---

Overview

Zadanie1
Zadanie 2 i 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 6
Zadanie 7 i 8
Zadanie 9 i 10
Zadanie 11 i 12

---

Sheet 1: Zadanie1

Zadanie 1		<-- na zajęciach
W pewnym województwie przeprowadzono badanie cen benzyny bezołowiowej 95-oktanowej.W próbie losowej 15 stacji benzynowych uzyskano następujące ceny (zł):
5,28
5,35
5,55				X- cena benzyny
5,72				X~N(m,σ)
5,38
5,94				m- średnia cena benzyny w populacji, czy w całym województwie
5,72				m=?
5,36
5,29
5,95
5,82
5,94				n=15
5,39
5,59
5,68
Wcześniejsze badania wykazały, że rozkład badanej zmiennej losowej jest w przybliżeniu normalny.
Oszacuj średnią cenę benzyny we wszystkich stacjach paliw w tym województwie:
a) metodą punktową
b) metodą przedziałową na poziomie ufności 90%
c) ile stacji paliw należy zbadać, aby na poziomie ufności 90% oszacować średnią cenę benzyny z błędem szacunku nie przekraczającym 10 groszy?
Rozwiązanie
a) estymacja punktowa
			n=	15
			średnia próby	5,60
			odchylenie standardowe próby	0,25
			błąd standarowy średniej	0,06		m=	5,60	+/-	0,06	Średnia cena benzyny w całym województwie wynosi 5,60 zł z błędem standardowym 0,6 zł
b) estymacja przedziałowa
				lewy koniec przedziału		prawy koniec przedziału
			poziom ufności=	0,9
			α=	0,1
			talfa,v=	1,76131013577489			od		do
			połowa długości przedziału (d)=	0,112115006766185			5,49	<m<	5,71
						Interpretacja:	Z prawdopodobieństwem 0,9 ufamy, że średnia cena benzyny w populacji jest wyższa niż 5,49 a niższa niż 5,71. Dokładność tego oszacowania wynosi 0,11 zł
c) minimalna liczebność próby
Odp.:
a) 4,2 +/- 0,06
b) (4,09; 4,31)				nmin =	19
c) 19

---

Sheet 2: Zadanie 2 i 3

Zadanie 2			<--- Praca domowa
Pewien dom handlowy chce ustalić przeciętną wielkość sprzedaży. Wylosowano 100 klientów i obliczono dla tych klientów średnią sprzedaży 1680 zł i odchylenie standardowe 1270 zł.
a) Oszacować średnią wielkość sprzedaży z prawdopodobieństwem 0,9.
b) Ilu należy wylosować klientów, aby średnią sprzedaży oszacować z błędem szacunku nie przekraczającym 100 zł (przy tym samym poziomie ufności)?
Odp.: a) (1471,1; 1888,9); b) 437
a)
ufność =	208,896410622837
					n=	100
lewy koniec=	1471,10358937716	prawy koniec=	1888,9		x- =	1680	zł
m=(1471,1;188,9)					s=	1270	zł
					1-α=	0,9		1471,10358937716	<m<	1888,89641062284
					α=	0,1
					1-α/2 =	0,95
					uα=	1,645
					błąd standardowy=	127
b)
błąd szacunku=	100	zł
			n=	436,38	437
Zadanie 3			<--- Praca domowa
Dwukilowe puszki z farbą napełniane są przy pomocy aparatu dozującego. Chcemy oszacować nieznaną średnią wagę zawartości puszek. Wiemy, że rozkład wagi farby w puszce jest normalny. Wylosowano 9 puszek otrzymując następujące wagi farby w tych puszkach: 200,8, 199,0, 198,6, 197,8, 200,2, 199,8, 200,5, 197,5 198,8 (dag). Przyjąć współczynnik ufności 0,95. Jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności oszacować średnią wagę puszek z dokładnością do 0,2 dag?
Odp.: (198,32; 200,12); 184
200,8		ufność=	0,95
199,0		α=	0,05
198,6		n=	9		lewy kraniec=	198,320241955853
197,8		v=	8		prawy kraniec=	200,12
200,2		średnia =	199,222
199,8		odchylenie standardowe z próbki=	1,1734
200,5		standardowy błąd średniej z próbki=	0,3911		m=(198,32;200,12)
197,5
198,8		talfa,v=	2,3060
					nmin =	183,052890207053	ok.184

---

Sheet 3: Zadanie 4

Zadanie 4		<-- na zajęciach (dokończyć w domu)
Czas rozwiązywania testu matematycznego jest zmienną losową o rozkładzie N(m, σ). Zbadano 8 osobową grupę uczniów otrzymując wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20. Należy ocenić zróżnicowanie czasu rozwiązywania tego testu w całej zbiorowości uczniów. W tym celu oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe czasu rozwiązywania tego testu w całej populacji uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,9.
Rozwiązanie
L.p.	czas
1	25						n =	8
2	16						wariancja próby (nieobciążona) =	35,7
3	12
4	10						poziom ufności=	0,9
5	12						α=	0,1
6	21						v =	7
7	25
8	20						χ2alfa/2,v=	14,0671404493402
							χ21-alfa/2,v=	2,16734990929806
						17,7630273117605	< σ2 <	115,290567032126	z P=	0,9
Odp.: (4,2; 10,7)
						4,21462066048185	< σ <	10,7373445056087	z P=	0,9
						Interpretacja:	Z ufnością 90% wierzymy, że odchylenie standardowe
							długości pisania testu wynosi
							od 4,2 do 10,7

