X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Zbigniew LIPSKI

1

CZASOWO-WIDMOWA CHARAKTERYSTYKA

PARASEJSMICZNYCH WYMUSZEŃ KINEMATYCZNYCH

1. Wprowadzenie

W analizie sygnałó w powszechnie wykorzystywane są amplitudowe i fazowe charakterystyki
widmowe i gę stości widmowe mocy. Ogó lnie rzecz ujmując pozwalają one na rozpoznawanie
własności widmowych sygnałó w, natomiast w dynamice budowli są przydatne do np. ogó lnej
oceny korelacji pomię dzy widmem obciążenia dynamicz-nego a widmem własnym obciążanego
obiektu. Można dzię ki niej wskazać na możli-wość powstania rezonansó w, stałych lub
przejściowych, sprawdzić zakres możliwego przestrojenia obiektu lub zmiany obciążenia. Ró wnież
w przypadku, gdy obciążenie dynamiczne ma charakter wymuszenia kinematycznego przydatne są
jego charakterys-tyki widmowe. Dotyczy to np. wymuszeń typu parasejsmicznego, któ re związane
jest ze wstrząsami gó rniczymi. Mogą nimi być akcelerogramy rejestrowane w stacjach
pomiarowych zlokalizowanych na powierzchni gruntu, któ re stosuje się jako wymu-szenia
kinematyczne obiektó w poddawanych analizie np. numerycznej w celu określenia ich odpowiedzi
dynamicznej na to wymuszenie.

Akcelerogramy związane ze wstrząsami gó rniczymi wykazują silną niestacjo-narność

rozkładu prawdopodobieństwa w trakcie ich trwania, a co za tym idzie także charakterystyk
widmowych. Klasyczne podejście wymaga zastosowania w trakcie ich analizy redukcji efektu
niestacjonarności za pomocą okienkowej transformaty Fouriera (kró tkoczasowej). Otrzymuje
się wtedy ewolucyjne charakterystyki widmowe. Zastoso-wanie kró tkoczasowych transformat
Fouriera prowadzi jednak do bardzo znacznej utraty rozdzielczości charakterystyki w dziedzinie
czę stotliwości. Wynika to z ograniczenia czasu trwania segmentó w, na któ re dzielony jest
pierwotny sygnał w trakcie analizy. Otrzymane charakterystyki widmowe mogą być w związku
z tym zupełnie „nieczytelne” i nie dają oczekiwanych informacji np. w postaci pasm
dominujących co do amplitudy składowych sygnału. Bardziej wiarygodną analizę widmową
akcelerogramó w związanych ze wstrząsami gó rniczymi może zapewnić zastosowanie
transformaty falkowej.

W niniejszym referacie przedstawiono pró bę zastosowania transformaty falkowej do analizy

własności widmowych akcelerogramó w od wstrząsó w gó rniczych. Transformaty te z natury swojej

1

Dr inż., Wydział Budownictwa Politechniki Śląskiej w Gliwicach

126

przystosowane są do analizy sygnałó w niestacjonarnych i umożliwiają prezentację ich własności
widmowych ewoluujących w czasie. Na przykład w [1] przestawiono możliwość analizy obiektu
dwuwymiarowego – zdję cia z zastosowaniem tej transformacji w celu kompresji ilości danych
niezbę dnych do jego odtworzenia. W [2] analizę falkową wykorzystywano do badania sygnałó w
bę dących rejestracjami drgań podłoża gruntowego pod pokładami torowiska kolejowego
wywołanych przejazdem pociągu ekspresowego z prę dkością 110 km/h. W [3] analizowano wpływ
nieliniowych własności modelu dynamicznego układu nośnego samolotu badanego w tunelu
aerodynamicznym. Oceny związku pomię dzy charakterystykami mechanicznymi układu nośnego
skrzydła a oddziaływaniem ośrodka dokonano z wykorzystaniem map wspó łczynnikó w
przekształcenia falkowego , w któ rym zastosowano falkę Morleta.

