym polega
sprawdzenie ciągłości konstrukcji. Ponieważ w rzeczywistym (hiperstatycznym) układzie więzi
nadliczbowe istnieją (nie są przecięte), przemieszczenia na kierunkach tych więzi powinny być zerowe -
"i=0 dla i=1,2,...,n). W przypadku obciążenia siłami  pomijając wpływ sił tnących i osiowych
przemieszczenie "i wynosi:
MiMp SsiSsp
(4.18)
1i "i = ds + = 0
"
+"
EJ ks
s
l
gdzie wielkości M, N, T i Ss występują w układzie rzeczywistym.
Ponieważ "i=0 dla i=1,2,...,n stąd "s= "1+"2+...+"n=0 i zamiast wykonywać kontrole dla różnych "i
wystarczy wykonać sprawdzenie :
MsMp SsSsp
(4.19)
"s = ds + = 0
"
+"
EJ ks
s
l
n n
gdzie :
Ms = Ss =
"Mi "Si
i =1 i =1
OBCI
ŻENIA TEMPERATUR

W tym przypadku M=MT oraz Ss=SsT i wzór, który jest analogonem wzoru (4.18) ma postać
MiMT SsiSsT Ä…t Å" (td - tg )ds + NiÄ…tt0ds = 0
(4.20)
"i = ds + + Mi
"
+" +" +"
EJ ks (u) h
s
l (u)
OBCI
ŻENIA IMPERFEKCJAMI I OSIADANIEM PODPÓR
Odpowiednie siły przekrojowe w układzie rzeczywistym oznaczamy M=M" oraz Ss=Ss". W tym przypadku
poprawne rozwiązanie spełnia warunek :
MiM" SsiSs"
(4.21)
"i = ds + + Mi "d" + Ni "ds" + "dh" - Rkirk - ri = 0
" i "
+" +" +" +"T
EJ ks
s k
l
Dla kratownic zależności analogiczne do wzorów (4.18), (4.20) i (4.21) przyjmują postać:
Obciążenie siłami
NkpNkilk SsiSsp
(4.22)
"i = + = 0 i = 1,..,n
" "
EAk s ks
k
35
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

Obciążenie temperaturą
NktNkilk SsiSst
(4.23)
"i = + + NkiÄ…Tolk = 0 i = 1,..,n
" " "
EAk s ks k
k
Obciążenie imperfekcjami oraz osiadaniem podpór
Nk"Nkilk SsiSs"
"i = + + Nki "lk - Rrirr - ri = 0 i = 1,..,n (4.24)
" " " "
EAk s ks k
k r
Na dokładność rozwiązania ma wpływ właściwy dobór układu podstawowego. Wyznacznik macierzy
współczynników [´ij] ukÅ‚adu kanonicznego równaÅ„ jest różny od zera i dodatnio okreÅ›lony gdy ukÅ‚ad
podstawowy jest geometrycznie niezmienny. Wielkość wyznacznika tej macierzy wpływa na dokładność
obliczeń. Można powiedzieć, że czym większy wyznacznik tym lepsza dokładność obliczeń. Warto też
wspomnieć tutaj o symetrii macierzy podatnoÅ›ci - ´ij = ´ji.
4.4 PRZYKA
ADY ROZWI
ZAC

