Agnieszka Majewska

Katedra Ubezpieczeń i Rynków Kapitałowych

Modelowanie procesów autoregresujnych

Porównanie metod szacowania zmienności cen walorów bazowych opcji

Zmienność (chwiejność) - mówi jaki jest możliwy przeciętny wzrost bądź spadek ceny

danego waloru, a więc jest miarą niepewności co do przyszłych zmian jego cen. Należy przy

tym zaznaczyć, że wraz ze wzrostem zmienności rośnie zarówno prawdopodobieństwo

korzystnej, jak i niekorzystnej zmiany ceny. Dla posiadacza opcji kupna zysk będzie się

zwiększał wraz ze wzrostem ceny waloru bazowego, natomiast dla właściciela opcji sprzedaży –

wraz ze spadkiem. W obu przypadkach będzie on tym wyższy, im większą zmiennością będą

charakteryzowały się walory bazowe.

Przyczyny zmienności - jedni doszukują się ich w informacjach docierających do

inwestorów, inni w samym fakcie zawierania transakcji. Pierwsi, broniący hipotezy

efektywności rynku, uważają, że przypadkowe wiadomości odbierane przez inwestorów

wpływają na przyszłe stopy zwrotu, a co za tym idzie, na zmienność walorów. Drudzy natomiast

są zdania, że jest ona przede wszystkim efektem rynkowego obrotu walorami.

1. Zmienność wyznaczana jako odchylenie standardowe

Najczęściej wykorzystywanym przez inwestorów sposobem wyznaczania zmienności, i

zarazem najprostszym, jest metoda historyczna polegająca na statystycznej estymacji wariancji

cen danego waloru, z której wyznacza się odchylenie standardowe. W celu wyznaczania

względnych zmian cen instrumentów do szacowania zmienności wykorzystuje się logarytmy

naturalne ze względnych przyrostów cen danego instrumentu, co zapisuje się następująco

1

:

∑

=

−

−

=

n

i

i

p

u

u

n

s

1

2

_

)

(

1

1

,

(1)

gdzie u

i

to logarytmiczna stopa zwrotu cen analizowanych walorów.

Do otrzymania zmienności rocznej (

σ

) z odchylenia standardowego (s

p

) liczonego dla

wybranego okresu wykorzystuje się następujący wzór:

Y

s

σ

p

=

,

(2)

gdzie Y oznacza liczbę rozpatrywanych okresów w roku.

1

Por. A.D. Aczel [2000], s. 23-28.

Do najczęściej wykorzystywanych czynników czasowych zalicza się:

− dzienny uwzględniający dni kalendarzowe:

365

,

− dzienny uwzględniający dni notowań:

250

,

252

lub

260

,

− tygodniowy:

52

,

− miesięczny:

12

,

− kwartalny:

4

.

Głównym problemem – jaka ma być długość przedziału czasowego, który należy

uwzględnić? Generalnie większa precyzja pomiaru zmienności - im więcej informacji zostanie

uwzględnionych w szacunku. Z drugiej strony wydłużenie okresu estymacji, gdzie uwzględnia

się zdarzenia „zbyt historyczne”, może doprowadzić do błędnego oszacowania, w którym wpływ

nowych wydarzeń jest zmniejszany przez te bardzo odległe. C. Butler nazywa to efektem

cienia

2

. Dodatkowo różne wyniki uzyskuje się szacując zmienność na podstawie dni kalen-

darzowych i roboczych. Konieczne jest zbadanie, czy występuje dodatkowe ryzyko wolnych dni.

2

Zob. C. Butler [2001], s. 209.

2. Zmienność wyznaczana w oparciu o procesy ARCH i GARCH

Badania K. Kronera, K.P. Kneafsey’ego i S. Claessensa

3

dowodzą, że najnowsze procedury

prognozowania na podstawie danych historycznych, zakładające niestałość wariancji (ARCH,

GARCH), charakteryzują się większą precyzją niż zmienność wyznaczana klasycznie jako

odchylenie standardowe.

Prekursor modeli dynamicznych - R. Engla, który w 1982 roku rozwinął pierwszy z nich

ARCH (autoregressive conditional heteroscedascity)

4

. Jest to proces oparty na założeniu

autoregresji stóp zwrotu badanego instrumentu finansowego. Założenie główne procesu mówi o

tym, że wartość stopy zwrotu w badanym okresie jest funkcją stóp zwrotu w okresach

wcześniejszych. Ogólnie proces można zapisać w następujący sposób

5

:

,...)