2. Podstawy teoretyczne

Wykonanie rozwinię cia Fouriera sygnału rzeczywistego oznacza jego rozkład na składowe
harmoniczne (czę stotliwościowe). Dotyczy to sygnałó w ciągłych lub dyskretnych w czasie.
Te rozwinię cia mogą być podane w postaci całki wzglę dem czę stotliwości lub w postaci
sumy (szeregu) składowych, któ re podają jak gdyby „udziały” poszczegó lnych
harmonicznych o określonych czę stotliwościach w sygnale oryginalnym [1]. Ciągłe
przekształcenia Fouriera wyrażone jest za pomocą wzoru:

ò

ò

¥

¥

-

¥

¥

-

-

=

=

.

)

(

)

(

,

)

(

2

1

)

(

dt

e

t

f

F

d

e

F

t

f

t

i

t

i

w

w

w

w

w

p

(1)

Wspó łczynnik Fouriera F(

w

) wyraża korelację funkcji (sygnału) z falą sinusoidalną e

i

w

t

.

Dziedzina funkcji bazowych e

i

w

t

obejmuje całą oś rzeczywistą, wię c F(

w

) zależy od wartości

f(t) dla wszystkich t

Î

R (oś liczb rzeczywistych). Wynika z tego, że w zasadzie za pomocą

przekształcenia Fouriera można analizować własności sygnałó w odnoszące się do całej osi
rzeczywistej. Można wię c stwierdzić , że w zagadnieniach dynamiki konstrukcji transformacja
ta umożliwia ścisłą analizę w odniesieniu do bardzo długich sygnałó w związanych z
dynamicznymi stanami ustalonymi. Natomiast analiza własności lokalnych w dziedzinie
czasu (stany nieustalone) z wykorzystaniem przekształcenia Fouriera jest obarczona błę dami.
Przekształcenie to charakteryzuje się wię c [1] nieskończenie ostrą lokalizacją czę stotliwości,
ale nie daje żadnej lokalizacji czasowej. Stąd potrzeba dekompozycji sygnału wzglę dem
zbioru funkcji dobrze zlokalizowanych w dziedzinie czasu i czę stotliwości.

W związku z ogó lnymi ograniczeniami dotyczącymi rozdzielczości w dziedzinie czasu i

czę stotliwości analiza akcelerogramó w opisujących drgania powierzchni ziemi wywołanych
przez wstrząsy gó rnicze wymaga zastosowania innego narzę dzia niż transformata Fouriera.
Dotyczy to także charakterystyk bazujących na tej transformacie. Dlatego podję to niniejszą
pró bę wykorzystania transformaty falkowej w odniesieniu do zagadnienia parasejsmicznego.

Ciągłe przekształcenie falkowe określone jest [1] dla funkcji f(t)

Î

L

2

(R)

(przestrzeń Hilberta) i dopuszczalnej falki podstawowej

y

(t) znormalizowanej tak, że

ma jednostkową energię , za pomocą wzoru

ò

¥

¥

-

*

=

.

)

(

)

(

)

,

(

dt

t

t

f

b

a

Wf

ab

y

(2)

127

Natomiast transformata odwrotna ma postać

ò ò

¥

¥

-

¥

¥

-

=

,

)

(

)

,

(

1

)

(

2

a

dadb

t

b

a

Wf

C

t

f

ab

y

y

(3)

gdzie:

*

- funkcja zespoloną, sprzę żoną,

a, b – parametry funkcji falkowej,

ò

¥

Y

=

0

2

)

(

w

w

w

y

d

C

, (4)

Y

(

w

) – transformata Fouriera funkcji

y

(t).

Funkcja falki ma ogó lną postać [1]

,

,

,

1

)

(

R

R

Î

Î

÷

ø

ö

ç

è

æ -

=

+

b

a

a

b

t

a

t

ab

y

y

(5)

W szczegó lności można przyjąć a

0

= 2 i b

0

=1. Otrzymuje się wtedy falki w postaci zwanej

diadyczną, dla któ rej przekształcenie falkowe ma postać

.

2

2

1

)

(

)

,

2

(

dt

b

t

t

f

b

Wf

m

m

m

ò

¥

¥

-

÷

ø

ö

ç

è

æ -

=

y

(6)

Można ją interpretować [1] w nastę pujący sposó b: falka

y

(t) przesuwana jest w czasie z

krokiem 2

m

, co odbywa się na poziomie skali m, kolejne potę gi 2

m

wyznaczają pró bkowanie

na osi skali. Można przy tym oś skali interpretować jako oś czę stości (czę stotliwości). Jeśli
bowiem widmo falki podstawowej ma czę stość środkową

w

0

to czę stość środkowa widma

falki

y

mn

ma czę stość środkową

w

0

/2

m

.