4.4.1 RAMA
Podaną na rysunku ramę rozwiązać metodą sił. Pominąć wpływ sił osiowych i tnących.
q=20 kN/m
EA = "
GA = "
3 m
P=100 kN
2EI
2EI
8 m
1EI
4 m 6 m
Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności - nh oraz dobranie układu podstawowego
q=20 kN/m
t=1
P=100 kN
e=2
X1
e=3
nh = e-3t = 5-3*1 = 2
X2
36
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym
9.8
0.6
-
-
8 +
-
M1
M2
+
X1=1
1
X2=1
9.2
720
-
-
800
+
800
7
450
-
MP
MS
1
MS=M1+M2
Obliczenie współczynników równań kanonicznych metody sił
1 1 2 1 5 1 1 2 529.433
´11 = 8 Å" 8 Å" Å" 8 + (8 Å" 8 + 4 Å" 8.92 + 9.82)+ 10 Å" 9.8 Å" Å" 9.8 =
1EJ 2 3 2EJ 6 2EJ 2 3 EJ
1 8 1 5 1 1 2 - 59.450
´12 = ´21 = (0 Å" 1 - 4 Å" 4 Å" 1 - 8 Å" 1) + (- 8 Å" 1 - 4 Å" 8.9 Å" 0.8 - 9.8 Å" 0.6) - 10 Å" 9.8 Å" Å" 0.6 =
1EJ 6 2EJ 6 2EJ 2 3 EJ
1 1 1 5 1 1 2 10.233
´22 = 8 Å"1Å"1 + (1Å"1 + 4 Å" 0.82 + 0.62)+ 10 Å" 0.6 Å" Å" 0.6 =
1EJ 2 2EJ 6 2EJ 2 3 EJ
1 1 2 1 5 1 10 - 47770
´1P = - 8 Å" 8 Å" Å" 800 + (- 8 Å" 800 - 4 Å" 8.9 Å" 800 - 9.8 Å" 720) + (- 9.8 Å" 720 - 4 Å" 4.9 Å" 450 + 0) =
1EJ 2 3 2EJ 6 2EJ 6 EJ
1 1 5 1 10 5590
´2P = 8 Å" 1 Å" 400 + (1 Å" 800 + 4 Å" 0.8 Å" 800 + 0.6 Å" 720) + (0.6 Å" 720 + 4 Å" 0.3 Å" 450 + 0) =
1EJ 2EJ 6 2EJ 6 EJ
Układ równań kanonicznych metody sił i jego rozwiązanie:
529.433X1 - 59.450X2 - 47770 = 0 X1 = 83.098kN
- 59.450X1 + 10.233X2 + 5590 = 0
X2 = -63.505kNm
Wyznaczenie wykresu rzeczywistych momentów zginających oraz kontrola ciągłości konstrukcji
132.463
1
S
" = "1 + "2 = MRZM ds =
s "
+"
EJij Li
ij
9.624
1 8
71.711
= (- 1 Å" 63.505 - 4 Å" 3 Å" 4.103 - 7 Å" 71.711) +
23.768
1EJ 6
1 5
+ (- 7 Å" 71.711 - 4 Å" 8.1 Å" 9.62 + 9.2 Å"132.463) +
MRZ
2EJ 6
4.103
1 10 0.177
+ (9.2 Å"132.463 - 4 Å" 4.6 Å" 23.768 + 0) = E" 0
2EJ 6 EJ
63.505
37
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

4.4.2 KRATA
Podaną na rysunku kratownicę rozwiązać metodą sił.
P=10 kN
F
Określenie stopnia statycznej
niewyznaczalności nh :
2EA 2EA
5 m
r=4 p=10 w=6
1EA
D E
1EA
nh = r + p - 2w = 4 +10 -12 = 2
1EA
1EA
5 m
1EA
1EA
B
C
A
2EA 2EA
5 m 5 m
Dobranie układu podstawowego
P=10 kN
F
Przecinamy dwa pręty DE oraz BF
(przecinamy ale nie wyrzucamy).
Przyjmuje się że mimo przecięcia pręty
X2
nadal pozostajÄ… proste.
D E
X1
C
A
B
Siły osiowe w układzie podstawowym
N1 N2
00 -0.707 -0.707
X2=1
X1=1
1 0
0 1
11 -1 -1
-1.41 0.707
-1.41 0.707
00 00
38
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

