Wykład nr 4
z Mechaniki Technicznej
i Wytrzymałości Materiałów
Semestr letni roku akademickiego
2011/2012
Dr in\
. Michał Grodecki
[e-mail]
Politechnika Krakowska
Wydział In\
ynierii Åšrodowiska
Instytut Geotechniki
Zakład Podstaw Konstrukcji In\
ynierskich
Siły przekrojowe
Siły przekrojowe są wynikiem redukcji układu sił czynnych (obcią\
eń) i
biernych (reakcji) działających na konstrukcje po jednej stronie wybranego
przekroju. Wynik redukcji jest taki sam bez znaczenia na to po której stronie
wybranego przekroju zlokalizowany jest redukowany układ sił.
Wyró\
nia się następujące siły przekrojowe:
" Moment zginajÄ…cy
" Siła poprzeczna
" Siła podłu\
na
Ich poprawne wyznaczenie jest niezbędnym warunkiem prawidłowego
zwymiarowania konstrukcji.
2/19
Siły przekrojowe - definicje
" Moment zginajÄ…cy M  moment pochodzÄ…cy od wszystkich
sił czynnych i biernych zlokalizowanych po jednej stronie
rozwa\
anego przekroju
" Siła poprzeczna Q  składowa poprzeczna do osi pręta
wszystkich sił czynnych i biernych zlokalizowanych po jednej
stronie rozwa\
anego przekroju
" Siła podłu\
na N  składowa podłu\
na do osi pręta
wszystkich sił czynnych i biernych zlokalizowanych po jednej
stronie rozwa\
anego przekroju
3/19
Siły przekrojowe - znakowanie
Q
N N
M
M
Q
Dodatni zwrot siły podłu\
nej  na zewnątrz (siła rozciągająca)
Dodatni zwrot siły poprzecznej  w prawo od podłu\
nej
Dodatni zwrot momentu zginającego  rozciąga wyró\
nione
włókna (spody)
4/19
Siły przekrojowe - wykresy
Q(x), N(x)
X
M(x)
Wykresy nale\
y wykonywać w skali
Wykres momentów zginających jest
zawsze po stronie włókien rozciąganych
5/19
Siły przekrojowe  przykład 1
25 kN 15 kN
QA = -25 QBL = -25
10 kN
A B C D
NA = 0 QBP = -25 + 26 = 1
2.0 5.0 3.0 [m]
M = 0 NBL = 0
A
25 kN 15 kN
10 kN NBP = -10
HB=10 kN
M = -25Å"2 = -50
B
RB=26 kN RC=14 kN
QD = 15
45
50
ND = -10
M = 0
M
D
15 QCL = 1
15
Q
+
1 1
QCP =1+14 =15
-
NC = -10
-25
MC = -25Å"7 + 26Å"5 = -45
- -10
N
-10
6/19
Siły przekrojowe  własności
" w miejscu przyło\
enia siły skupionej prostopadłej do osi
pręta siła poprzeczna Q doznaje skoku o jej wartość a
wykres momentu zginającego M ma załamanie
" w miejscu przyło\
enia momentu skupionego moment
zginający M doznaje skoku o jego wartość
" na odcinku na którym przyło\
one jest obciÄ…\
enie ciągłe siła
poprzeczna Q jest liniowo zmienna a wykres momentu
zginajÄ…cego M jest parabolÄ… (krzywÄ… drugiego stopnia)
" Siła poprzeczna jest pochodną momentu zginającego
względem X, wiec w miejscu zerowania się siły poprzecznej
występuje ekstremum momentu zginającego.
7/19
Siły przekrojowe  przykład 2
30 kNm
30 kN/m Suma sił poziomych
50 kN
X = H = 0
"
A
H = 0kN
A
A B C
Suma momentów na punkt A
[m]
5.0 2.0
M = 30Å"5Å"2.5 + 30 - R Å"5 + 50Å"7 = 0
"
A B
30 kNm
30 kN/m
R =151kN
B
50 kN
Suma sił pionowych
Y = R - 30Å"5 + R - 50 = 0
"
HA=0 kN A B
R = 49kN
RA=49 kN RB=151 kN
A
Sprawdzenie  suma
momentów na punkt C
M = R Å"7 - 30Å"5Å"(2 + 2.5)+ 30 + R Å" 2 = 0
"
C A B
49Å"7 - 30Å"5Å" 4.5 + 30 +151Å"2 = 0
8/19
Siły przekrojowe  przykład 2
A B C
[m]
5.0 2.0
Q = 49
A
30 kNm
30 kN/m
50 kN
M = 0
A
HA=0 kN
RA=49 kN RB=151 kN
QBL = 49 - 30Å"5 = -101
49 50
QBP = -101+151 = 50
Q
+
+
M = 49Å"5 - 30Å"5Å" 2.5 = -130
BL
-
M = -130 + 30 = -100
BP
x
-101
Q = 50
C
130
M = 0
C
100
x = 49 / 30 = 1.63m
M
M = 49Å"1.63 - 30Å"1.63Å"1.63/ 2 = 40
x
9/19
40
Siły przekrojowe w ramach
Wykresy sił przekrojowych w ramach wykonuje się analogicznie
jak w belkach. Jedyna ró\
nica polega na konieczności
rozkładania sił na składową normalną (równoległa do osi pręta)
i poprzecznÄ…. Kierunek normalny i poprzeczny sÄ… zwiÄ…zane
z osią pręta a nie z globalnym układem współrzędnych.
