---

Overview

Zadanie1
Zadanie 2 i 3
Zadanie 4
Zadanie 5 i 6
Zadanie 7
Zadanie 8 i 9

---

Sheet 1: Zadanie1

Zadanie 1		<-- na zajęciach
W pewnym województwie przeprowadzono badanie cen oleju napędowego.W próbie losowej 15 stacji benzynowych uzyskano następujące ceny (zł):
	3.88
	3.95
	4.15
	4.32
	3.98
	4.54
	4.32
	3.96
	3.89
	4.55
	4.42
	4.54
	3.99
	4.19
	4.28
Wcześniejsze badania wykazały, że rozkład badanej zmiennej losowej jest w przybliżeniu normalny.
Oszacuj średnią cenę oleju napędowego we wszystkich stacjach paliw w tym województwie:
a) metodą punktową
b) metodą przedziałową na poziomie ufności 90%
c) ile stacji paliw należy zbadać, aby na poziomie ufności 90% oszacować średnią cenę oleju napędowego z błędem szacunku nie przekraczającym 10 groszy?
Rozwiązanie
a) estymacja punktowa
			średnia próby	4.20
			odchylenie standardowe próby	0.246532138347306	s^
			błąd standarowy średniej	0.063654324408268		=	4.20		z błędem standardowym			0.063654324408268
b) estymacja przedziałowa
			poziom ufności =	0.9
			α =	0.1
			t α,v =	1.76131013577489			od		do
			połowa długości przedziału (d) =	0.112115006766185			4.09	< m <	4.31
						Interpretacja:	Prawdopodobieństwo, że średnia cena oleju napędowego w pewnym województwie
							mieści się w przedziale (4,09;4,31) jest równe 0,90.
c) minimalna liczebność próby
c) ile stacji paliw należy zbadać, aby na poziomie ufności 90% oszacować średnią cenę oleju napędowego z błędem szacunku nie przekraczającym 10 groszy?
d=0,1
						18.8546621132727
Odp.:
a) 4,2 +/- 0,06				żeby błąd oszacowania nie przekroczył 0,1, minimalna liczba próby powinna liczyć przynajmniej 19 stacji.										Należy zbadać dodatkowo cenę beznzyny w 4 stacjach.
b) (4,09; 4,31)
c) 19

---

Sheet 2: Zadanie 2 i 3

Zadanie 2

<--- Praca w domu

Pewien dom handlowy chce ustalić przeciętną wielkość sprzedaży. Wylosowano 100 klientów i obliczono dla tych klientów średnią sprzedaży 1680 zł i odchylenie standardowe 1270 zł.

a) Oszacować średnią wielkość sprzedaży z prawdopodobieństwem 0,9.

b) Ilu należy wylosować klientów, aby średnią sprzedaży oszacować z błędem szacunku nie przekraczającym 100 zł (przy tym samym poziomie ufności)?

Odp.: a) (1471,1; 1888,9); b) 437

a)

model duza próba

poziom ufności = 0,9 a więc alfa =1-0,9 =0,1

u alfa

1.64485362695147

d

208.896410622837

g1 =

1471.10358937716

g2=

1888.89641062284

prawdopodobieństwo, że średnia wielkośc sprzedaży mieści się w przedziale (1471;1889) wynosi 0,90.

przedział ufności (1471,10;1888,89)

b) Ilu należy wylosować klientów, aby średnią sprzedaży oszacować z błędem szacunku nie przekraczającym 100 zł (przy tym samym poziomie ufności)?

436.377103711049

aby uzyskać błąd w wysokości nie większej niż 100 zł, próba powinna wynosić 437 osób. Należy zwiekszyc próbę o 337 osób.

Zadanie 3

<--- Praca w domu

Dwukilowe puszki z farbą napełniane są przy pomocy aparatu dozującego. Chcemy oszacować nieznaną średnią wagę zawartości puszek. Wiemy, że rozkład wagi farby w puszce jest normalny. Wylosowano 9 puszek otrzymując następujące wagi farby w tych puszkach: 200,8, 199,0, 198,6, 197,8, 200,2, 199,8, 200,5, 197,5 198,8 (dag). Przyjąć współczynnik ufności 0,95. Jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności oszacować średnią wagę puszek z dokładnością do 0,2 dag?

próba jest w zadaniu

Odp.: (198,32; 200,12); 184

estymacja punktowa

200.8

199

198.6

197.8

200.2

199.8

200.5

197.5

198.8

średnia próby

199.222222222222

odchylenie standardowe próby

1.1734327609388

s^

błąd standardowy średniej

0.391144253646265

m=

1.1734327609388

z błędem standrdowym

0.3911

estymacja przedziałowa

poziom ufności =

0.95

α =

0.05

t α,v =

2.30600413520417

połowa długości przedziału (d) =

0.901980266369634

od

do

198.320241955853

<M<

200.124202488592

Prawdopodobieństwo, że średnia waga puszki farby

mieści się w przedziale (198,32;200,12) jest równe 0,95.

minimalna ilośc próby

Jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności oszacować średnią wagę puszek z dokładnością do 0,2 dag?

n=

183.052890207053

---

Sheet 3: Zadanie 4

Zadanie 4

<-- na zajęciach (praca własna)

W ośrodku szkolenia kierowców OK wśród 200 uczestników kursu na prawo jazdy 28-miu z nich zdało egzamin „za pierwszym razem”.

Oszacuj odsetek wszystkich uczestników tego kursu zdających egzamin przy pierwszym podejściu

a) metodą punktową

b) metodą przedziałową na poziomie ufności 0,96

c) jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności oszacować ten odsetek z dokładnością do 2%?