---

Sheet 4: Zadanie 5

Zadanie 5
W celu oceny zróżnicowania ceny (w tys.zł) 12 m nowych mieszkań oferowanych do sprzedaży w pewnej miejscowości w I kwartale 2010 r.,
wylosowano 9 ofert i uzyskano następujące wyniki:
6,1	5,9	6,2	6,8	5,7	6,4	6,0	6,5	6,8
Zakładając, że cena ma rozkład normalny, oszacuj punktowo i przedziałowo zróżnicowanie cen nowych mieszkań oferowanych przez ten rynek.
Przyjmij poziom ufności 0,94.
Odp.: 0,39; (0,27; 0,72)
X- cena mieszkań					α/2=	0,03
X~N(m,σ)					1-α/2=	0,97
1-α=	0,94				χ2α/2=	17,010
n=	9				χ21-α/2=	2,310
v=	8
					0,07	< σ2 <	0,52
6,1		x- =	6,26666666666667		0,27	< σ <	0,72
5,9		s2=	0,15
6,2		s=	0,39
6,8
5,7
6,4
6,0
6,5
6,8

---

Sheet 5: Zadanie 6

Zadanie 6		<-- na zajęciach (dokończyć w domu)
W ośrodku szkolenia kierowców OK wśród 200 uczestników kursu na prawo jazdy 28-miu z nich zdało egzamin „za pierwszym razem”.
Oszacuj odsetek wszystkich uczestników tego kursu zdających egzamin przy pierwszym podejściu
a) metodą punktową
b) metodą przedziałową na poziomie ufności 0,96
c) jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności oszacować ten odsetek z dokładnością do 2%?
Rozwiązanie
a) estymacja punktowa
			n=	200
			ni=	28
			w=	0,14
			błąd standardowy wskaźnika struktury=	0,024535688292771		p=	0,14	+/-	0,025
a) estymacja przedziałowa
			w=	0,14
			1-α=	0,96
			α=	0,04	1-α/2=	0,98
			ualfa=	2,05374891063182
			połowa długości przedziału (d)=	0,05039014310288			0,09	<p<	0,19
					Interpretacja:	Ufamy w 96% że za pierwszym razem zda
						od 9% do 19% zdających
c) minimalna liczebność próby
Odp.: a) 0,14 +/- 0,025; b) 0,09; 019; c) 1270
	u2α=	4,2178845879214
	d=	0,02
	nmin=	1270

---

Sheet 6: Zadanie 7 i 8

Zadanie 7		<--- Praca domowa
W pewnym zakładzie produkcyjnym należy oszacować udział (%) pracowników poniżej 25-go roku życia (pracownicy młodzi). Badając próbę 100 osób okazało się, że 18% spośród nich liczy mniej niż 25 lat.
a) Oszacować wartość poszukiwanego parametru przyjmując poziom ufności 0,9.
b) Jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności dokładność oszacowania nie przekroczyła 1%?
Odp.: a) (0,12; 0,24); b) 3994
a)					b)
n=	100					u2α=	2,70554345409541
ni=	18					d=	0,01
w=	0,18
błąd standardowy wskaźnika struktury=						nmin=	3993,38	ok. 3994
1-α=	0,9
α=	0,1
1-α/2=	0,95
uα=	1,64485362695147
lewy koniec	0,12
prawy koniec	0,24
pÎ	(0,12;0,24)
Zadanie 8		<--- Praca domowa
Firma reklamowa przeprowadziła sondaż telefoniczny wśród 169 osób. Spośród badanych 48 osób zapamiętało ostatni slogan reklamowy związany z wprowadzeniem nowego produktu na rynek.
a) Z 90% wiarygodnością oszacować procent widzów TV, którzy zapamiętali tekst reklamy.
b) Jak liczna powinna być próba, aby oszacować procent widzów, którzy zapamiętali tekst reklamy z dokładnością 2 razy większą?
Odp.: a) (0,22; 0,34); b) wskazówka: d=0,03
a)				b)	u2α=	2,70554345409541
n=	169				d=	0,03
ni=	48
w=	0,284				nmin=	611,32	ok. 612
błąd standardowy struktury wskaźnika=	0,0347
1-α=	0,9
α=	0,1
1-α/2=	0,95
uα=	1,64485362695147
lewy koniec	0,23
prawy koniec	0,34
pÎ	(0,23;0,34)