,

(

2

t

1

t

t

Z

Z

f

Z

−

−

=

,

(3)

3

Zob. K. Kroner, K.P. Kneafsey, S. Claessens [1995].

4

Zob. R.F. Engle [1982], s. 987-1008.

5

Zob. J. Mills [1993].

z czego wynika:

∑

=

−

⋅

+

=

q

i

i

t

i

t

Z

c

c

h

1

2

0

,

(4)

zatem można zapisać, że:

ε

⋅

=

t

t

h

Z

,

(5)

gdzie:

Z

t

– szacowane warunkowe odchylenia standardowe stop zwrotu w okresie t,

Z

t-i

– warunkowe odchylenia standardowe opóźnione w stosunku do okresu t o i,

h

t

– szacowana warunkowa wariancja stóp zwrotu w okresie t,

c

i

– współczynniki regresji modelu,

q – stopień modelu.

W przypadku, gdy oszacowane parametry modelu ARCH(1) są dodatnie oraz

ε

t

∈ N(0,1) i jest niezależne od Z

t

, to

ε

t

jest białym szumem.

Estymacji parametrów modelu ARCH(q) można dokonywać metodą największej

wiarygodności. Dla badanej próby stóp zwrotu od Z

1

do Z

N

należy zmaksymalizować

następującą funkcję

6

:

∑

∑

=

=

⋅

−

⋅

−

⋅

−

=

N

t

t

t

N

t

t

c

h

Z

c

h

N

L

1

2

1

)

(

2

1

)

(

ln

2

1

2

ln

2

ln

π

,

(6)

gdzie:

lnL – logarytm funkcji wiarygodności,

h

t

(c) – szacowana funkcja wariancji warunkowej z parametrami c

i

.

6

Zob. A. Weron, R. Weron [1998], s. 302.

Model przyjmuje tym większe wartości, im większą wartość q przyjmiemy do budowy modelu.

Wiąże się to z mnogością szacowanych parametrów funkcji, a co za tym idzie, wzrasta

prawdopodobieństwo popełniania błędów dokładności szacunków. W celu wyeliminowania

takiej zależności można do funkcji celu dodać warunki brzegowe, tworząc w ten sposób

podstawy optymalizacji modelu. Warunkami takimi mogą być kryteria Akaikego [1974] –

AIC(q) lub Schwarza [1978] – SC(q)

7

:

N

q

L

q

SC

q

L

q

AIC

ln

ln

2

)

(

2

ln

2

)

(

⋅

+

⋅

−

=

⋅

+

⋅

−

=

,

(7)

W obu tych kryteriach należy dążyć do uzyskania jak najmniejszej wartości AIC(q) oraz SC(q).

7

Zob. A. Weron, R. Weron [1998], s. 303.

W przypadku modeli ARCH często zdarza się jednak, że nie można uniknąć problemu

związanego z najlepszym dopasowaniem modelu przy dużych wartościach q. Jest to przyczyną

powstania modeli uogólnionych GARCH (Generalised AutoRegressive Conditional

Heteroscedastic). Po raz pierwszy GARCH(p,q) został zaproponowany w 1986 roku przez

ucznia R.F. Engla, T. Bollersleva. Jego zasadniczą postać można przedstawić za pomocą

funkcji

8

:

∑

∑

=

−

=

−

⋅

+

⋅

+

=

p

i

i

t

i

q

i

i

t

i

t

h

b

Z

c

c

h

1

1

2

0

,

(8)

gdzie c

i

i b

i

– są dodatnie.

W tej sytuacji należy zaznaczyć, że warunkowa wariancja h

t

zależy nie tylko od poprzednich

wartości szeregu, ale również od wariancji warunkowych h

t-i

. Estymacji tego modelu dokonuje

się na podstawie metod analogicznych do estymacji ARCH, na przykład metody największej

wiarygodności.

8

Zob. A. Weron, R. Weron [1998], s. 303.

3. Zmienność wyznaczana w oparciu o proces EWMA

Mniej skomplikowane w zastosowaniu od procedur ARCH i GARCH, a dające równie dużą

dokładność, jest podejście wykorzystujące wykładnicze średnie ruchome tak zwane EWMA (ang.