3. Zasady analizy akcelerogramów

W niniejszej pracy wykorzystano do analiz akcelerogramó w związanych ze wstrząsami
gó rniczymi środowisko obliczeniowe Matlab. Dostę pny jest w nim toolbox przystosowany
wykorzystania transformaty falkowej sygnałó w. Możliwe są ró żne operacje na sygnałach:
-

detekcja nieciągłości i skokó w,

-

detekcja składowych długookresowych (trendó w),

-

analiza czę stotliwościowo – czasowa gę stości mocy,

-

usuwanie (filtracja) szumó w i zakłó ceń,

-

dekompozycja i rekonstrukcja sygnałó w jednowymiarowych,

-

kompresja danych polegająca na ograniczeniu liczby wspó łczynnikó w w rozwinię ciu
falkowym.

Dostę pne są nastę pujące typy falek: Haara, Daubechies, Meyera, Morleta, symlet, coiflet,

typu meksykański kapelusz i splinowe falki biortogonalne. Wykazują one ró żne własności.

128

Najważniejszymi z punktu widzenia analizy akcelerogramó w są: symetryczność , regularność ,
szybka zbieżność do zera dla czasu lub czę stotliwości zmierzających do nieskończoności. Istnieją
dwie drogi syntezy falek: bezpośrednia i pośrednia. Bezpośrednia polega na przesuwaniu w
dziedzinie czasu i skalowaniu ciągłej falki podstawowej. Falkę podstawową otrzymuje się z funkcji
skalującej spełniającej pewne założenia, za pomocą sprzę żonego filtra lustrzanego. Natomiast
podejście pośrednie realizowane jest za pomocą dyskretnych filtró w o skończonej długości.

4. Analiza falkowa akcelerogramów

Wykorzystując możliwości obliczeniowe pakietu Matlab wykonano analizę wybranych
akcelerogramó w zarejestrowanych dla wstrząsó w gó rniczych.

Rys. 1. Wspó łczynniki transformaty falkowej akcelerogramu

zarejestrowanego 25.02.2000, składowa pozioma

-2,0

0

2,0

Skala

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

Czas [s]

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

P

rz

y

sp

ie

sz

en

ie

[

m

/s

2

]

60

20

12

9

7

6

5

4

3

2.5

2

C

zę

st

ot

li

w

o

ść

[

H

z]

129

Pochodą one ze stacji pomiarowych zlokalizowanych na powierzchni ziemi w

Legnicko- Głogowskim Okrę gu Miedziowym. Akcelerogramy te stanowią składowe poziome
przyspieszenia wywołanego przez 9 ró żnych wstrząsó w gó rniczych. Mapy wspó łczynnikó w
transformaty falkowej dla dwó ch wybranych akcelerogramó w przedstawiono na rys. 1 i 2.

Rys. 2. Wspó łczynniki transformaty falkowej akcelerogramu

zarejestrowanego 18.07.2000, składowa pozioma

Zarejestrowano je w Polkowicach w okresie 1998 do 2001 roku i związane są z

najintensywniejszymi wstrząsami z tego okresu. Były one wcześniej wykorzystywane jako

-3,6 0 3,3
Skala

60

20

12

9

7

6

5

4

3

2.5

2

C

zę

st

o

tl

iw

o

ść

[

H

z]

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

Czas [s]

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

P

rz

ys

p

ie

sz

en

ie

[

m

/s

2 ]

130

wymuszenia kinematyczne w trakcie szczegó łowej analizy numerycznej [4] budynkó w
jednorodzinnych.

Spośró d dostę pnych funkcji do obliczeń stosowano falki typu symlet rzę du 6, któ re ze

wzglę du na kształt były najbardziej odpowiednie dla prowadzonej analizy. Okres
dyskretyzacji oryginalnego sygnału wynosił 0,002 s. Stosowano liczbę poziomó w w
granicach 1 do 200 przy skoku co 2, któ re odpowiadają czę stotliwościom od 2 do 360 Hz. Na
podstawie wykresu analizowanego sygnału (przyspieszenie) naniesiono oś czasu jego
trwania, któ ra jest także osią czasu mapy wspó łczynnikó w transformaty falkowej . Wartości
wspó łczynnikó w przedstawiono w skali szarości od minimum do maksimum.