NS NP
-0.707 -0.707 0 -10
1 0
1 0
00 0 0 -14.14
-0.707
-0.707 10
00 7.07 0
NS=N1+N2
Obliczenie współczynników równań kanonicznych metody sił
N1k 2Lk 48.275 N1kN2kLk - 24.138 N2k 2Lk 30.604
´11 = = ´12 = ´21 = = ´22 = =
" " "
EAk EA EAk EA EAk EA
k k k
N1kNPkLk - 170.70 N2kN2PLk 145.70
´1P = = ´2P = =
" "
EAk EA EAk EA
k k
Układ równań kanonicznych metody sił i jego rozwiązanie :
48.275X1 - 24.138X2 - 170.70 = 0 X1 = 1.908kN
- 24.138X1 + 30.604X2 + 145.70 = 0 X2 = -3.256kN
Wyznaczenie wykresu rzeczywistych sił osiowych oraz kontrola ciągłości konstrukcji. Siły w układzie
niewyznaczalnym określono dla każdego pręta korzystając z zasady superpozycji :
NP = N1X1 + N2X2 + NP
NP
2.802 -7.698
S
NPN Li 0.01
"s = "1 + "2 = = E" 0
"
EAij EA
ij
1.908
-3.256
5.164 -8.976
-5 5
7.071 0
4.5 WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC

W rozdziale trzecim podane zostały wzory do wyznaczania przemieszczeń od różnych wpływów, które są
ważne także dla układów statycznie niewyznaczalnych. Przypomnijmy, że obciążenie jednostkowe jest
obciążeniem wirtualnym, a więc w przypadku układu statycznie niewyznaczalnego może być ono
przyłożone do układu statycznie wyznaczalnego  na przykład układu podstawowego  zamiast do
układu statycznie niewyznaczalnego. Fakt ten nazywany bywa twierdzeniem redukcyjnym. Zilustrowano
to w punkcie 3.2 na rys. (3.6-3.8). Możliwa jest także druga wersja twierdzenia redukcyjnego
39
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

Niech wskaz
nik  j zastępuje wskaz
niki  p ,  " i  T we wzorach na przemieszczenia wywołanych
odpowiednio siłami imperfekcjami oraz temperaturą. Niech kreseczka nad daną wielkością oznacza
wielkość w układzie statycznie wyznaczalnym (np. w układzie podstawowym) a wielkość bez kreseczki w
układzie statycznie niewyznaczalnym. Odpowiednie wzory mają postać:
"ij = Mi"dĆj + Ni"dsj + "dhj - Rri"rj =
i "
+" +" +"T
r
= Mi"dĆj + Ni"dsj + "dhj - Rri"rj =
i "
+" +" +"T
(4.25)
r
= Mj"dĆi + Nj"dsi + "dhi - Rrj"ri =
j "
+" +" +"T
r
= Mj"dĆi + Nj"dsi + "dhi - Rrj"ri
j "
+" +" +"T
r
Ostatnia równość we wzorze (4.25) jest drugą wersją twierdzenia redukcyjnego. Interpretację tej wersji
twierdzenia redukcyjnego przedstawimy na przykładzie belki sztywno zamocowanej na obu końcach.
Wyznaczymy przemieszczenie pionowe w punkcie  i . Skorzystamy z dwóch wariantów twierdzenia
redukcyjnego.
Pierwsza wersja twierdzenia redukcyjnego
"ip
l
i
MPM
"ip = ds
"
+"
EI
0
MP
1i
Mi
rys. 4.12
Druga wersja twierdzenia redukcyjnego
l
P
MP
M Mi
"ip = ds
"
+"
EI
0
1i
Mi
rys. 4.13
Stąd przemieszczenia w układach statycznie niewyznaczalnych można określać nie tylko ze wzorów
podanych wcześniej, ale także z zależności podanych poniżej. I tak zamiast wzoru (3.5) można
skorzystać ze wzoru:
MiMp NiNp ºTiTp SsiSsp
(3.5  )
"ip = ds + ds + ds +
"
+" +" +"
EI EA GA ks
s
40
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