Rozwiązanie

a) estymacja punktowa

n =

200

nw =

28

w =

0.14

błąd standardowy wskaźnika struktury =

0.024535688292771

=

0.14

z błędem standardowym

0.024535688292771

ocena/szacunek

bład

a) estymacja przedziałowa

w =

0.14

1-α =

0.96

α =

0.04

u α =

2.05374891063182

połowa długości przedziału (d) =

0.05039014310288

0.089609856897121

< p <

0.19039014310288

Interpretacja:

Prawdopodobieństwo, że odsetek kursantów zdających egzamin na prawo jazdy za pierwszym

razem mieści się w przedziale (0,09;0,19) jest równe 0,96.

d=0,02

c) minimalna liczebność próby

n

1270

Odp.: a) 0,14 +/- 0,025; b) 0,09; 019; c) 1270

---

Sheet 4: Zadanie 5 i 6

Zadanie 5

<--- Praca w domu

W pewnym zakładzie produkcyjnym należy oszacować udział (%) pracowników poniżej 25-go roku życia (pracownicy młodzi). Badając próbę 100 osób okazało się, że 18% spośród nich liczy mniej niż 25 lat.

a) Oszacować wartość poszukiwanego parametru przyjmując poziom ufności 0,9.

b) Jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności dokładność oszacowania nie przekroczyła 1%?

Odp.: a) (0,12; 0,24); b) 3994

wskaźnik struktury

w=

0.18

nw=

18

n=

100

u alfa

1.64485362695147

alfa

0.1

sw

0.038418745424597

d

0.063193212754574

g1

0.12

g2

0.24

prawdopodobieństwo, że procent osób w firmie poniżej 25 roku życia miesići się w przedziale (0,12;0,24) i wynosi 0,90%.

n

3993.4

3994

Zadanie 6

<--- Praca domowa

Firma reklamowa przeprowadziła sondaż telefoniczny wśród 169 osób. Spośród badanych 48 osób zapamiętało ostatni slogan reklamowy związany z wprowadzeniem nowego produktu na rynek.

a) Z 90% wiarygodnością oszacować procent widzów TV, którzy zapamiętali tekst reklamy.

b) Jak liczna powinna być próba, aby oszacować procent widzów, którzy zapamiętali tekst reklamy z dokładnością 2 razy większą?

Odp.: a) (0,22; 0,34); b) wskazówka: d=0,03

wskaźnik struktury

w=

0.284023668639053

nw=

48

n=

169

u alfa

1.64485362695147

alfa

0.1

sw

0.034688318403746

d

0.05705720633925

g1

0.226966462299804

g2

0.341080874978303

prawdopodobieństwo, że procent osób zapamięta slogan reklamowy miesići się w przedziale (22;34%) i wynosi 0,90%.

b) dokładnosc dwa razy wieksza oznacza, że d musi być dwa razy mniejsze.

n=

676.00

677

---

Sheet 5: Zadanie 7

Zadanie 7		<-- na zajęciach (praca własna)
Czas rozwiązywania testu matematycznego jest zmienną losową o rozkładzie N(m, σ). Zbadano 8 osobową grupę uczniów otrzymując wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20. Należy ocenić zróżnicowanie czasu rozwiązywania tego testu w całej zbiorowości uczniów. W tym celu oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe czasu rozwiązywania tego testu w całej populacji uczniów. Przyjąć poziom ufności 0,9.
Rozwiązanie
									s^2 wariancja		s^ odchylenie standardowe
									alfa = 1 - poziom ufności
L.p.	czas		n=8						sigma	odchylenie standardowe w populacji							rozkł.chi.odwr.ps(1-(alfa/2);n-1)			dla ch kwadrat
1	25		alfa =0,1	bo 1-0,9																rozkl.chi.odwr.ps (alfa/2; n-1)
2	16	wariancja z próby	(s^)^2	35.6964285714286
3	12					chi1	14.0671404493402
4	10	przedział dla wariancji				chi2	2.16734990929806
5	12	granica dolna		17.7630273117605
6	21	granica górna		115.290567032126
7	25								prawdopodobieństwo, że odhcylenie standardowe czasu rozwiązywania testu mieści się w przedziale (4,2; 10,7) jest równe 0,9.
8	20	przedział ale odchylenia standardowego
		g1	4.21462066048185
		g2	10.7373445056087
	prawdopodobieństwo, że wariancja czasu rozwiązywania testu mieści się w przedziale (17.8; 115,3) jest równe 0,9.
Odp.: (4,2; 10,7)
Zadanie dodatkowe
próbie liczącej 20 osób wariancja zarobków była równa 120 zł^2
oszacuj punktowo i przedziałowo (ufność 0,93) odchylenie standardowe i wariancję zarobków w populacji

---

Sheet 6: Zadanie 8 i 9

Zadanie 8		<--- Praca w domu
Spośród 10 tys. pracowników przedsiębiorstwa wylosowano próbę liczącą 150 osób i zadano im pytanie, czy są zadowoleni z wykonywanej pracy. Okazało się, że 98 osób spośród zbadanych odpowiedziało na to pytanie twierdząco. Przyjmując współczynnik ufności 0,9 wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury pracowników zadowolonych z wykonywanej pracy w całej populacji pracowników tego przedsiębiorstwa. Ilu pracowników należy wylosować, aby dokładność oszacowania nie przekroczyła 2% przy tym samym współczynniku ufności?
Odp.: (0,59; 0,72); 1532
Zadanie 9		<--- Praca w domu
Należy oszacować odsetek osób niepalących wśród studentów SGGW. Ilu studentów należy wylosować do próby, aby z prawdopodobieństwem 0,9 oszacować ten odsetek z dokładnością do 2 %.
Odp.: 1691