5. Podsumowanie

Celem przedstawionej pró by analizy akcelerogramó w traktowanych jako wymuszenie
kinematyczne z zastosowaniem transformacji falkowej było przede wszystkim rozpoznanie
problemó w z nią związanych oraz sprawdzenie przydatności w dynamice budowli.
Otrzymane wykresy czasowo – widmowe wspó łczynnikó w transformat falkowych pozwalają
na sformułowanie ogó lnych uwag.
-

Na wykresach wyraźnie widoczna jest ewolucja w czasie własności widmowych
akcelerogramó w. W wię kszości przypadkó w zmiany własności w czasie nastę pują
stosunkowo wolno. Sporadycznie pojawiają się jednak gwałtowne zmiany widma
sugerujące pojawienie się w chwili czasu t

n

nowego typu fal sejsmicznych. Na wykresach

widoczne to jest jako tró jkątna smuga rozciągnię ta wzdłuż osi czę stotliwości a skupiona
na chwili t

n

. Można wię c, w granicach rozdzielczości w czasie i czę stotliwości

transformaty falkowej, ocenić niestacjonarności charakterystyk widmowych
analizowanego sygnału.

-

Wyraźnie czytelne są na wykresach zależności pomię dzy wartością chwilową amplitudy
przyspieszenia a wartością wspó łczynnikó w transformaty falkowej.

-

Mając na wzglę dzie charakterystyczny wykres (mapę ) wspó łczynnikó w transformaty
falkowej dla kró tkoczasowego sygnału harmonicznego można wyró żnić w
akcelerogramach kró tkoczasowe przebiegi harmoniczne.

Dostosowanie przedstawionej analizy falkowej akcelerogramó w do potrzeb dynamiki

budowli narażonych na obciążenia typu parasejsmicznego wymaga dalszych analiz i badań.
Najważniejszym z tego punktu widzenia bę dzie określenie związku pomię dzy typem wykresu
(mapy) wspó łczynnikó w transformaty falkowej a odpowiedzią dynamiczną obiektu
budowlanego. Własności dynamiczne obiektu charakteryzowane są przez czę stotliwości
drgań własnych i postacie modalne. Określenie przybliżonych związkó w pomię dzy mapą
wspó łczynnikó w transformat falkowych a charakterystyką dynamiczną budynku pozwoliłoby
na ograniczenie zakresu obliczeń numerycznych obiektu, w któ rych wykorzystane byłyby
tylko niezbę dne wymuszenia kinematyczne.

Literatura

[1] BIAŁ ASIEWICZ J., Falki i aproksymacje. Wyd. Nauk.-Techniczne, Warszawa, 2000.
[2] SMUTNY J., PAZDERA L., Analysis of signals using the wavelet transformation.

Stavebni Obzor, no 7, p. 214-219, Praga, 1998.

[3] LIND R., SNYDER K., BRENNER M., Wavelet analysis to characterise non-linearities

and predict limit cycles of an aeroelastic system. Mechanical Systems and Signal
Processing, 2001, Vol. 15, no.2, Academic Press, s.337 -356.

131

[4] LIPSKI Z., WAWRZYNEK A., Numerical effort analysis of buildings with paraseismic

loading supported with measurements. I International Scient. Seminar „ New Trends in
Statics and Dynamics of Buildings, Seminar proceedings, Bratislava, 2001, p. 155 –
160.

TIME-SPECTRAL CHARACTERISTICS

OF PARASEISMIC, KINEMATIC EXCITATION

Summary

This paper presents test analysis of horizontal, ground acceleration of mining tremors, which
were carried out at seismological station in Legnicko – Głogowski Okrę g Miedziowy. in the
years 1998 – 2001. The analysis of nine accelerograms was carried out using the wavelet
transformation instead traditionally used short – time Fourier transformation. The wavelet
transformations are used in analysis of nonstationary signals because they exactly presented
spectral characteristics of signals evolved in time. The presented analysis of accelerograms of
mining tremors shows that wavelet transformation may be useful in the investigations of
buildings with paraseismic loading.