Exponentialy Weighted Moving Average), które zostało opracowane i jest stosowane przez

amerykański bank J.P. Morgan pod ogólną nazwą RiskMetrics

9

. Polega ono przypisaniu średnim

ruchomym wykładniczego systemu wag, co powoduje, że przyszłe prognozy opierają się na

najbardziej aktualnych danych i nie są zniekształcane przez nieaktualne bądź historycznie

nieistotne. Wygładzanie za pomocą funkcji wykładniczej nadaje zatem bieżącym danym wyższe

wagi niż zdezaktualizowanym.

9

Por. J.P. Morgan [1996].

Zmienność otrzymywaną na podstawie algorytmu EWMA opisuje następująca formuła

rekurencyjna

10

:

2

2

0

1

)

1

(

)

1

(

t

i

i

t

i

t

r

r

λ

λσ

λ

λ

σ

−

+

=

−

=

∑

∞

=

−

+

, (9)

gdzie:

λ – parametr wagowy (współczynnik wykładniczy),

r

t

– logarytm naturalny zmiany ceny danego instrumentu.

W odniesieniu do parametru r

t

zakłada się, że

11

:

− wariancje cechy {r

t

}

są heteroscedastyczne i zautokorelowane,

− kowariancje cech {r

it

}

są zautokorelowane i mają własności dynamiczne,

− rozkłady cech {r

it

} można aproksymować rozkładem normalnym,

− w modelach dynamiki dla krótkich okresów można założyć, że wartość oczekiwana zmiany

równa jest zeru.

10

Zob. S. Grzesiak, P. Konieczny [1998].

11

Zob. S. Grzesiak, J. Maliszewski [1999], s. 12.

Praktycznym problemem pojawiającym się przy korzystaniu z algorytmu EWMA jest

określenie początkowej wariancji szeregu czasowego. Niezbędne jest do tego wyznaczenie

minimalnej liczby obserwacji, na których podstawie będzie ona szacowana. W tym celu stosuje

się metrykę

12

:

∑

∞

=

∞

−

=

Ω

K

t

t

K

λ

λ

)

1

(

.

(10)

Przyrównując

do poziomu tolerancji

λ

∞

Ω

K

L

, po rozwiązaniu równania (10) ze względu na K

otrzymuje się efektywną liczbę obserwacji niezbędną do wyznaczenia poczatkowej wariancji:

λ

λ

ln

ln

L

K

=

.

(11)

12

Zob. S. Grzesiak, P. Konieczny [1998].

Współczynnik wagowy

λ

, często określany jako czynnik wygasania, ustalany jest

indywidualnie. Twórcy RiskMetrics jego wartość dla danych dziennych ustalili na poziomie

0,94, a dla danych miesięcznych – 0,97. Swoje obliczenia oparli na metodzie statystycznej

znanej jako „błąd metody najmniejszych kwadratów”

13

. Bazując na tej metodzie, parametr

λ

ma

minimalizować średni błąd kwadratowy prognozy (Root Mean Square Error):

(

)

∑

=

+

+

−

=

T

t

t

t

t

r

T

RMSE

1

2

2

/

1

2

1

)

(

ˆ

1

λ

σ

,

(12)

gdzie:

T – liczba budowanych prognoz,

2

/

1

ˆ

t

t

+

σ

– prognoza wariancji na okres t+1 sporządzona w okresie t przy danym parametrze

λ

.

13

Zob. J.P. Morgan [1996], s. 90-100.

W praktyce optymalną wielkość czynnika wagowego określa się w sposób iteracyjny przez

szukanie najmniejszych wielkości RMSE dla różnych wartości

λ

. Wagi otrzymane przez

twórców RiskMetrics zostały skrytykowane przez C. Alexander, której zdaniem waga równa

0,97 może wzmocnić efekt cienia, a nie osłabić

14

. W rezultacie pojedyncze zawirowania na

rynku kapitałowym uwzględniane są w prognozowanych wartościach przez dłuższy czas. Efekt

cienia w znacznym stopniu ogranicza utrzymywanie współczynnika wykładniczego na niskim

poziomie, między 0,5 a 0,7. Ma to jednak znaczącą wadę – występuje błąd w próbkowaniu,

przejawiający się w oparciu prognozy wyłącznie na najnowszych danych.

14

Zob. C. Alexander [1996], s. 237.

4. Implikowany parametr zmienności

Implikowany parametr zmienności, w przeciwieństwie do wcześniej opisanych metod,

wyznaczany jest w oparciu o bieżące dane, stąd często określany jest jako zmienność przyszła

lub wynikowa

15

. Pierwsze wzmianki o tej metodzie można znaleźć w pracach H.A. Latané i R.J.

