---

Overview

Zadanie1
Zadanie 2 i 3
Zadanie 4
Zadanie 5 i 6
Zadanie 7
Zadanie 8 i 9

---

Sheet 1: Zadanie1

Zadanie 1

<-- na zajęciach

W pewnym województwie przeprowadzono badanie cen oleju napędowego.W próbie losowej 15 stacji benzynowych uzyskano następujące ceny (zł):

3.88

3.95

4.15

4.32

3.98

4.54

4.32

3.96

3.89

4.55

4.42

4.54

3.99

4.19

4.28

Wcześniejsze badania wykazały, że rozkład badanej zmiennej losowej jest w przybliżeniu normalny.

Oszacuj średnią cenę oleju napędowego we wszystkich stacjach paliw w tym województwie:

a) metodą punktową

b) metodą przedziałową na poziomie ufności 90%

c) ile stacji paliw należy zbadać, aby na poziomie ufności 90% oszacować średnią cenę oleju napędowego z błędem szacunku nie przekraczającym 10 groszy?

Rozwiązanie

a) estymacja punktowa

średnia próby

odchylenie standardowe próby

błąd standarowy średniej

=

z błędem standardowym

b) estymacja przedziałowa

poziom ufności =

α =

t α,v =

od

do

połowa długości przedziału (d) =

< m <

Interpretacja:

c) minimalna liczebność próby

Odp.:

a) 4,2 +/- 0,06

b) (4,09; 4,31)

c) 19

---

Sheet 2: Zadanie 2 i 3

Zadanie 2		<--- Praca w domu
Pewien dom handlowy chce ustalić przeciętną wielkość sprzedaży. Wylosowano 100 klientów i obliczono dla tych klientów średnią sprzedaży 1680 zł i odchylenie standardowe 1270 zł.
a) Oszacować średnią wielkość sprzedaży z prawdopodobieństwem 0,9.
b) Ilu należy wylosować klientów, aby średnią sprzedaży oszacować z błędem szacunku nie przekraczającym 100 zł (przy tym samym poziomie ufności)?
Odp.: a) (1471,1; 1888,9); b) 437
Zadanie 3		<--- Praca w domu
Dwukilowe puszki z farbą napełniane są przy pomocy aparatu dozującego. Chcemy oszacować nieznaną średnią wagę zawartości puszek. Wiemy, że rozkład wagi farby w puszce jest normalny. Wylosowano 9 puszek otrzymując następujące wagi farby w tych puszkach: 200,8, 199,0, 198,6, 197,8, 200,2, 199,8, 200,5, 197,5 198,8 (dag). Przyjąć współczynnik ufności 0,95. Jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności oszacować średnią wagę puszek z dokładnością do 0,2 dag?
Odp.: (198,32; 200,12); 184

---

Sheet 3: Zadanie 4

Zadanie 4

<-- na zajęciach (praca własna)

W ośrodku szkolenia kierowców OK wśród 200 uczestników kursu na prawo jazdy 28-miu z nich zdało egzamin „za pierwszym razem”.

Oszacuj odsetek wszystkich uczestników tego kursu zdających egzamin przy pierwszym podejściu

a) metodą punktową

b) metodą przedziałową na poziomie ufności 0,96

c) jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności oszacować ten odsetek z dokładnością do 2%?

Rozwiązanie

a) estymacja punktowa

n =

nw =

w =

błąd standardowy wskaźnika struktury =

=

z błędem standardowym

a) estymacja przedziałowa

w =

1-α =

α =

u α =

połowa długości przedziału (d) =

< p <

Interpretacja:

c) minimalna liczebność próby

Odp.: a) 0,14 +/- 0,025; b) 0,09; 019; c) 1270

---

Sheet 4: Zadanie 5 i 6

Zadanie 5		<--- Praca w domu
W pewnym zakładzie produkcyjnym należy oszacować udział (%) pracowników poniżej 25-go roku życia (pracownicy młodzi). Badając próbę 100 osób okazało się, że 18% spośród nich liczy mniej niż 25 lat.
a) Oszacować wartość poszukiwanego parametru przyjmując poziom ufności 0,9.
b) Jak liczna powinna być próba, aby przy tym samym poziomie ufności dokładność oszacowania nie przekroczyła 1%?
Odp.: a) (0,12; 0,24); b) 3994
Zadanie 6		<--- Praca domowa
Firma reklamowa przeprowadziła sondaż telefoniczny wśród 169 osób. Spośród badanych 48 osób zapamiętało ostatni slogan reklamowy związany z wprowadzeniem nowego produktu na rynek.
a) Z 90% wiarygodnością oszacować procent widzów TV, którzy zapamiętali tekst reklamy.
b) Jak liczna powinna być próba, aby oszacować procent widzów, którzy zapamiętali tekst reklamy z dokładnością 2 razy większą?
Odp.: a) (0,22; 0,34); b) wskazówka: d=0,03

---

Sheet 5: Zadanie 7

Zadanie 7		<-- na zajęciach (praca własna)
Czas rozwiązywania testu matematycznego jest zmienną losową o rozkładzie N(m, σ). Zbadano 8 osobową grupę uczniów otrzymując wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20. Należy ocenić zróżnicowanie czasu rozwiązywania tego testu w całej zbiorowości uczniów. W tym celu oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe czasu rozwiązywania tego testu w całej populacji uczniów. Przyjąć poziom ufności 0,9.
Rozwiązanie
L.p.	czas
1	25
2	16
3	12
4	10
5	12
6	21
7	25
8	20
Odp.: (4,2; 10,7)
Zadanie dodatkowe
próbie liczącej 20 osób wariancja zarobków była równa 120 zł^2
oszacuj punktowo i przedziałowo (ufność 0,93) odchylenie standardowe i wariancję zarobków w populacji

---

Sheet 6: Zadanie 8 i 9

Zadanie 8		<--- Praca w domu
Spośród 10 tys. pracowników przedsiębiorstwa wylosowano próbę liczącą 150 osób i zadano im pytanie, czy są zadowoleni z wykonywanej pracy. Okazało się, że 98 osób spośród zbadanych odpowiedziało na to pytanie twierdząco. Przyjmując współczynnik ufności 0,9 wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury pracowników zadowolonych z wykonywanej pracy w całej populacji pracowników tego przedsiębiorstwa. Ilu pracowników należy wylosować, aby dokładność oszacowania nie przekroczyła 2% przy tym samym współczynniku ufności?
Odp.: (0,59; 0,72); 1532
Zadanie 9		<--- Praca w domu
Należy oszacować odsetek osób niepalących wśród studentów SGGW. Ilu studentów należy wylosować do próby, aby z prawdopodobieństwem 0,9 oszacować ten odsetek z dokładnością do 2 %.
Odp.: 1691