Wzór (3.10) można zastąpić zależnością:
(3.10 )
"i" = - "r
"Rri
r
Wzór (3.15) można zastąpić zależnością:
Ä…t
(3.15 )
"it = Mi (td - tg )ds + NiÄ…tt0ds
+" +"
h
Wzór (3.20) można zastąpić zależnością:
( 3.20)
"i" = Mi "dĆ" + Ni "ds" + "dh"
i
+" +" +"T
Przez analogię można wypisać zależności dla kratownic statycznie niewyznaczalnych.
Podsumowując można stwierdzić na podstawie twierdzeń redukcyjnych, że chcąc wyznaczyć
przemieszczenie w układzie statycznie niewyznaczalnym można wyniki dla jednego ze schematów  dla
obciążenia albo dla schematu wirtualnego  uzyskać w układzie statycznie wyznaczalnym (na przykład w
układzie podstawowym).
4.6 SZCZEGÓLNE SCHEMATY STATYCZNE
W metodzie sił przyjęcie odpowiedniego schematu podstawowego może znacznie uprościć obliczenia.
Jeżeli to możliwe staramy siÄ™ tak dobrać ukÅ‚ad podstawowy, aby jak najwiÄ™cej współczynników ´ij
równań kanonicznych była równa zeru. Poniżej pokażemy przykład takiego schematu podstawowego dla
szczególnego przypadku  belki ciągłej.
Rozwiązując metodą sił belki ciągłe  jako wielkości hiperstatyczne wygodnie jest przyjąć momenty
zginające nad podporami pośrednimi (kolejno). Prowadzi to do układu równań, w którym w
pojedynczym równaniu występują najwyżej trzy niewiadome. Rozpatrzmy belkę ciągłą jak na rysunku
poniżej.
i-1 i i+1
0 1
EJ1 EJi-1 EJi EJi+1
L1 Li-1 Li Li+1
rys. 4.14
Układ podstawowy metody sił
X1 Xi-1 Xi Xi+1
L1 Li-1 Li Li+1
M1
1
Mi-1
1
Mi
1
Mi+1 1
rys. 4.15
41
4. USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE  METODA SIA

Odpowiednie współczynniki określone są przez następujące zależności:
Li
Mi -1Mi 1 1 1 Li
´i,i -1 = ´i -1,i = ds = Å" Å" Li Å" 1 Å" Å"1 =
+"
EJi EJi 2 3 6EJi
0
Li
+1
ëÅ‚ Li Li +1 öÅ‚
Mi2 Li Mi2 Li 1 2 Li +1 1 2 1
ìÅ‚
´i,i = ds + ds = Å" Å" Å"1 + Å" Å" Å" 1 = + ÷Å‚
+" +" ìÅ‚
EJi 0 EJi +1 EJi 2 3 EJi +1 2 3 3 EJi EJi +1 ÷Å‚
0 íÅ‚ Å‚Å‚
Li+1
MiMi +1 Li +1
´i,i +1 = ´i +1,i = ds =
+"
EJi +1 6EJi +1
0
PozostaÅ‚e współczynniki ´ij sÄ… równe zero  co widać z wykresów. I-te równanie kanoniczne metody siÅ‚
ma postać:
ëÅ‚ öÅ‚
Li 1 Li Li +1 Li +1
ìÅ‚ ÷Å‚
Xi + + + Xi + "ip = 0 i = 1,2,...,n
ìÅ‚
6EJi -1 3 EJi EJi +1 ÷Å‚Xi EJi +1 +1
íÅ‚ Å‚Å‚
Powyższe równanie jest często nazywane równaniem trzech momentów. Jeżeli skrajne podpory są
przegubowe to w pierwszym i ostatnim równaniu występują tylko dwie niewiadome. Układ równań ma
charakter pasmowy, co pokazano na poniższym rysunku.
´i,i
0
´i,i+1
´ij =
´i,i-1
0
rys. 4.16
42