Rendlemana

16

oraz R. Schmalensee i R.A. Trippi’ego

17

.

Jest to metoda wykorzystująca równanie określające cenę opcji, czyli opierająca się

zarówno na instrumentach rynku natychmiastowego, jak i terminowego. Traktując zmienność

jako niewiadomą, przy pozostałych wszystkich elementach dokładnie określonych, wyznacza się

tak zwany implikowany parametr zmienności wynikający z rynkowej ceny opcji. Przedstawić go

można jako funkcję ceny opcji, ceny wykonania, ceny waloru bazowego, czasu i stopy

procentowej:

σ

= f (v, S, X, t, r). Dla opcji akcyjnych dodatkową zmienną jest dywidenda, a dla

walutowych – zagraniczna stopa procentowa wolna od ryzyka.

15

Zob. Ch.L. Dunis [2001], s. 174-176.

16

Zob. H.A. Latané, R.J. Rendleman [1976], s. 369-381.

17

Zob. R. Schmalensee, R.A. Trippi [1978], s. 129-147.

Wyznaczając zmienność w oparciu o model Blacka-Scholesa iteracyjne wyszukuje się

najlepsze rozwiązanie dla równania opisującego cenę opcji kupna (c) lub sprzedaży (p):

)

(

)

(

2

)

(

1

d

N

e

X

d

N

S

c

t

T

r

−

−

⋅

−

⋅

=

(13)

(14)

)

(

)

(

1

2

)

(

d

N

S

d

N

e

X

p

t

T

r

−

⋅

−

−

⋅

=

−

−

gdzie:

)

(

)

(

)

2

(

)

(

ln

2

1

t

T

t

T

r

X

S

d

−

−

⋅

+

+

=

σ

σ

)

(

)

(

)

(

)

2

(

)

(

ln

1

2

2

t

T

d

t

T

t

T

r

X

S

d

−

−

=

−

−

⋅

−

+

=

σ

σ

σ

S – wartość waloru bazowego w chwili t,

X – cena wykonania opcji,

r – krajowa stopa procentowa wolna od ryzyka,

T – okres ważności opcji,

σ

– zmienność ceny waloru bazowego,

N(x) – dystrybuanta standaryzowanej zmiennej o rozkładzie normalnym.

W przypadku zmienności implikowanej największą wadą jest niedoskonałość modeli

wyceny, które mogą zafałszować cenę opcji, a tym samym szacunek zmienności. Konsekwencją

braku spełnienia pewnych ich założeń oraz braku przejrzystości danych, jak podaje C. Butler

18

,

są następujące słabości:

− założenie o stałości wariancji pomija zmienność samej zmienności,
− uwzględnienie marży zysku oraz kosztu zawarcia transakcji powoduje przeszacowanie opcji,

co prowadzi do wyższego poziomu zmienności od rzeczywiście występującej,

− zmienność wyznaczana jest dla konkretnego dnia i często nie powinno jej się przenosić na

dłuższe okresy,

− występuje ograniczona liczba opcji giełdowych, na których podstawie można szacować

zmienność.

18

Zob. C. Butler [2001], s. 205-207.

W wyniku niedoskonałości modeli wyceny pojawia się efekt nazywany „uśmiechem volatility”.

Polega on na tym, że wartość implikowanego parametru zmienności dla opcji mocno out-of-the-

money jest nieco wyższa od zmienności dla opcji at-the-money.

Pomimo wielu ograniczeń uważa się, że jakość danych otrzymywanych poprzez kalkulację

zmienności implikowanej jest lepsza od prostych procedur dla danych historycznych. Stąd

zasadne jest ich stosowanie w każdym przypadku, gdy tylko są osiągalne. Nie oznacza to jednak,

że zmienności szacowane na podstawie danych historycznych nie mogą być precyzyjne, czego

dowiodły wspominane wcześniej badania K. Kronera, K.P. Kneafsey’ego i S. Claessensa.

5. Badanie empiryczne

Porównanie metod szacowania zmienności objęło indeks WIG 20. Wybór instrumentu

podyktowany był najdłuższą historią opcji indeksowych, które występują w obrocie na Giełdzie

Papierów Wartościowych w Warszawie od 20 września 2003 roku. W porównaniu do opcji

akcyjnych, które zostały wprowadzone do obrotu 17 października 2005 roku charakteryzują się

większa liczbą notowań, co ma szczególne znaczenie przy wyznaczaniu implikowanego

parametru zmienności. Przy wyznaczaniu zmienności na podstawie danych historycznych

zgodnie z wcześniej prowadzonymi badaniami przyjęto, że:

− zmienność roczna szacowana jest w oparciu o dni notowań

19

,

− zmienność szacowana była na podstawie okresu półrocznego Wyniki przeprowadzonych

badań dla walorów bazowych analizowanych instrumentów pochodnych wskazują, że zasadne

jest przyjęcie n = 180

20

.