---

Sheet 7: Zadanie 9 i 10

Zadanie 9		<--- Praca domowa
Spośród 10 tys. pracowników przedsiębiorstwa wylosowano próbę liczącą 150 osób i zadano im pytanie, czy są zadowoleni z wykonywanej pracy. Okazało się, że 98 osób spośród zbadanych odpowiedziało na to pytanie twierdząco. Przyjmując współczynnik ufności 0,9 wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury pracowników zadowolonych z wykonywanej pracy w całej populacji pracowników tego przedsiębiorstwa. Ilu pracowników należy wylosować, aby dokładność oszacowania nie przekroczyła 2% przy tym samym współczynniku ufności?
Odp.: (0,59; 0,72); 1532
n=	150		d=	0,02
ni=	98		u2α=	2,706
w=	0,653
błąd standardowy struktury wskaźnika=	0,039
1-α=	0,9		nmin=	1531,93882689669	ok. 1532
α=	0,1
1-α/2=	0,95
uα=	1,645
lewy koniec	0,59
prawy koniec	0,72
pÎ	(0,59;0,72)
Zadanie 10		<--- Praca domowa
Należy oszacować odsetek osób niepalących wśród studentów SGGW. Ilu studentów należy wylosować do próby, aby z prawdopodobieństwem 0,9 oszacować ten odsetek z dokładnością do 2 %.
Odp.: 1691
1-α =	0,9
α=	0,1
1-α/2=	0,95		nmin=	1690,96465880963	ok. 1691
uα=	1,64485362695147
u2α=	2,70554345409541
d=	0,02
4d2=	0,0016

---

Sheet 8: Zadanie 11 i 12

Zadanie 11

W pewnym supermarkecie zmierzono czas obsługi (w s) 90 losowo wybranych klientów i uzyskano następujące wyniki:

Czas obsługi

Liczba klientów

xi

xini

xi-śr.

(xi-śr.)2

(xi-śr.)2ni

0-40

18

20

360

-57,8

3338,3

60088,9

a)

średnia=

77,8

b)

s=

48,8

c)

n=

90

40-80

40

60

2400

-17,8

316,0

12642,0

v=

89

ni=

73

80-120

15

100

1500

22,2

493,8

7407,4

s2=

2377,03

1-α=

0,95

w=

0,8

120-160

10

140

1400

62,2

3871,6

38716,0

s=

48,8

α=

0,05

1-α=

0,9

160-200

5

180

900

102,2

10449,4

52246,9

sx=

5,1

1-α/2=

0,975

α=

0,1

200-240

2

220

440

142,2

20227,2

40454,3

1-α=

0,9

α/2=

0,025

1-α/2=

0,95

suma

90

-

7000

-

38696,3

211555,6

α=

0,1

χ2α/2=

116,99

uα=

1,64485362695147

1-α/2=

0,95

χ21-α/2=

64,8

sw=

0,041259325752989

uα=

1,645

lewy kraniec

69,325

lewy kraniec

42,5

lewy kraniec

0,74

prawy kraniec

86,231

prawy kraniec

57,1

prawy kraniec

0,88

mÎ

(69,3;86,2)

σÎ

(42,5;57,1)

a) oszacuj metodą punktową i przedziałową średni czas obsługi klientów w tym supermarkecie. Przyjmij poziom ufności 0,90.

b) oszacuj metodą punktową i przedziałową odchylenie standardowe czasu obsługi klientów w tym supermarkecie. Przyjmij poziom ufności 0,95.

c) oszacuj metodą punktową i przedziałową odsetek klientów tego supermarketu obsługiwanych w czasie nie przekraczającym 120 sekund (poziom ufności 0,90).

Odp.: a) 77,8; (69,3; 86,2), b) 48,8; (42,3; 56,7)

Zadanie 12

W badaniu marketingowym, losowo wybranym klientkom pewnej firmy kosmetycznej zadano pytanie "Czy są zdecydowane kupować nowy produkt tej firmy?"

Wyniki badania reprezentatywnej próby klientek przedstawiają się następująco:

Odpowiedź

Na poziomie ufności 0,95 oszacuj przedziałowo odsetek klientek tej firmy kosmetycznej, które:

tak

a) zdecydują się kupować nowy produkt

nie wiem

b) nie mają zdania.

nie wiem

nie

1-α=

0,95

α=

0,05

uα=

1,95996398454005

nie

n=

125

1-α/2=

0,975

tak

tak

a)

b)

nie wiem

ni=

48

ni=

37

nie

w=

0,384

w=

0,296

tak

sw=

0,043501172397994

sw=

0,040829793043806

nie wiem

tak

lewy koniec

0,30

lewy koniec

0,22

nie

prawy koniec

0,47

prawy koniec

0,38

nie

pÎ

(0,30;0,47)

pÎ

(0,22;0,38)

tak

tak

tak

nie wiem

nie wiem

nie

nie wiem

nie

nie

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie wiem

nie wiem

nie wiem

tak

nie

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie

tak

nie wiem

tak

nie wiem

tak

nie

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie wiem

nie wiem

tak

tak

nie wiem

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie

tak

tak

tak

nie wiem

nie wiem

nie wiem

tak

nie

nie

nie wiem

tak

nie

nie

tak

nie

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie wiem

nie wiem

tak

tak

nie wiem

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie

tak

tak

nie wiem

tak

nie

nie

tak

nie

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie wiem

nie wiem

tak

tak

nie wiem

nie

tak

nie wiem

tak

nie

nie

tak

tak

nie wiem

nie wiem