W przypadku ramy z ukośnym słupem nale\
y skorzystać
z odpowiednich zale\
ności trygonometrycznych.
N
Y
Q
X
10/19
Siły przekrojowe w ramach  równowaga węzła
Po wykonaniu wykresów sił przekrojowych dla sprawdzenia ich
poprawności mo\
na sprawdzić równowagę wyciętego
z konstrukcji węzła. Operacja ta polega na obcią\
eniu wyciętego
węzła odczytanymi z wykresów wartościami przywęzłowymi siły
podłu\
nej, poprzecznej i momentu zginajÄ…cego oraz
przyło\
onymi do węzła obcią\
eniami. Następnie nale\
y
sprawdzić czy spełnione są warunki równowagi (sumy sił
poziomych, sumy sił pionowych oraz sumy momentów).
Niespełnienie któregokolwiek z nich oznacza brak równowagi
węzła  co świadczy o błędnym wyznaczeniu sił przekrojowych.
11/19
Siły przekrojowe w ramach  przykład
3.0
12 kN/m
10 kN
B C
QA = 0
D
E 15 kN
QE = -25
25 kN
QBs = -25
A RD=7.17 kN
QBr = 28.83
HA=0
RA=28.83 kN
QCr = 28.83 - 3Å"12 = -7.17
QCs =15
QD =15
+
x = 7.17 /12 = 0.6m
Q
+
-
15
-25
x
12/19
2.0
2.5
2.5
28.83
-7.17
Siły przekrojowe w ramach  przykład
3.0
12 kN/m
10 kN
B C
NA = -28.83
D
E 15 kN
25 kN
NBs = -28.83
A RD=7.17 kN
NBr = -25
HA=0
NCr = -25
RA=28.83 kN
NCs = -7.17
ND = -7.17
N
-
-7.17
-
-28.83
13/19
-
2.0
2.5
2.5
-25
Siły przekrojowe w ramach  przykład
3.0
12 kN/m
10 kN
B C
D
E 15 kN
M = 0
25 kN
A
M = 0
A RD=7.17 kN
E
M = -25Å" 2.5 = -62.5
HA=0
B
RA=28.83 kN
MC = -15Å" 2 = -30
M = 7.17Å"0.6 -15Å"2 -12Å"0.6Å"0.3 = -27.8
x
62.5 30
M
14/19
2.0
2.5
2.5
62.5
30
25.7
Siły przekrojowe w ramach  przykład
3.0
12 kN/m
10 kN N
B C
-
-7.17
D
E 15 kN
25 kN -
-28.83
A RD=7.17 kN
HA=0
RA=28.83 kN
62.5 30
+
M
Q
+
-
15
-25
x
15/19
-
-25
2.0
2.5
2.5
62.5
30
25.7
28.83
-7.17
Siły przekrojowe w ramach  równowaga węzła C
3.0
12 kN/m
7.17 kN
10 kN
B C
D
E 15 kN
25 kN
25 kN 10 kN
30 kNm
A RD=7.17 kN
15 kN
HA=0
RA=28.83 kN
7.17 kN
62.5 30
30 kNm
M
16/19
2.0
2.5
2.5
62.5
30
25.7
Siły przekrojowe w ramach  równowaga węzła C
3.0
12 kN/m
7.17 kN
10 kN
B C
25 kN 10 kN
30 kNm
D
E 15 kN
25 kN
15 kN
A RD=7.17 kN
HA=0
RA=28.83 kN
N 7.17 kN
-
-7.17
30 kNm
-
-28.83
17/19
-
2.0
2.5
2.5
-25
62.5
Siły przekrojowe w ramach  równowaga węzła C
3.0
12 kN/m
7.17 kN
10 kN
B C
D
E 15 kN
25 kN
25 kN 10 kN
30 kNm
A RD=7.17 kN
15 kN
HA=0
RA=28.83 kN
7.17 kN
+
30 kNm
Q
+
-
15
-25
x
18/19
2.0
2.5
2.5
28.83
-7.17
Siły przekrojowe w ramach  równowaga węzła C
7.17 kN
25 kN 10 kN
30 kNm
15 kN
X = 25 -10 -15 = 0
"
7.17 kN
Y = -7.17 + 7.17 = 0
"
M = -30 + 30 = 0
"
30 kNm
19/19