19

Sposobem weryfikacji, czy zmienność jest taka sama w dniach sesyjnych i roboczych, może być porównanie różnic między kursami w kolejnych dniach tygodnia z różnicami między

poniedziałkiem a piątkiem. Przeprowadzone badania różnic potwierdzają zasadność przyjęcia dni sesyjnych – por. A. Majewska [1999a]. Połowa zmian między kursami w kolejnych dniach
tygodnia jest większa od zmian weekendowych, zatem nie występuje zwiększona zmienność w okresie wolnym od pracy.

Do wyznaczenia zmienności według procedury EWMA parametr wagowy

λ

został przyjęty

na czterech poziomach: 0,95, 0,90, 0,7, 0,5. Dwa pierwsze ustalono na podstawie metodologii

J.P. Morgana, natomiast dwa kolejne to propozycje C. Alexander. W przypadku modeli

ekonometrycznych do szacowania zmienności posłużyły modele: ARCH(1), ARCH(2),

GARCH(1,1) oraz GARCH(2,2). Nie estymowano parametrów modeli z większą liczbą

opóźnień, ponieważ błędy estymacji byłyby zbyt duże.

W

przeciwieństwie do zmienności wyznaczanej na podstawie danych historycznych,

implikowany parametr zmienności możliwy był tylko do określenia dla dni, w których notowane

były opcje na WIG 20. Wyniki otrzymane dla poszczególnych metod przedstawiono na

wykresach 1-3. Na wykresach 1 i 2 przedstawiono zmienność oszacowaną na podstawie danych

historycznych w porównaniu do klasycznej, natomiast na wykresie 3 implikowany parametr

zmienności w porównaniu do klasycznej.

20

Wyniki przeprowadzonych badań dla walorów bazowych instrumentów pochodnych wskazują, że zasadne jest przyjęcie n = 180 – por. A. Majewska [2000d], s. 161-170. Wartości

otrzymane dla n = 180 nie zmieniają się tak gwałtownie jak to ma miejsce przy n = 10. Ponadto od n = 90 parametr zmienności zaczyna być stabilny i wraz ze zwiększaniem liczby obserwacji
mniej reaguje na zmiany.

Wykres 1. Zmienność wyznaczona procedurą EWMA w porównaniu do klasycznej.

0,18

0,2

0,22

0,24

0,26

0,28

0,3

0,32

0,34

200

6-0

6-1

9

20

06

-0

6-2

6

200

6-

07

-0

3

20

06

-0

7-1

0

20

06-

07

-1

7

200

6-

07

-2

4

20

06

-0

7-3

1

200

6-

08

-0

7

20

06

-0

8-1

4

200

6-

08

-2

1

200

6-0

8-2

8

200

6-

09

-0

4

200

6-

09

-1

1

20

06

-0

9-1

8

200

6-

09

-2

5

200

6-

10

-0

2

odchylenie standardowe
waga 0,5
waga 0,7
waga 0,9
waga 0,95

Źródło: opracowanie własne.

Na podstawie powyższego wykresu można zauważyć, że niezależnie od przyjętego poziomu

wagi zmienność wyznaczona na podstawie procedury EWMA była niższa od klasycznej.

Ponadto, im wyższa była stała wygładzania, tym wyższy był poziom zmienność. Najbardziej

zbliżony do odchylenia standardowego otrzymano dla

λ

= 0,95. Jest to zgodne z teorią,

ponieważ dla klasycznej zmienności

λ

= 1. Wysokie wagi powodują, że zmienność szacowana

jest w dużej mierze na podstawie wcześniejszych danych i pojedyncze zawirowanie powodujące

nagły wzrost zmienności utrzymuje ją przez dłuższy czas na podwyższonym poziomie.

Wykres 2. Zmienność wyznaczona modelami ekonometrycznymi w porównaniu do klasycznej.

0,27

0,275

0,28

0,285

0,29

0,295

0,3

0,305

0,31

0,315

20

06

-06

-2

2

20

06

-06

-2

9

20

06

-0

7-0

6

20

06

-0

7-1

3

20

06-0

7-20

20

06-0

7-27

20

06-0

8-03

20

06-0

8-10

20

06

-0

8-1

7

20

06

-0

8-2

4

20

06-0

8-31

20

06-0

9-07

20

06-0

9-14

20

06-0

9-21

20

06-0

9-28

20

06-1

0-05

odchylenie standardowe
ARCH (1)
ARCH (2)
GARCH (1,1)
GARCH (2,2)

Źródło: opracowanie własne.

W porównaniu do procedury EWMA zmienność wyznaczona na podstawie modeli

ekonometrycznych była bardziej zbliżona do odchylenia standardowego. Pomiędzy

zastosowanymi modeli nie wystąpiły również tak duże różnice, jak w przypadku przyjęcia

różnych wag w procedurze EWMA. Podobnie do wcześniejszej metody szacunki zmienności

otrzymane na podstawie modeli ekonometrycznych ogólnie były niższe od odchylenia

standardowego. Analizując jednak poszczególne modele wystąpiły już znaczące różnice:

− dla modelu ARCH (1): 73% przypadków niższych poziomów zmienności,
− dla modelu ARCH (2): 57% przypadków niższych poziomów zmienności,
− dla modelu GARCH (1,1): 52% przypadków niższych poziomów zmienności,
− dla modelu GARCH (2,2): 53% przypadków niższych poziomów zmienności.

Wykres 3. Implikowany parametr zmienności w porównaniu do klasycznej.

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

20

06-

06

-1

9

20

06-

06

-26

20

06

-07

-0

3

20

06-

07

-1

0

20

06-

07

-17

20

06

-07

-2

4

20

06-

07

-31

20

06

-08

-07

20

06-

08

-1

4

20

06-

08

-21

20

06

-08

-28

20

06-

09

-0

4

20

06-

09

-11

20

06

-09

-18

20

06-

09

-2

5

20

06-

10

-02

odchylenie standardowe
implikowana
implikowana (opcje kupna)
implikowana (opcje sprzedaży)

Źródło: opracowanie własne.

Porównując zmienność implikowaną z pozostałymi metodami dla większości przypadków

osiągała ona większe wartości od pozostałych szacunków. Wskazywałoby to, że wyceniając

opcje, giełda zakładała większe prawdopodobieństwo zmian walorów bazowych.

Charakterystyczne jest, że wyznaczając implikowany parametr zmienności w oparciu o ceny

opcji sprzedaży we wszystkich przypadkach był on wyższy od odchylenia standardowego.

Opierając się na opcjach kupna, sytuacja była odwrotna: w 82% badanych przypadków

zmienność implikowana kształtowała się poniżej klasycznej. Większe zróżnicowanie między

analizowanymi zmiennościami wystąpiło dla szacunków wyznaczanych na podstawie opcji

sprzedaży, dla których średnia różnica między zmiennością implikowaną a klasyczną wyniosła

18%. W przypadku opcji kupna była ona dwukrotnie mniejsza.

Decydujący wpływ na wyniki zmienności implikowanej miały ceny opcji. Dla opcji kupna

większość cen (81%) była niedoszacowana, w przeciwieństwie do opcji sprzedaży, w przypadku

których aż 96% cen była przeszacowanych. Ponadto większe różnice między ceną teoretyczną a

rynkową wystąpiły dla opcji sprzedaży.

Podsumowanie

Podsumowując, nie ma jednoznacznej odpowiedzi na pytanie, jaka zmienność powinna być

zastosowana w procesie wyceny instrumentów pochodnych. Wyniki przeprowadzonych badań

wskazują, że powszechnie stosowane odchylenie standardowe jest miarą bardzo nieprecyzyjną –

różna liczba obserwacji wpływa na różne jego szacunki. W przypadku modeli typu ARCH, poza

złożonym procesem obliczeniowym, występowanie poziomu, poniżej którego zmienność nie

spada, może powodować znaczące błędy. Z kolei wyznaczając implikowany parametr

zmienności, należy pamiętać, że dobre rezultaty daje on wówczas, gdy zarówno rynek kasowy

jak i terminowy charakteryzuje się dużą płynnością. W Polsce, gdzie rynek terminowy dla

niektórych walorów nie jest jeszcze dostatecznie płynny, zastosowanie tej metody może

doprowadzić więc do błędnych szacunków. Przeprowadzone badania wskazują, że w większości

przypadków najlepszą metodą szacowania zmienności okazała się procedura EWMA.